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重难点13 直线与圆 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：结合近三年高考数学全国卷，直线与圆作为解析几何的基础模块，考查形式稳定、 重点突出，主要以选择题、填空题为主（偶尔在解答题中作为第一问铺垫），难度中等偏 上，核心围绕 “定义性质 + 运算求解 + 数形结合” 展开。 预测2026 年：结合近三年高考数学全国卷命题规律、核心考点演变及参考资料中的趋势， 2026 年直线与圆模块的考察将延续 “基础稳定、综合深化、思维聚焦” 的特点，同时在 跨模块融合、场景创新、难度梯度上呈现新趋势，具体备考复习有如下几点： 1.考查稳定，形式灵活：直线与圆的基础知识点（方程、位置关系）每年必考，命题形式结 合含参问题、分类讨论，避免直接套用公式，强调逻辑推理。 2、数形结合为核心思想：多数题目需结合图形分析（如弦中点轨迹、切线长最值、两圆公 切线），仅靠代数运算易漏解（如忽略无斜率的直线）。 3.综合度提升，关联其他模块：常与三角函数（含参直线的三角函数参数型）、向量（如最 值）、抛物线 、 椭圆（切线与圆锥曲线结合）关联，考查综合应用能力。 。 考向01 含参直线1：双直线同参型 一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 直线含参不包含的直线： (1) 若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含x=1 (2) 若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 (3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0 与y=-x 平行 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为 直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否 是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代 换，进行线段的最值求解计算 (4) 而对于过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线处理，可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋ C2)＝0. 如： （1）含有1 个未知参数， 不论m 为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点 (－2,3) （2）含有2 个未知参数 过定点 （3）含有3 个未知参数 已知A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0 必过定点(1,1) 1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 为圆 上动点，直线 和直线 （ ， ）的交点为 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 高二上·黑龙江鹤岗·月考）设 ， ．若动直线 与 交于点A，C，动直线 与 交于点B，D，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23 高三上·贵州贵阳·月考）已知 ，若过定点 的动直线： 和过定点 的动 直线 ： 交于点 （ 与 ， 不重合），则以下说法错误的是（ ） A． 点的坐标为 B． C． D． 的最大值为5 4．（2022 高三·全国·专题练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向02 含参直线2：三角函数参型 圆的动切线 到直线系 距离，每条直线的距离 ， 直线系 表示圆 的切线集合 5．（24-25 全国专题练习）在直角坐标系 中，全集 ，集合 ，已知集合A 的补集 所对应区域的对称中心为M，点P 是 线段 （ ， ）上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则 周长的最小值为（ ） A．24 B． C．14 D． 6．（22-23 高三广东模拟测试）设直线系 ，对于下列四个命题： （1） 中所有直线均经过某定点； （2）存在定点 不在 中的任意一条直线上； （3）对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上； （4） 中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（ ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2） 7．（23-2 全国专题练习）设直线系M： ，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在无数多个点不在M 中的任一条直线上； ③对于任意整数 ，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题为（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 8．（21-22 高三吉林模拟）已知集合 直线l ，其中m，n 是正常数， ， 下列结论中正确的是（ ） A．当 时，S 中直线的斜率为 B．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 C．当 时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2n D．S 中所有直线均经过同一个定点 考向03 直线方程系 直线系型： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋ C2)＝0. 9．（24-25 高三上·江苏·月考）若 既是 的中点，又是直线 与直线 的交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 10．（20-21 高三上·浙江·月考）已知点 ， 是曲线 （ 为非零常数）上两个 不同的点，则关于x，y 的方程组 的解的情况，下列说法错误的是（ ） A．当 时，对任意的 ，方程组总是有解 B．当 时，对任意的 ，方程组总是有解 C．当 时，存在 ，使方程组有唯一解 D．当 时，存在 ，使方程组有唯一解 11．（23-24 全国专题练习）在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l 的方程 为 ， ，下面四个命题中的假命题为（ ） A．存在唯一的实数δ，使点N 在直线上 B．若 ，则过M，N 两点的直线与直线l 平行 C．若 ，则直线经过线段M，N 的中点； D．若 ，则点M，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M，N 的延长线相交； 12．（23-24 全国专题练习）若点 既是 的中点，又是直线 与 的交点，则线段 的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 考向04 直线光学性质：将军饮马型 直线光学性质，即直线对称性质 关于轴对称问题： （1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 13．（2024 高三·江苏·专题练习）已知： ， ， ， ， ，一束光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点）.则 斜率的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 14．（23-24 高三湖北专题练习）如图已知 ，若光线L 从点 射出，直线AB 反射 后到直线OB 上，再经直线OB 反射回原点P，则光线L 所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 15．（22-23 全国专题练习）在等腰直角三角形 中， ，点 是边 上异于 的一 点，光线从点 出发，经过 反射后又回到原点 （如下图）. 若光线 经过 的重心，则 等于 A． B． C． D． 16．（25-26 高二上·河北·期中）已知点P 的坐标 满足 ，其中 ，一条光线从点 P 射出经x 轴反射后，与圆C： 有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 考向05 数形结合：两点距离 求解形如 的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值. 17．（23-24 高三上·重庆南岸·月考）已知x， ，若 恒成立，则实数 m 的最大值是（ ） A． B． C． D． 18．（2024 高三吉林模拟测试）已知函数 ，则（ ） A． 的最小值为8 B． 的最小值为9 C． 有1 个实根 D． 有1 个实根 19．（21-22 高三山西模拟预测）设平面点集 包含于 ，若按照某对应法则 ，使得 中每一点 都有唯一的实数 与之对应，则称 为在 上的二元函数，且称 为 的定义域， 对应的值 为 在点 的函数值，记作 ，若二元函数 ，其中 ， ，则二元 函数 的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 考向06 数形结合：绝对值型 利用点 到直线ax+by+c=0 的距离公式d= 的结构特征，常常可以将与绝对值余 关的最值型题，构造转化为点到直线的距离来计算求解。 20．（20-21 高二上·安徽池州·期中）已知 ，则 的最小值为 （ ） A． B．3 C． D．6 21．（高三上·河北石家庄· 模拟）已知实数 满足， ，则 的最大值为 A． B．2 C． D．4 22．（2023 高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问 题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ） A．设O 为平面内任一点，则A，B，C 三点共线当且仅当存在a，b 满足 ，使得 ．类比到空间得：设A，B，C 不共线，则A，B，C，D 四点共面当且仅当存在实数 a，b，c 满足 ，使得 B．已知平面内点 到直线 的距离为 ．类比到空间得：空间中 点 到平面 的距离为 C．设平面内不过坐标原点的直线与x 轴和y 轴的交点分别为 ， ，则直线的（截距式）方程 为 ．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为 ， ， ，则平面的（截距式）方程为 D．设平面内一直线与x 轴和y 轴所成的角分别为 ， ，则有 ．类比到空间得：设 空间中一直线与x 轴、y 轴和z 轴所成的角分别为 ， ， ，则有 23．（24-25 高三 全国专题练习）空间直角坐标系 中，定义经过点 且法向量为 的平面 方程为 ，平面外的一点 到平面 的距离 ．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程 为 ，在 轴上求一点 使它到平面 的距离为6，则点 的坐标为（ ） A． B． C． 或 D． 或 24．（22-23 高二上·贵州铜仁·期末）若对圆 上任意一点 ， 的取值与 ， 无关，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 考向07 圆轨迹及阿圆 已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k，且K 不等于1 的点P 的轨迹，是一个圆心 在A、B 两个点的所在直线上的圆 。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称 作阿氏圆 即PA=KPB，k 不等于1，则P 点轨迹是一个圆，可直接设点推导. 1．（23-24 高三湖南 模拟预测）已知圆 的方程为 ， 为圆 上任意一点，则以 下正确的序号为（ ） ①存在 轴上的唯一点对 ， ，使得 为常数 ②存在 轴上的无数个点对 ， ，使得 为常数 ③存在直线 （ ）上的唯一点对 ， ，使得 为常数 ④存在直线 （ ）上的无数个点对 ， ，使得 为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．（22-23 高三浙江模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，直线l： 与动点Q 的轨迹交于A，B 两点，记动点Q 轨迹的对称 中心为点C，则当 面积最大时，直线l 的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P 在四边形 内（含边界）运动，当 时，点P 的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 4．（24-25 高三·福建莆田·模拟预测） 中， ， 为边 上一点且 ， ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 考向08 切线转化最值型 切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。 切线转化： 1.转化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。 2.转化为圆心到切点弦距离最值求解 5．（23-24 高三·重庆·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别是 ， ， 是椭圆 上的点，过 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024 高三全国专题练习）已知圆 的圆心为抛物线 的焦点，且与直线 相切，再由直线 上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（ ）． A．1 B． C．3 D． 7．（24-25 高三重庆模拟预测）已知直线 与圆 ，点 ， 在直线上， 过点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，当 取最小值时，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25 高三全国 专题练习）已知直线 与圆 ，点 在直线 上，过点 作圆 的切线，切点分别为 ，当 取最小值时，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 考向09 切点弦应用 求切点弦方法： 1.公共弦法：过圆 外一点作圆的切线 ，则切点 与 四点共圆，线段 就是圆的一条直 径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2 二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－ a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 9．（高三·北京·强基计划）从圆 上的点向椭圆 引切线，两个切点间的线段称为切点 弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ） A． B． C． D．前三个答案都不对 10．（2024 高三·江苏·专题练习）已知点P 在直线l： 上，过点P 作圆C： 的切线，切点分别为A，B，则弦AB 的最小值为（ ） A． B． C． D．4 11．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知圆 ，直线 ，过上的点 作圆 的两条切 线，切点分别为 ，则弦 中点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 12．（21-22 高三上·全国·月考）已知椭圆 的焦距为 ，过 上一点 作圆 的两条切线，切点分别是 ， ，若弦长 的最大值为 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 考向10 圆切线角度型 和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将 角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围. 13．（20-21 高三·江西景德镇·期末）已知 是抛物线 的焦点，若直线过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为 ，设圆 与 轴交于点 ， ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 14．（2024·江西·模拟预测）已知直线与圆 ： 相交于 ， 两点， 为坐标原点， 若锐角 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 15．（高三·江苏·模拟预测）直线 与圆心为 的圆 交于 ， 两点，直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，则 ______. 16、（22-23 高三·黑龙江模拟预测） 为圆 上的一个动点，平面内动点 满足 且 ( 为坐标原点)，则动点 运动的区域面积为（ ） A． B． C． D． 考向11 圆定点型 形如过x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的直线可设：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如 ，则圆恒过 交点。 也可以借助圆的定义。 17．（24-25 高三 浙江模拟预测）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的 垂线，垂足为Q，且 ，动点P 的轨迹为C，已知圆M 过定点D（0，2），圆心M 在轨迹 C 上运动，且圆M 与x 轴交于A、B 两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则 的最大值为（ ） A．2 B．3 C．2 D．3 18．（24-25 高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 的图象与坐标轴分 别交于点A，B，C，记 的外接圆为圆 ①当 时，圆E 的一般式方程是__________;②圆E 恒 过的两个定点是__________. 19.（2023·吉林长春·模拟预测）已知圆 的圆心在抛物线 上运动，且圆 过定点 ， 圆 被 轴所截得的弦为 ，设 ， ，则 的取值范围是__________． 20.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆 ， 均过定点 ，且圆 ， 均与 轴、 轴相 切，则圆 与圆 的半径之积为（ ） A． B． C． D． 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为 ，其中圆心为 ，半径为. 考向12 折线系数不同型“将军饮马 折线系数不同型 “将军饮马” 是经典将军饮马问题的拓展，核心区别为所求折线段各段 带有不同系数权重（如∣PA∣+k∣PB∣，k=1），无法直接用 “对称点化折为直” 的经 典方法求解，需结合阿氏圆、相似三角形、轨迹转化、点到直线距离等知识，将带系数的 线段进行等价转化，再回归 “化折为直” 的核心思想求最值。 转化思维步骤： 将带系数的线段k∣PB∣等价转化为无系数的线段∣PB′∣（即构造k∣PB∣=∣PB′∣， B′为新定点 / 轨迹上的点），将原式转化为∣PA∣+∣PB′∣，再利用 “两点之间线段 最短” 或 “点到直线 / 圆的距离最值” 求解。转化的关键在于根据系数k 的几何意 义，结合动点P 的轨迹选择对应方法， 21．（24-25 高三下·江西九江·月考）已知 ，点P 为直线 上的一动点，点Q 为 上 的一动点，则| 的最小值为（ ） A． B． C． D． 22．（24-25 高三上·山东德州·开学考试）已知点 为直线 上一动点，点 ，且 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 23．（24-25·福建厦门·月考）已知 ，直线 ，直线 ，若 为 的交点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 24．（2024 届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测数学试题）已知圆C： ，直线l： ，若l 与圆C 交于A，B 两点，设坐标原点为O，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 考向13 两圆公切线型 求两圆公切线，要注意以下几点 1.要注意防止遗漏无斜率的垂直公切线：仅设y=kx+b 会漏掉垂直于 x 轴的切线，需单独验证； 2.运用点到直线距离公式时候绝对值符号讨论不全：外公切线和内公切线的符号需严格区分，否则会漏 解 或者增解； 3.未结合位置关系验证：求解出的切线需匹配两圆的公切线条数，多余的解要舍去； 4.斜率不存在时强行计算：若求解k 时出现分母为 0 或者方程无解，直接考虑垂直切线即可。 25．（25-26 高三安徽·模拟预测）已知满足等式 的有序数对 有且仅有一个，则 __________. 26．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体 的棱长为， ， ，…， 为正方形 边上的 个两两不同的点．若对任意的点 ，存在点 .使得直线 与平面 以及平面 所成角大小均为 ，则正整数 的最大值为______． 27.（25-26 高三 辽宁模拟预测）在平面直角坐标系中，点 到直线的距离等于2，点 到直线 的距离等于3，若满足条件的直线恰有2 条，则实数 的取值范围是___________. 故答案为： . 28．（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为 ，若两圆的 一条公切线的方程为 ，则 （ ） A． B．2 C． D．3 冲刺练 （建议用时：60 分钟） 一、单选题 1．（25-26 高二下·湖北武汉·开学考试）已知实数x，y 满足 ，则 的取值范围是 （ ）． A． B． C． D． 2．（25-26·湖北·模拟预测）已知直线 与圆 相交于 两点，若 为等腰直角三角形，则 的值为（ ） A．1 B．7 C．1 或7 D．1 或 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知 三点，点 在圆 上运 动，则 的值不可能取到的值是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26 高三全国专题练习）已知 、 ，则函数 的最小 值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025·江苏·模拟预测）已知直线 恒过定点A，圆 上的两点 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26 高三上·江苏无锡·月考） 与 相交于点 ，线段 是圆 的一条动弦，且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江金华·一模）若圆 上存在两点 ，直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24 高二上·湖北襄阳·月考）过点 作斜率为 的直线交圆 于A， 两点，动点 满足 ，若对每一个确定的实数 ，记 的最大值为 ，则当 变化时， 的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．（25-26 高三上·江西南昌·月考）已知曲线 ，曲线 由 组成，圆 ，则（ ） A．当 时， 与圆 无公共点 B．当 与圆 有6 个公共点时， C．不存在过原点的直线与 无公共点 D． 上仅有4 个点到直线 的距离为 10．（25-26 高三浙江模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 上恰有3 个点到直线 的距离为 .设点 ， ， ，点 是圆 上的任意一点，过点 作 于 ，则下列说法中正确的有（ ） A． B．点 的轨迹方程为 C． 的最小值为 D．圆 上存在唯一点 ，使得 取到最小值 11．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知圆 ，点 为直线 与 轴的交 点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则（ ） A．若直线与圆 相切，则 B． 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．已知点 ，则 为定值 三、填空题 12．（2025 高三·全国·专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为 _____． 13．（25-26 高三山西模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点 的距离之比 为定值 且 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 在平面直角坐标系 中， ，点 是当 的阿氏圆上的动点．若点 为抛物线 上的动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，则 的最小值为___________． 14．（25-26 高三全国专题练习）已知 ，直线 ，直线 ，若 为 的交点，则 的最小值为_______． 结束
