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微专题23 痛点问题之概率统计经典解答题
【秒杀总结】
★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：
一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．
收集数据
整理数据
分析数据
统计推断
三种抽样方法：
简单随机抽样
（抽签法、随机
法），
系统抽样，
分层抽样．
五种统计图表：
频率分布表，
频率分布直方图，
茎叶图，散点图，
列联表．
两种数字特征：
集中趋势(众数、中
位数、平均数)，
离散程度（极差、
方差、标准差）．
三种统计推断：
用样本估计总体
（估计思想），
回归分析（拟合思想），
独立性检验（检验思
想）．
二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．
随机事件
事件概率
基本概型
八种常见事件：
随机事件，基本事件，
等可能事件，并事件，交事
件，
互斥事件，对立事件，相互独
立事件．
三种常见求法：
用频率估计概率，
利用基本概型的概率公
式，
转化为简单事件的概率.
七种概率模型：
古典概型，几何概型，
互斥事件概率，对立事件概
率，
条件概率，相互独立事件概
率，
独立重复试验概率．
三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．
随机变量
概率分布模型
分布列及数字特征
两类随机变量：
离散型随机变量，
连续型随机变量．
四种分布模型：
两点分布，超几何分布，
二项分布，正态分布．
三个问题：
概率分布列，数学期望，方
差．
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求a 的值；
(2)已知某班共有n 人，记这n 人生日至少有两人相同的概率为
，
，将一年看作365 天．
（ⅰ）求
的表达式；
（ⅱ）估计
的近似值（精确到0.01）．
参考数值：
，
，
，
．
【解析】（1）由题意得，当
时，
的定义域为
；当
时，
的定义域为
，
1
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又
，且
，所以
是
的极小值点，故
．
而
，于是
，解得
．
下面证明当
时，
．
当
时，
，
，
，
所以当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，即
符合题意．
综上，
．
（2）（ⅰ）由于n 人生日都不相同的概率为
，
故n 人生日至少有两人相同的概率为
．
（ⅱ）由（1）可得当
时，
，即
，当且仅当
时取等号，
由（ⅰ）得
．
记
，
则
，
即
，由参考数值得
，
于是
，故
．
例2．（2023 秋·四川成都·高三树德中学校考期末）第22 届世界杯于2022 年11 月21 日到12 月18 日在卡
塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
2
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(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将
也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外2 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 人中的1 人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知
．
①试证明：
为等比数列；
②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【解析】（1）方法一：
的所有可能取值为
，
在一次扑球中，扑到点球的概率
，
所以
，
，
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
3
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方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为
，
门将在前三次扑到点球的个数
可能的取值为
，易知
，
所以
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
所以
的期望
．
（2）①第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，
则当
时，第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，
第
次传球之前球不在甲脚下的概率为
，
则
，
即
，又
，
所以
是以
为首项，公比为
的等比数列．
②由①可知
，所以
，
所以
，
故
．
例3．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3 个白球2 个红球，第二个盒子
里装有2 个白球4 个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条
4
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件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，
求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【解析】（1）依题意，记事件
表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件
表示两次取球中有红球，
则
，
.
（2）记事件
表示从第一个盒子里取出红球，记事件
表示从第一个盒子里取出白球，记事件
表示从
第二个盒子里取出红球，
则
.
例4．（2023 秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5 双规格相同的筷子，其中2 双是一次性筷子，3 双是
非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1 双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，
若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2 次取出的是非一次性筷子的条件下，第1 次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3 次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了
，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
【解析】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，
则
，
，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率
；
（2）对于
，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的，
；
对于
，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
5
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；
对于
，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；
X
0
1
2
P
数学期望
；
（3）n 次取完表示最后一次是一次性筷子,则前
次中有一次取得一次性筷子，
所以
例5．（2023·全国·高三专题练习）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4 投入万元广
告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢
失，但可以确定横轴是从0 开始计数的.
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(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入
（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益
（单位：万
元）
2
3
2
7
表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算
关于
的回归方
程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
【解析】（1）设各小长方形的宽度为
，
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知
，
解得
.
所以图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是
，
各小组的中点分别为
，对应的频率分别为
，
所以可估计销售收益的平均值为
.
（3）由（2）可知空白栏中填5，
由题意可知
，
，
，
根据公式，可求得
，则
，
所以所求的回归直线方程为
.
例6．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁4 名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中
编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负
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者称为“负者”，第6 场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为
，而乙､丙､丁相互
之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【解析】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4 均负，
所以乙获连负两场的概率为
.
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1 胜3 胜6 胜；1 负4 胜5 胜6 胜；1 胜3 负5 胜6 胜，
所以甲获得冠军的概率为
.
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1 胜3 胜，乙1 负4 胜5 胜；甲1 负4 胜5 胜，乙1 胜3 胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3 场和第6 场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1 胜3 胜，丙2 胜3 负5 胜；乙1 胜3 负5 胜，丙2 胜3 胜，
同时考虑甲在第4 场和第5 场的结果，乙与丙在第3 场和第6 场相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
.
例7．（2023 春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75 届联合国大会上承诺，将
采取更加有力的政策和措施，力争于2030 年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060 年之前实现
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碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社
会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略
新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数
据，用最小二乘法得到电动汽车销量
（单位：万台）关于
（年份）的线性回归方程为
，
且销量
的方差为
，年份
的方差为
.
(1)求
与
的相关系数，并据此判断电动汽车销量
与年份
的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽
车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值
的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7 人，再从这7 人中随机抽取3 人，记这3 人中，
男性的人数为
，求
的分布列和数学期望.
①参考数据：
；
②参考公式：（i）线性回归方程：
，其中
；
（ii）相关系数：
，若
，则可判断
与
线性相关较强.
（iii）
，其中
.附表：
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【解析】（1）（1）相关系数为
故
与
线性相关较强.
（2）零假设为
：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于
.
（3）抽样比
，男性车主选取2 人，女性车主选取5 人，则
的可能取值为
故
,
,
故
的分布列为：
0
1
2
例8．（2023·全国·高三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置
了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统
计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用
表示活动推出的天数，
表示每天使用扫码支付
的人次（单位：十人次），统计数据如表1 所示：
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表1：
1
2
3
4
5
6
7
6
11
2
1
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如图1 所示的散点图.
参考数据：
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中
，
.
参考公式：
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
(1)根据散点图判断，在推广期内，
与
（
均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支
付的人次
关于活动推出天数
的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
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(2)根据（1）的判断结果及表1 中的数据，求
关于
的回归方程，并预测活动推出第8 天使用扫码支付的
人次；
【解析】（1）由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断
适宜作
为扫码支付的人数
关于活动推出天数
的回归方程类型;
（2）
，两边同时取常用对数得:
;
设
，
，
把样本中心点
代入
，得:
，
，
关于
的回归方程式:
.
把
代入上式:
,
故活动推出第8 天使用扫码支付的人次为
.
例9．（2023·全国·高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100 辆汽车进行
了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大
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续航里程
近似地服从正态分布
（用样本平均数
和标准差分别作为
的近似值），现任取
一辆汽车，求它的单次最大续航里程
的概率；
（参考数据：若随机变量
，则
，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛
掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车
最终停在“胜利大本营”（第19 格），则可获得购车优惠券3 万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”
（第20 格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是
，遥控车开始在第0 格，客户每掷
一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从
到
；若掷出反面，遥控车
向前移动两格（从
到
），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车
移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全
额的期望值（精确到
万元）.
【解析】（1）估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵
，
∴
.
（3）由题可知
，
遥控车移到第
格有两种可能：
①遥控车先到第
格，又掷出反面，其概率为
；
②遥控车先到第
格，又掷出正面，其概率为
，
∴
，
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∴
时，
，又∵
，
∴当
时，数列
首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，
以上各式相加，得
，
∴
时，
，
∴到达“胜利大本营”的概率
，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为
万元，则
或0，
∴
的期望
，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为
万元
【过关测试】
1．（2023·高三课时练习）设两名象棋手约定谁先赢
局，谁便赢得全部奖金a 元.已知每局甲
赢的概率为p(0<p<1)，乙赢的概率为1－p，且每局比赛相互独立.在甲赢了m(m<k)局，乙赢了n(n<k)局时，
比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？请回答下面的问题.
(1)规定如果出现无人先赢k 局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全
部奖金的概率之比进行分配.若a=243，k=4，m=2，n=1，
，则甲应分得多少奖金？
(2)记事件A 为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k=4，m=2，n=1 时比赛继续进行下去且
甲赢得全部奖金的概率f(p).规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，请判
断当
时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.
【解析】（1）设比赛再继续进行X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当X=2 时，甲以4：1 赢，得
；
14
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当X=3 时，甲以4：2 赢，得
；
当X=4 时，甲以4：3 赢，得
.
于是，甲赢得全部奖金的概率为
，
进而得甲应分得的奖金为
（元）.
（2）设比赛继续进行Y 局且乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当Y=3 时，乙以4：2 赢，得
；
当Y=4 时，乙以4：3 赢，得
.
所以，乙赢得全部奖金的概率
.
于是，甲赢得全部奖金的概率
.
对f(p)求导，得
.
因为
，所以
，得f(p)在
上是严格增函数，
于是
.
由此可知，
，
即乙赢的最大概率大于0.05，
所以事件A 不一定是小概率事件.
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间
（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有
的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却
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时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有
的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为
原来的2 倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2 倍伤害
加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技
能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害
为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一
和技能二各触发1 次”，求条件概率
(2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为
的概率记为
，求
.
【解析】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和
技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；
iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以
.
.
所以
.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为
,分为：
i. 记事件D：进行
次，均不触发技能二；前面的
次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的
次触发技能一，第
次未触发技能一.其概率为：
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iii. 记事件
：前面的
次未触发技能二，然后接着的第
次触发技能二；前面的
触发技能一，第
次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件
彼此互斥，记
，
所以
.
所以
3．（2023·全国·高三专题练习）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮
弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B 两种型号的炮弹，对于A 型号炮弹，
每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（
），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两
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弹目标飞行物必坠段；对子B 型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（
），且击中一弹
目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B 型号炮弹，求q 满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概
率不低于
；
(2)若
，试判断在一次训练中选用A 型号炮弹还是B 型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并
说明理由．
【解析】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与
否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B 型号炮弹，用
表示命中目标飞行物的炮弹数，则
（
服从
二项分布），
则
，
即
，则
，即
，则
，
又
，故
，
所以当
时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于
.
（2）在一次训练中，连发三发A 型号炮弹，用
表示命中目标飞行物的炮弹数，则
（
服从二
项分布），，
记事件
为“使用A 型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件
为“使用B 型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
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，
因为
，所以
，
则
，
令
，则
，
令
，即
，则
，得
，
又
，所以
恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，则
，
故
，即
，
所以使用B 型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
4．（2023·全国·高三专题练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试
剂品
分为两类不同剂型
和
．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂
和
合格的概率分别
为
和
，第二次检测时两类试剂
和
合格的概率分别为
和
．已知两次检测过程相互独立，两次检
测均合格，试剂品
才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂
和
合格的种类数为
，求
的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家
庭成员逐一使用试剂品
进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危
户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为
且相互独立，该家庭至少检测了3 个人才确定
19
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为“感染高危户”的概率为
，若当
时，
最大，求
的值．
【解析】（1）剂型
合格的概率为：
；
剂型
合格的概率为：
．
由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．
则
，
，
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望
．
（2）检测3 人确定“感染高危户”的概率为
，
检测4 人确定“感染高危户”的概率为
，
则
．
令
，因为
，所以
，
原函数可化为
．
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
此时
，所以
．
20
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5．（2023·全国·高三专题练习）某中学2022 年10 月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球
跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1 男（甲同学）2 女（乙同学和丙同学）三人参加这两
个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为
（
）．
假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为
．
(1)证明：在的概率分布中，
最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果
没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了
解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为
（
，2，3），每位同学能否命中相
互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给
出证明．
【解析】（1）由已知，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∵
，∴
，
所以概率
最大．
（2）由（1）知，当
时，有
的值最大，
且
，
，
21
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所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
证明如下：
假设
，
，
为
，
，
的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，
该顺序下三人能完成项目的概率为
，
，
，记在比赛时所需派出的人数为
，则
，2，3，且
的分布列为：
1
2
3
数学期望
，
∵
，∴
，
要使
尽可能小，则需要
尽可能大， 故当
取
时
最小，所以
，
∴
，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
6．（2023 春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，
顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200 名学
生的数学成绩，将成绩分为
，
，
，
，
，
，共6 组，得到如图
所示的频率分布直方图，记分数不低于90 分为优秀．
22
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(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70 分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在
内的学生中抽取13 名，再从这13 名学生中随机抽取3
名，记这3 名学生中成绩为优秀的人数为X，求X 的分布列与数学期望．
【解析】（1）依题意，得
，解得
，
则不低于70 分的人数为
，
成绩在
内的，即优秀的人数为
；
故这名学生成绩是优秀的概率为
；
（2）成绩在
内的有
（人）；
成绩在
内的有
（人）；成绩在
内的有
人；
故采用分层抽样抽取的13 名学生中，成绩在
内的有6 人，在
内的有5 人，在
内的
有2 人，
所以由题可知，X 的可能取值为0，1，2，
则
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
23
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P
故
．
7．（2023·全国·高三专题练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是
否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100 名，得到如下数据：
性别
锻炼
不经
常
经常
女生
40
60
男生
20
80
(1)依据
的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200 人中随机选择1 人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动
的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人.求第
次传球后球在甲手中的概率.
附：
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
【解析】（1）
，
故依据
的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200 人中随机选择1 人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则
，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率
；
（3）设n 次传球后球在甲手中的概率为
，
，
24
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则有
，
，
设
，则
，
所以
，解得：
，
所以
，其中
，
故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
故
，
故第
次传球后球在甲手中的概率为
.
8．（2023·全国·高三专题练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强
调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区
新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x（
）
1
2
3
4
5
销量y/万辆
10
12
17
20
26
(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，利用计算器求y 关于x 的线性回归方程，并预测
该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50 万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地
区200 位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的
有45 名，女性车主中有20 名购置传统燃油汽车.
①若
，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归
方程预测该地区2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千
人）；
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②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5 人，记恰有3 人购置新能源汽车的概率为
，求当w 为何值时，
最大.
【解析】（1）（1）由题意得
,
，
，
．
所以
，
．
所以
关于
的线性回归方程为
，
令
，得
，
所以最小的整数为12，
，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028 年能突破50 万辆．
（2）①由题意知，该地区200 名购车者中女性有
名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有
名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为
．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为
．
当
时，
，
所以预测该地区2023 年购置新能源汽车的销量为33 万辆，
因此预测该地区2020 年购置新能源汽车的女性车主的人数为
万人
②由题意知，
，
则
，
，
26
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当
时，知
所以函数
单调递增，
当
时，知
所以函数
单调递减
所以当
取得最大值
．
此时
，解得
，
所以当
时，
取得最大值
．
9．（2023·全国·高三专题练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、
B 进行体育运动和文化项目比赛，由A 部、B 部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两
胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则
其为最终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠
军．设每局比赛A 部获胜的概率为
，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求
，并求当
取最大值时p 的值；
(2)当
时，记一共进行的比赛局数为Y，求
．
【解析】（1）X 可能取值为2，3．
；
．
故
，
即
，则当
时，
取得最大值．
（2）当
时，双方前两天的比分为2∶0 或0∶2 的概率均为
；
比分为2∶1 或1∶2 的概率均为
．
27
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，则
或
．
即获胜方两天均为2∶0 获胜，不妨设A 部胜，
概率为
，同理B 部胜，概率为
，
故
；
即获胜方前两天的比分为2∶0 和2∶1 或者2∶0 和0∶2 再加附加赛，
不妨设最终A 部获胜，
当前两天的比分为2∶0 和2∶1 时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A 部一胜一负，第三场比赛A 获胜，另外一天
比赛比分为2：0，故概率为
，
当前两天比分为2∶0 和0∶2，附加赛A 获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为
，
故最终A 部获胜的概率为
，
同理B 部胜，概率为
，
故
．
所以
．
10．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30 名同学按照1，2，…，30 号站成一列做传球投篮练习，
篮球首先由1 号传出，训练规则要求：第
号同学得到球后传给
号同学的概率为
，
传给
号同学的概率为
，直到传到第29 号（投篮练习）或第30 号（投篮练习）时，认定一轮训练结
束，已知29 号同学投篮命中的概率为
，30 号同学投篮命中的概率为
，设传球传到第
28
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号的概率为
．
(1)求
的值；
(2)证明：
是等比数列；
(3)比较29 号和30 号投篮命中的概率大小．
【解析】（1）依题意，篮球传到4 号有以下三种途径：1 号传2 号传3 号传4 号其概率为
；
1 号传2 号传4 号其概率为
；1 号传3 号传4 号其概率为
，
因此
．
（2）依题意篮球传到第
号，再传给
号其概率为
；
篮球传到第
号，再传给
号其概率为
，因此有
，
可得
，且
，
所以
是首先为
，公比为
的等比数列．
（3）
，
，
，
，
，
，
由累加法，可得
，
所以
，
，
29
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所以
号投篮命中的概率为
号投篮命中的概率为
，
因为
，所以29 号投篮命中概率大于30 号投篮命中概率．
11．（2023 秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完
成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15 分钟，若某人15 分钟内不能完成该工作，则撤出，
再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为
，
，
.假设
，
，
互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为
，
，
，其中
，
，
是
的
一个排列.
①求所需派出人员数目X 的分布列和数学期望
；
②假定
，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
【解析】（1）无关，理由如下：
由于任务不能被完成的概率为
为定值，
故任务能被完成的概率为
也为定值．
所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．
（2）① X 的取值为1，2，3，
，
，
，
分布列如图：
X
1
2
3
30
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P
．
②
，
若交换前两个人的派出顺序，则变为
，
由此可见，当
时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，
可写为
，交换后两个人的派出顺序则变为
；
当
时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，
故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
12．（2023·全国·高三专题练习）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的
列联表：
患
病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
设从没服用药的动物中任取2 只，未患病数为
：从服用药物的动物中任取2 只，未患病数为
，工作人
员曾计算过
(1)求出列联表中数据
，y，M，N 的值：
(2)求
与
的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式
，其中
31
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P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）
，
，
，
，
，
；
即
，
，
，
；
（2）
取值为0、1、2，
，
0
1
2
P
∴
取值为0、1、2，
，
，
0
1
2
P
∴
∴
，即说明药物有效.
（3）∵
，
∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效
13．（2023·全国·高三专题练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕
业生中考研人数也不断攀升，2020 年的考研人数是341 万人，2021 年考研人数是377 万人．某省统计了该
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省其中四所大学2022 年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学
A 大学
B 大学
C 大学
D 大学
2022 年毕业人数x（千
人）
7
6
5
4
2022 年考研人数y（千
人）
0.5
0.4
0.3
0.2
(1)已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求：y 关于x 的线性回归方程
；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5 万元的补贴．
①若该省大学2022 年毕业生人数为8 千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若
大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为
，
，该省对小浙、小江两人的考研补贴
总金额的期望不超过0.75 万元，求
的取值范围．
参考公式：
，
．
【解析】（1）由题意得
，
，
又
，∴
∵
，∴
，
∴
，所以
，
故得y 关于x 的线性回归方程为
．
（2）①将
代入
，
估计该省要发放补贴的总金额为
（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X 的所有可能值为0，1，2；
，
33
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，
，
∴
，
∴
，解得
，
又
，∴
，∴
，
故p 的取值范围为
．
14．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用
的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型
切比雪夫不等式：设
为离散型随机变量，则
，其中
为任意大于0 的实数.切
比雪夫不等式可以使人们在随机变量
的分布未知的情况下，对事件
的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数
.在一次抽奖游戏中，有
个不透明的箱子依次编号为
，编号为
的箱子中装有编号为
的
个大小､质地均相同的小球.主持人邀请
位
嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为
，并记
.对任意
的
，是否总能保证
（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量
满足
，则
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有
.
【解析】（1）设
的所有可能取值为
取
的概率为
.
则
，
（2）（2）由参考公式，
.
，用到
而
，故
.
当
时，
，
因此，不能保证
.
15．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256 元，谁先赢满5 局，谁便
赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为
，甲赢的概率为
，每局游戏相互独立，在乙
赢了3 局甲赢了1 局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有
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专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5 局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进
行下去各自赢得全部奖金的概率之比
分配奖金.
(1)若
，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A 为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率
，并判断当
时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于
，
则称随机事件为小概率事件）
【解析】（1）设游戏再继续进行下去X 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当
时，乙以
赢，所以
，
当
时，乙以
赢，所以
，
当
时，乙以
赢，所以
，
当
时，乙以
赢，所以
，
所以乙赢得全部奖金的概率为
，
所以乙应该得多少奖金为
（元）.
（2）设游戏继续进行Y 局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当
时，甲以
赢，所以
，
当
时，甲以
赢，所以
，
甲获得全部奖金的概率
，
所以
，
所以
，
，
，
36
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在
上单调递减，所以
，
故事件A 是小概率事件.
16．（2023·全国·高三专题练习）某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为
．
(1)若
，从中随机取出
只鸡，记取到病鸡的只数为
，求
的概率分布及数学期望
(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡方案如下：按每
只鸡一组分组，并把同
组的
只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组
只鸡逐只化验设每只鸡的化验次数为随
机变量
，当且仅当
时，
的数学期望
，求
的取值范围
【解析】（1）依题意，
的所有可能取值为，，
．
且
，
，
，
所以
的概率分布表为
所以
；
（2）设
．
若同一组的
只鸡无感染，则
否则，
．
所以
，
．
所以
．
又当且仅当
，
时，
，即
，
所以当且仅当
且
时，
，
设
，则
，令
，得
．
37
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所以
在
上单调递增，
在
上单调递减．
由
知，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
所以
，
解得
，所以
的取值范围是
17．（2023·全国·高三专题练习）4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高
一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了这500 名学生的
日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成
，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在
内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3
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人，记日平均阅读时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
k 名学生日平均阅读时间在
内的概率，其中
，1，2，…，10．当
最大时，写出k 的值．
（只需写出结论）
【解析】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
，
，所以日平均阅读时间在
内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500 名学生中日平均阅读时间在
，
，
，
，
，
三组内的学生人数分别为：
人，
人，
人，
若采用分层抽样的方法抽取了10 人，
则从日平均阅读时间在
，
内的学生中抽取：
人，
现从这10 人中随机抽取3 人，则
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
39
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数学期望
.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在
内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10
名学生，恰有k 名学生日平均阅读时间在
内的分布列服从二项分布
，
，由组合数的性质可得
时
最大.
18．（2023·全国·高三专题练习）某学校开展投篮活动，活动规则是：每名选手投篮
次（
，
），每次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮．规定每
名选手第一次站在两分线处投篮．站在两分线处投进得2 分，否则得0 分；站在三分线处投进得3 分，否
则得0 分．已知小明站在两分线处投篮投进的概率为0.7，站在三分线处投篮投进的概率为0.5，且每次投
篮相互独立．
(1)记小明前2 次投篮累计得分为
，求
的分布列和数学期望；
(2)记第
次投篮时，小明站在三分线处投篮的概率为
，
，2，…，
，求
的表达式．
【解析】（1）依题意，
的所有可能取值为，
，．
记“小明第次投篮站在两分线处并且投进”为事件
，
，
，
“小明第2 次投篮站在三分线处并且投进”为事件
．
；
；
．
所以
的分布列为
所以
．
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（2）由题意知，
．
当
时，分两种情形：
①若小明第
次投篮站在三分线处，这种情形下小明第
次投篮站在三分线处的概率为
；
②若小明第
次投篮站在两分线处，这种情形下小明第
次投篮站在三分线处的概率为
．
所以
，
所以
，
由题易知
，
当
时，
也成立，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列．
所以
，即
．
19．（2023·全国·高三专题练习）2022 年4 月23 日是第27 个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展
翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2 分，答错得1 分，不限制答题次数.已
知小明能正确回答每题的概率都为
，且每次回答问题是相互独立的，记小明得
分的概率为
，
.
(1)求
，
的值；
(2)求
.
【解析】（1）得2 分即回答1 题正确或者回答2 题都错误，所以
，
得3 分即回答2 题1 题正确，1 题错误或者回答3 题都错误，所以
；
（2）因为小明得
分有两种情况，一种是小明在得
分的情况下又答1 题错误；
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另一种是小明在得
分的情况下又答1 题正确.
所以
，即
，
因为
，
所以
，
因此
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
当
时，
，
，
又
符合上式，
所以
.
20．（2023 秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，
分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3 分，第二、
三名各积2 分，第四名积1 分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，
获胜者得2 分，失败者得1 分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、
第二名的概率均为
，获得第四名的概率为
；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为
.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为
，求
的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5 道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一
次答错时，答题结束，积分为0 分，只有全部答对5 道题可以获得5 个积分.某市某部门为了吸引更多职工
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参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1 阶到
阶，规定每轮答题获得5 个积分进2 阶，
没有获得积分进1 阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5 个积分的概率互不影响，均为
，
记乙进到
阶的概率为
，求
.
【解析】（1）甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为
，
依题意，
所有可能的取值为
，
所以
的分布列如表所示
所以
；
（2）依题意，
，
，
“进到
阶”的情况包括：第一种情况是进到
阶后下一轮未获得5 个积分，其概率为
；第二种情
况是进到
阶后下一轮获得5 个积分，其概率为
，两种情况互斥，所以
，
则
所以
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又
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
，
故
即
；
综上，为E(X)=
，
.
21．（2023·全国·高三专题练习）2022 年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名
高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，
若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，
比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为
；甲与丙比赛，
丙赢的概率为p，其中
．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下
业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3 万元，负队获奖金1.5 万元；若
平局，两队各获奖金1.8 万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组
织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望
的取值范围．
【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
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，
因为
，所以
，所以
.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知
万元或
万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为
，
专业队获胜的概率为
，
所以，非平局的概率为
，
平局的概率为
.
的分布列为：
的数学期望为
（万元）
而
，所以
的取值范围为：
（单位：万元）.
22．（2023 春·重庆·高三统考开学考试）某企业从生产的一批零件中抽取100 件产品作为样本，检测其质
量指标值m（其中：
），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m
150≤m<350
100≤m<150 或350≤m≤400
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等级
A 级
B 级
(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的
分位数；
(2)从样本的B 级零件中随机抽3 件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为
，求
的分布列和数
学期望；
(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500 个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是
10 元，一个B 级零件的利润是5 元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
【解析】（1）前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设
分位数为
，
，解得
287.5
∴产品的质量指标值的
分位数为287.5
（2）
，所以样本的B 级零件个数为10 个，质量指标值在[350，400]的零件为
5 个，故
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量
的分布列为
0
1
2
3
所以期望
.
（3）设每箱零件中A 级零件有
个，每箱零件的利润为
元，则
级零件有
个，
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由题意知：
，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为
，A 级零件的概率为1-0.1=0.9
所以
， 所以
，
所以
(元).
所以每箱零件的利润是4750 元
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