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大题培优 03 概率与分布列归类
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【题型一】 超几何分布型分布列.....................................................................................................................................1
【题型二】二项分布型分布列...........................................................................................................................................4
【题型三】正态分布型.......................................................................................................................................................7
【题型四】分布列均值与方差.........................................................................................................................................12
【题型五】竞技比赛型分布列.........................................................................................................................................17
【题型六】多人比赛竞技型分布列.................................................................................................................................20
【题型七】递推数列型.....................................................................................................................................................23
【题型八】三人传球递推数列型.....................................................................................................................................27
【题型九】导数计算型分布列最值.................................................................................................................................32
【题型十】机器人跳棋模式求分布列.............................................................................................................................36
【题型一】 超几何分布型分布列
总数为 的两类物品，其中一类为 件，从 中取 件恰含 中的 件， ，其中
为 与 的较小者， ，称 服从参数为 的超几何分布，记作
，此时有公式 。
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示
抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ， ， ， ， ， . 其
中n，N， ， ， ， ， . 如果随机变量X的分布列
具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_. .
1.（2023·湖北·模拟预测）某区域中的物种 拥有两个亚种（分别记为 种和 种）.为了调查该区域中这两
个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉 个物种 ，统计其中 种的数目后，将捕获的生
物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共 次，记第 次试验中 种的数目为随机变量
.设该区域中 种的数目为 ， 种的数目为 ，每一次试验均相互独立.
(1)求 的分布列；
(2)记随机变量 .已知 ， ；（ⅰ）证明： ， ；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 .数据 的平均值
，方差 .采用 和 分别代替 和 ，给出 ， 的估计值.
【答案】(1)分布列见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） ，
【分析】
（1）根据条件，判断 服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列即可求出结果；
（2）（ⅰ）直接利用均值和方差的性质即可证明结果；
（ⅱ）先利用第（ⅰ）中的结论，求出 ， ，再结合条件建立方程组，
从而求出结果.
【详解】（1）依题意， 均服从完全相同的超几何分布，故 的分布列为
.
（2）（ⅰ）由题可知
，
，故 ，
（ⅱ）由（ⅰ）可知 的均值 先计算 的方差
所以 依题意有
解得 ， ．所以可以估计 ， ．
2.（23·24高三上·江苏南通·阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不
透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个
球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一
个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
进而结合组合数运算求解；
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以 .
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
3.（2024·广东广州·二模）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查
该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽
取20个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 ，和 ，分别表示第 个样区的植物覆
盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
.
(1)求样本 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和
植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽
到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【答案】(1)0.94，相关性较强．(2)见解析
【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解，
（2）根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.
【详解】（1）
样本 ， ，2， ， 的相关系数为
．
由于相关系数 , ，则相关性很强， 的值越大，相关性越强．
故 ，故相关性越强．
（2）由题意得： 的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样
本平均数，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
【题型二】二项分布型分布列
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在 次独立重复实验中恰好发生 次概率
，称 服从参数为 的二项分布，记作
， = ， .
1.（2024·云南昆明·一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个
问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，
如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为
30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 ，
事件 （ ）的概率为 ，求当 最大时 的值.
【答案】(1)0.75(2)6【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件 ， “一次应答被采纳”为事件 ，
由题意 ， ， ，则
，
.
（2）依题意， ， ，
当 最大时，有
即 解得： ， ，
故当 最大时， .
2.（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸
引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、
公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个
“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部
门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.
(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景
区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件
A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求 ， ；
(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、
深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数
学期望．
【答案】(1) ， (2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）利用条件概率的公式 及全概率公式求解即可；
（2）随机变量 符合二项分布的两个特点“独立性”和“重复性”，故可建立二项分布模型，按二项分
布求解即可.
【详解】（1）由古典概型的计算公式可得， ， ，由条件概率的计算公式得： ，
同理 ，
则 ．
（2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且 ，
； ；
； ；
．
所以X的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望 ．
3.（2023·广东肇庆·二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 次，每次
发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为 .
(1)当 时，求
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量 ，若其数学期望 和方差 均存在，则对任意正实数
，有 .根据该不等式可以对事件“ ”的概率作出下限估计.为了至
少有 的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数 的最小值.
【答案】(1) (2)1250
【分析】（1）根据二项分布公式计算；
（2）运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用
切比雪夫不等式求解.
【详解】（1）由已知 ，所以
；
（2）由已知 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
即 .
由切比雪夫不等式 ，
要使得至少有 的把握使发射信号“1”的频率在 与 之间，则 ，
解得 ，所以估计信号发射次数 的最小值为1250；
综上， ，估计信号发射次数 的最小值为1250.
【题型三】正态分布型
（1）若 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中
是参数，且 ， ）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
** 错误的表达式 **曲线在 轴上方，并且关于直线 对称；
** 错误的表达式 **曲线在 处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间
高，两边低”的形状；
** 错误的表达式 **曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”；
** 错误的表达式 ** 图像与 轴之间的面积为1.（2） = ， = ，记作 .
当 时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则 在 ， ， 上取值的概率
分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的 原则。
1.从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程
时间（单位：min），数据如下表：
路线
44 58 66 50 34 42 50 38 62 56
一
路线
62 56 68 62 58 61 61 52 61 59
二
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 .
(1)求 .
(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布 ，路线二的全程时间Y服从正态分布 ，分别
用 作为 的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过
，乙要求路上时间不超过 ，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路
线？
【答案】(1) ， ， ， (2)甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二
【分析】（1）根据求平均数公式和方差公式进行求解；（2）根据正态曲线的对称性进行求解.【详解】（1） ，
，
，
.
（2）由（1）知 .
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
又 ，所以 ，
所以送甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二.
2.2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航
系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．
北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性
99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度 近似满足 ，
预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾
斜地球同步轨道卫星数记为 ，求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5
颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为 ，求 的数学期望．
附：若 ，则 ， ，
．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析， ；（ⅱ）4.
【分析】（Ⅰ）根据“ ”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知 服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知 服从二项分布，利用公
式即可求解．
【详解】（Ⅰ）由 ，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知 ， ，
∴ 的分布列为
∴ ．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为 ，所以5个基
地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目 ，
∴ ．
3.据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过 的高速年均增长．针对
这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为 万个包装胶带的生产线．已知该包装胶带的质量以某项
指标值作为衡量标准．为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 个包装胶带，
统计了每个包装胶带的质量指标值 ，并分成以下 组： ， ，…， ，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
质量指标值
产品等级 级 级 级 级 废品
频数
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：
（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样
本平均数 ， 近似为样本的标准差 ，并已求得 ．求 的值；
（2）已知每个包装胶带的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表所示：（ ）
质量指标值
利润
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为 万元（含引进生产线、兴建厂房
等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由．
参考数据：若随机变量 ，则 ， ，
， ．
江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高三上学期省模考模拟二数学试题
【答案】（1） ；（2）该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.
【分析】(1)写出分布列，求出样本平均数，利用正态分布三段区间的概率值求概率；
(2)列出包装胶带的质量指标值 的分布列，求出每个包装胶带的利润 ，借助导数求其最大
值即可作答.
【详解】（1）依题意，区间中点值与对应概率如下表：
中间值
概率则样本平均数为 ，
于是得 ，
而 ，
（2）依题意，该包装胶带的质量指标值 、利润 与对应概率如下表所示：
质量指标值
利润
则每个包装胶带的利润 ，
则 ，令 ，得 ，
因此当 时， ，当 时， ，函数 在 上递增，在
上递减，
从而得当 时， 取最大值， (元)
因该生产线的年产量为 万个，则该生产线的年盈利的最大值为 (万元)，
而 万元 万元，
所以该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.
【题型四】分布列均值与方差（1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为 ，总体的平均数为 ，则称
_为总体方差， _为总体标准差．
（2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为
，其中 出现的频数为 ，则总体方差为 _．
（3）设样本容量为n，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 ，两层的平均数分别为 ，方差
分别为 ， ，则这个样本的方差为 ．
1.（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，
任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生
抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注
射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射
疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为 ．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含 的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数 的数学期望为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则 ，则所求概率即 ；
（2）先求得 ，由 显然可得 ，再变形
，可证得 .
【详解】（1）平均每组 人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则 ，
所以 ，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为 ．
（2）由（1）得 ，
，
所以，
设 ，则 ，
又 ，
所以
，因为 ，所以 ，
又
，因为 ，所以 ，
所以 ．
2.（22-23高二下·福建福州·期末）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有
份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（ 且 ）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血
液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血
液样本再分别化验一次，检验总次数为 次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为 ．
(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就
能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用混
合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求P关于k的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，求出相应的概率，再由 可求得
P关于k的函数关系式 ；②由 得 （ 且 ），构造函数
，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.
【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件 ，
事件 分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无
抗体，
所以 ，
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ，
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，
所以 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，得 ，
所以P关于k的函数关系式 （ 且 ）
②由①知 ， ，
若 ，则 ，所以 ，得 ，
所以 （ 且 ）
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，，
所以不等式 的解是 且 ，
所以 且 时， ，采用方案二混合检验方式好，
且 时， ，采用方案一逐份检验方式好，
3.（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中
．而在n维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表
示为n维坐标 ，其中 ．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼
哈顿距离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ，P随X变化关系可表示为 ）
【答案】(1) (2)①分布列见解析， ；②证明见解析
【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定 ，再结合组合数公式求
概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时， ，可得正态分布 ，
正态分布曲线为 ，并设题中分布列所形成的曲线为 ，则当 与 均在 处取最大值，
说明当 时，
且 ，则可认为方差 ．
【详解】（1）对于n维坐标 有 两种选择（ ）．
故共有 种选择，即 个顶点
（2）①对于 的随机变量，在坐标 与 中有k个坐标值不同，即 ，剩下 个坐标值满足 ．
此时所对应情况数为 种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望
倒序相加得 即 ．
②当n足够大时， ．设正态分布 ，正态分布曲线为 ，
由定义知该正态分布期望为 ，方差为 ．设题中分布列所形成的曲线为 ．
则当 与 均在 处取最大值，若当 时，
且 ，则可认为方差 ．
I． ：当 时，有 即 ．II．
当n足够大时，有
当 时，
当 时， 故 ．综上所述，可以认为 ．
【题型五】竞技比赛型分布列
1.（2023·山西临汾·模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克
教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都
会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状
通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的
魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为
智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔
方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为 ，小吴每局比赛获胜的概率均为 ，
若采用三局两胜制，两人共进行了 局比赛，求 的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比
赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局
三胜制”还是“三局两胜制”？
【答案】(1)分布列见解析； (2)小王应选择“五局三胜制”
【分析】（1）依题意得到 的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从
而得解；
（2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解.
【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以 的可能取值为 ，
表示小王或小吴连胜两局； 表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以 ， ，
所以 的分布列为：
则 的数学期望为 .
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为 ；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；
负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为，
因为 ，
所以小王应选择“五局三胜制”.
2.（2021·山东·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛
的失败者直接淘汰，常见的有 等等． 表示双方进行一局比赛，获胜者晋级． 表示双方
最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在
四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行
，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行 ，胜者为冠军．已知A与 比赛，A的胜
率分别为 ；B与 比赛，B的胜率分别 ；C与D比赛，C的胜率为 ．任意两局比赛之间均
相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2） 参加比赛获胜的局数 的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期
望公式进行运算求解即可.
【详解】解：（1） 进入第二轮的概率为 ，
与 比赛， 获胜， 与 比赛， 获胜，且 与 比赛， 获胜，
其概率为 ，
故在 进入第二轮的前提下， 最终获得冠军的概率 ．
（2） 参加比赛获胜的局数 的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
0 1 2 3．
3.（23·24高三下·浙江·开学考试）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2
分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获
胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 .
(1)若 ，求比赛结束时，三人总积分 的分布列与期望；
(2)若 ，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
【答案】(1)分布列见详解， .(2)让乙和丙打第一局
【分析】（1）求出 的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（2）分别计算出“第一局乙对丙最终乙获胜”，“第一局乙对甲最终乙获胜”，“第一局甲对丙而最终
乙获胜”三种策略下的概率，作差法比较出大小，得到答案.
【详解】（1）由题意可知，两场比赛后结束，也即第一局的其中1人连续获得两场胜利，有两种情况，
此时 ， ，
当三场比赛后结束，即第一局比赛的2人均未获胜，轮空者获胜，共有两种情况，
此时 ， ；
当四场比赛后结束，前三局比赛，甲乙丙三人各赢1场，进行第四场比赛，共有2种情况，
此时 ， ；
所以三人总积分 的分布列为
4 6 8
0.5 0.25 0.25
所以 .
（2）设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对
丙而最终乙获胜”，则有：
已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙比赛时，乙获胜的概
率为 .
其中 包含三种情况，第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ；
同理可得 ；；
显然 ，
故 ，
，
由于 ，故 ，
所以 ；故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.
【题型六】多人比赛竞技型分布列
比赛模式，要考虑：
1. 比赛几局？
2. “谁赢了”；
3. 有没有平局
4. 赢了的必赢最后一局；
5. 比赛为啥结束？
1.（2023·全国·模拟预测）已知甲､乙､丙三人进行一个项目的比赛.在一轮比赛中，每两人之间均进行一场
比赛，且每场比赛均无平局出现，三场比赛结束后，若有人赢得两场比赛，则该人获胜，比赛结束：若三
人各赢得一场比赛，则三人继续进行下一轮比赛，以此类推，直至有人在其中一轮比赛中赢得两场比赛，
该人获胜，比赛结束.已知甲胜乙､甲胜丙､乙胜丙的概率分别为
(1)求恰好在两轮比赛后比赛结束的概率；
(2)设比赛结束时，共进行了 轮比赛，且当进行了四轮比赛后仍无人赢得比赛则通过抽签决出胜负，不再
进行第五轮比赛，求 的分布列及数学期望，
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）求出在一轮比赛中，无人赢得两场比赛的概率，进而求出恰好在两轮比赛后比赛结束的概
率；
（2）求出 ，并在（1）的基础上得到相应的概率，得到分布列及数学期望.【详解】（1）设在一轮比赛中，无人赢得两场比赛为事件A，恰好在两轮比赛后比赛结束事件为 ，
事件A包含两种情况，一是甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，二是乙胜甲，甲胜丙，丙胜乙，
可知 ，
事件B则表示第一轮比赛无人赢得两场比赛，第二轮比赛有人赢得两场比赛，
所以 .
（2）易知 ，由（1）可知 ，
， ，
所以 的分布列为：
1 2 3 4
所以
2.（23·24高三·海南海口·阶段练习）甲、乙两队举行围棋擂台赛，比赛规则如下：两队各出三人参加比赛，
并按1，2，3号排定先后出场次序，第一局由双方1号队员出场比赛.每场比赛后，获胜的队员留下继续比
赛，告负的队员淘汰出局，由该队下一号队员上场比赛.当某队三名队员都被淘汰出局时比赛结束，有队员
未被淘汰的一方获得擂台赛胜利.假设各局比赛相互独立，甲队第m号队员胜乙队第n号队员的概率为下表
中第m行、第n列中的数据.
第1列 第2列 第3列
第1列 0.5 0.3 0.2
第2列 0.6 0.5 0.3
第3列 0.8 0.7 0.6
(1)求甲队2号队员把乙队三名队员都淘汰出局的概率；
(2)在第三局比赛中，甲队和乙队哪个队获胜的可能性更大?说明你的理由.
【答案】(1)0.045(2)甲队队员获胜的概率更大一些，证明见解析
【分析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队
2号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；
（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队
1号，分别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．
【详解】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为 .
（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件
（i）甲队1号胜乙队3号，概率为 ；
（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为 ；
(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为
故第3局甲队队员胜的概率为 .则第3局乙队队员胜的概率为
因为 ，
故甲队队员获胜的概率更大一些．
3.（23·24高三·江苏·开学考试）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田
径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获
得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为 ；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别
为 和 ；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 和 ，其中 ，甲、乙、丙三人晋级与否
互不影响．
(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，求三人中进入决赛的人数 的分布列和期望．
【答案】(1) ，即进入决赛的可能性甲 丙 乙.(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可；
（2）根据题意先求出 与 所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，并计算出
期望即可求解.
【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为 ，
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为 ，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为 ，
则 ，且 ，解得 ，
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和 ，两轮中均获胜的概率为 ，
进入决赛的人数 的可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
， .
所以 的分布列为
0 1 2 3所以 .
【题型七】递推数列型
马尔可夫链：若 ，即未来状态 只受当前
状态
马尔科夫不等式
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学
期望间的关系．
证明：当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
∑ A
， ，其中符号 i表示对所有满足
x≥ε
i
的指标i所对应的 求和．的影响，与之前的 无关.
1.（23·24高三上·湖北·期中）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中 次，第二组投篮2次，投中 次，求 ；
(3)记 表示小明投篮 次，恰有2次投中的概率，记 表示小明在投篮不超过
n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也
不再继续投），证明： .
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）方法1：得到 的可能取值及相应的概率，求出期望值；
方法2：得到 ， ，得到 ， ，由 ， 互相独立，求出
，得到答案；（3）先计算出 ，再求出 ， ，利用互斥事件求概率公式和错位相减法
得到 ，计算出 ，作商比较出 ，从而证明出结论.
【详解】（1）设事件 表示共有 次投中，事件B表示第二次没投中，
则 表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中，
故 ， 表示一共投中2次，故 ，
则 ；
（2）方法1：根据题意有 可得取值为 ， 的可能取值为 ，
故 的可能取值为 ，
则 ，
，
，
，
，
.
所以 .方法2：因为 ， ，
所以 ， .又因为 ， 互相独立，所以 .
（3）根据题意可知 . ， ，
，记 ①， ②，
两式相减得 ，故 ，
故 .所以
，
又因为 ，且当 时， ，
所以 .
2.（2022高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率
为 .
(1)求 ， ， 和 ；
(2)写出 的递推公式，并指出增减性.
【答案】(1) ， ，
(2) 当 时 递减【详解】（1）显然 ， ；又投掷四次，连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正
或正正正反或反正正正，故 .
（2）共分三种情况：如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正
面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ；如果第n次出现正面，第 次出现反
面，那么前n次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续
三次正面的概率是 ；如果第n次出现正面，第 次出现正面，第 次出现反面，那么前n次不
出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是
.
由此可得， ， ， ， .
故 ，①
，②
① ②，有 .
所以当 时， 递减，且易知 .
综上， 且当 时 递减.
3.（20·21高三·福建福州·期中）一只蚂蚁从正方形 的顶点 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过
一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为 ，逆时针的概率为 ，设蚂蚁经过 步回到 点的概率为 .
（1）求 ， ；
（2）设经过 步到达 点的概率为 ，求 的值；
（3）求 .
【答案】（1） ， ，（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，（3）当
为奇数时， ，当 为偶数时，【分析】（1） 即经过一步从点 到达点 的概率， 即经过两步从点 到在点 的概率，即可求出 ，
的值；
（2）当 为偶数时，由顶点 出发只能到 点或点 ，可得 ，当 为奇数时，由顶点 出发只
能到 点或 点，可得 ；
（3）当 为偶数时，得到 ，进而得到 ，再构造等比数列即可求解
【详解】解：（1）因为 即经过一步从点 到达点 的概率，所以 ，
因为 即经过两步从点 到在点 的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，
所以 ，
（2）当 为偶数时，由顶点 出发只能到 点或 点，到达的概率为 ，到达点 的概率为 ，
所以 ，
当 为奇数时，由顶点 出发只能到 点或 点， ，所以 ，
综上，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，
（3）当 为奇数时， ，
当 为偶数时，从点 或 点出发经过两步到点 有概率分别为
， ，
从点 出发经过 步到点 分为两步，
①从点 出发经过 步到达点 ，再经过两步到点 ，概率为 ，
②从点 出发经过 步到达点 ，再经过两步到点 ，概率为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，综上，当 为奇数时， ，当 为偶数时，【题型八】三人传球递推数列型
多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量
的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限
制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
1.（22·23高三 ·江苏·）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根
廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将
也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 ．
①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p 与q 的大小．
10 10
【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断 ，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为
，由条件确定 的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出 ，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一： 的所有可能取值为 ，在一次扑球中，扑到点球的概率 ，所以 ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为 ，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为 ，易知 ，
所以 ，故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的期望 ．
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为
，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，则 ，
即 ，又 ，所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，故 ．
2.（22·23高三山东潍坊·阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，
篮球首先由1号传出，训练规则要求：第 号同学得到球后传给 号同学的概率为 ，传给 号同学的概率为 ，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结
束，已知29号同学投篮命中的概率为 ，30号同学投篮命中的概率为 ，设传球传到第
号的概率为 ．
(1)求 的值；
(2)证明： 是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
【分析】（1）依题意篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号，1号传2号传4号，1号传
3号传4号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得 ，即可得到 ，从而得证；
（3）由（2）利用累加法求出 ，即可求出 、 ，从而求出 号、 号命题的概率，即可比较大小.
【详解】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为
；
1号传2号传4号其概率为 ；1号传3号传4号其概率为 ，
因此 ．
（2）解：依题意篮球传到第 号，再传给 号其概率为 ；
篮球传到第 号，再传给 号其概率为 ，因此有 ，
可得 ，且 ，
所以 是首先为 ，公比为 的等比数列．
（3）解： ， ， ， ，
， ，
由累加法，可得 ，所以 ， ，所以 号投篮命中的概率为
号投篮命中的概率为 ，
因为 ，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
3.（22·23高三 ·广东·阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月
21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2 2列联表
如下：
喜爱足球运
不喜爱足球运动 合计
动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传
球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 ．
（i）求 （直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关(2)（i） ；（ii）证明见解析，甲的概率大
【分析】（1）计算出卡方，与10.828比较得到结论；
（2）（i）根据传球的等可能性推出 ，（ii）推导出 ，构造出等比数列，
求出 ，得到 ，比较出大小.
【详解】（1）假设 ：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
故传给甲的概率为 ，故 ．
（ii）第 次触球者是甲的概率记为 ，则当 时，第 次触球者是甲的概率为 ，
第 次触球者不是甲的概率为 ，则 ，从而 ，
又 ， 是以 为首项，公比为 的等比数列． 则 ，
∴ ， ， ，故第19次触球者是甲的概率大
【题型九】导数计算型分布列最值
1.（22-23高三浙江）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接
触传染，现有 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 ，被感染的白鼠数用随机变量X表示，
假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若 ，求数学期望 ；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 与参数
的取值有关.团队A提出函数模型为 ，团队B提出函数模型为 .
现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量 表示第 组被
感染的白鼠数，将随机变量 的实验结果 绘制成频数分布图，如图所示.（i）试写出事件“ ”发生的概率表达式（用 表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 时使得概率 最大，称 是 的最大似然估
计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 的最大似然估计，并
求出最大似然估计.参考数据： .
【答案】(1)50(2)（i） ；（ⅱ）团队B可以求出 的最大似然估计，
【分析】
（1）由题意可得 ，再根据 求解即可；
（2）（i）设 ，依题意得
，化简即可；
（ⅱ）记 ，求导分析单调性可得最大值，分别在团体
A，B中提出函数模型即可得答案．
【详解】（1）由题知，随机变量 服从二项分布， ，由 ，
即 ，得 ，所以 ；
（2）（i） “ ”，
，
所以 ；
（ii）记 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 取得最大值，即 取得最大值，在团队 提出的函数模型 ， 中，
记函数 ， ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得最大值 ，则 不可以估计，
在团体 提出的函数模型 中，记函数 ， 单调递增，
令 ，解得 ，则团队B可以求出 的最大似然估计，且 是 的最大似然估计.
2.（22-23高三·福建福州）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有 份
血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（ 且 ）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血
液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血
液样本再分别化验一次，检验总次数为 次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为 ．
(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就
能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用混
合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求P关于k的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ．
【答案】(1) (2)答案见解析
【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前
四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，求出相应的概率，再由 可求得P关于k的函数关系式 ；②由 得 （ 且 ），构造函数
，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.
【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件 ，
事件 分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无
抗体，
所以 ，
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ，
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，
所以 ， ，
所以 ，若 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，得 ，
所以P关于k的函数关系式 （ 且 ）
②由①知 ， ，若 ，则 ，所以 ，得 ，
所以 （ 且 ）令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
，所以不等式 的解是 且 ，
所以 且 时， ，采用方案二混合检验方式好，
且 时， ，采用方案一逐份检验方式好，
3.（20-21高三 ·重庆沙坪坝·阶段练习）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病
鼠与白鼠之间的接触传染，现有 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 ，被感染的白鼠数用
随机变量 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．（1）若 ，求数学期望 ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 与参数
的取值有关．团队 提出函数模型为 ，团队 提出函数模型为 ．
现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量 表示第 组被感染的白鼠数，现将
随机变量 的实验结果 绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被
感染之间相互独立．
①试写出事件“ ”发生的概率表达式（用 表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数 时使得概率 最大，称 是 的最大似然估计．
根据这一原理和团队 ， 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 的最大似然估计，并求
出估计值．
参考数据： ．
【答案】（1） ；（2）① ；②答案见解析， .
【分析】（1）易知随机变量 服从二项分布，由 ，得 ，数学期望 即可
求解；
（2）①设 ，依题意得
化简即可；②记
，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提
出函数模型即可得答案．
【详解】解：（1）由题知，随机变量 服从二项分布， ，
由 ，得 ， ．（2）① ，
，
．
②记 ，则 ，
当 时， ， 单增；
当 时， ， 单减；
当 时， 取得最大值，即 取得最大值．在团体 提出的函数模型 中，
记函数 ， ，
当 时， ， 单增；
当 时， ， 单减．
当 时， 取得最大值 ，则 不可以估计．在团体 提出的函数模型 中，
记函数 ， 单调递增，令 ，解得 ，则 是 的最大似然估计．
【题型十】机器人跳棋模式求分布列
1.（江苏省苏州市2022-2023学年高三下学期2月学业质量调研数学试题）设数轴上有一只兔子，从坐标
开始，每秒以 的概率向正方向跳一个单位，以 的概率向反方向跳一个单位，记兔子
第n秒时的位置为 ．
(1)证明： ；
(2)记 是表达式 的最大值，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)若n次跳动中一共向右跳了k次，则 ．得到
，若n次跳动中一共向左跳了k次，则 ．得到
，再利用 ，讨论
或 即可得证；
(2)先计算 ，再利用 ，
， 进行放缩可以得证.
【详解】（1）若n次跳动中一共向右跳了k次，则 ．
因此 ， ，1，2，…，n．
若n次跳动中一共向左跳了k次，则 ．
故 ， ，1，2，…，n．
于是 ，
当 时， ；
当 时， ．
故 ，
即 ．
（2）因此 ．
【点睛】关键点点睛：
第一问中借助 ，
从而讨论 或 即可得证；
第二问中借助 ， ， 多次放缩才得证.
2.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩
（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，经计算，（1）中
样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，现任
抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量 ，则
， ， )
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序
中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上
有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，
每次跳1格或跳2格，概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率为 ，试
证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.
【答案】(1) (2) (3)证明见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图直接结算即可；
（2）由 可知 ，根据参考数据，即可得出 的概率；
（3）根据分类加法计数原理可知 ，构造等比数列可得 ，利用累加法求出
，即可求解.
（1）
（2）由 ，所以 ，
.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件， ，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为 ，即 ，
小兔子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为 ；
②小兔了先跳到第 格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为 ；
因为 ，所以 .
所以当 时，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，.所以获胜的概率 .
