随机抽样、频率分布直方图及样本的数
字特征
考点1
专题10 概率、统计及随机变量分布列
5 大考点概览
题型01 随机抽样、频率分布直方图及样本的数字特征
题型02 一元线性回归模型
题型03 列联表与独立性检验
题型04 古典概型、条件概率及全概率公式
题型05 离散型随机变量期望、方差及其分布列
1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300 人，初中教师800 人，小学教师1100 人，为调查某
次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44 的样本进行访问，则小
学教师应抽取（ ）
A．6 人
B．16 人
C．22 人
D．28 人
【答案】C
【分析】由抽样比即可计算求解.
【详解】由题可得抽样比为
.所以小学教师应抽取
人.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前
个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.
某工厂生产的零件以
个为一箱，成箱出售（
）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到
连续
编号.现从一箱中随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，
60，则下列4 个选项中，作为
的估计值，最合适的一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
【答案】B
【分析】根据统计估计计算求解.
【详解】根据已知从1 到
连续编号.现从一箱中随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次
为：12，15，33，38，55，60，则
，所以
.
3．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，
，m，
，
，
，
，若该组数据的
分位数是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义计算可得.
【详解】因为这组数据共
个，所以
，因此
分位数为第6 个数据和第7 个数据的
平均数，因为该组数据的
分位数为
，所以
，解得
.
4．（2026·江西吉安·一模）某市连续8 天的AQI（空气质量指数）分别为
，
则这组数据的上四分位数为（ ）
A．32
B．33
C．48
D．49
【答案】D
【分析】上四分位数即第75 百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计
算步骤先计算
，再计算上四分位数即可.
【详解】将
按从小到大的顺序排列为
，
因为
，6 为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6 与第7 个数据的平均数，即
.
5．（2026·广东·一模）已知数据
的平均数为1，方差为2，则数据
的方差为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】因
的平均数为1，方差为2，则
，于是数据
的平均数为
，又
，则
，于是数据
的方差为：
.
6．（2026·云南曲靖·一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6 个小球，这6 个小球分别标有
编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4 次，得到一组编号组
成的数据，若该组数据的平均数为2，则（ ）
A．中位数可能为3
B．众数可能为4
C．极差可能为5
D．方差可能为1
【答案】D
【分析】由该组数据中位数为3 时得到该组数据情况不满足和为8 即可判断A；由该组数据和为8
得到数据4 出现的次数情况即可分析求解判断B；由极差为5 得到该组数据情况不满足和为8 即可
判断C；通过举例可判断D.
【详解】设该组数据从小到大排列为
，且
，
，
则由题
，对A，当该组数据中位数为3 时，则该组数据满足
，则该组数据的和
，与该组数据的和为
8 矛盾，故A 错误；对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4 的个数至多为一个，
当该组数据有一个数据4 时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为
，
此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B 错误；对C，若该组数据的极差为5，则
该组数据至少有一个6 和一个1，则该组数据的和
，与该组
数据的和为8 矛盾，所以该组数据极差不可能为5，故C 错误；对D，当该组数据为
时，
该组数据方差为
，故D 正确.
7．（2026·辽宁朝阳·一模）某校将学生分为5 个队伍进行研学活动，这5 个队伍的人数分别为：
50，
，55，45，
.已知本次研学活动的总人数为250 人，且各队人数的第40 百分位数不小于
48，则各队人数的第70 百分位数的最大值是（ ）
A．51
B．52
C．53
D．54
【答案】D
【分析】结合题意得到
，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求
解最大值即可.
【详解】由题意得
，解得
，不妨设
，则
，而当
时，
，此时从小到大的排列顺序为
，45，50，55，
，而
，故第40 百分位数
，矛盾，当
时，
，此时从小到大的排列顺序为45，
，
50，
，55，此时
，得
，于是
，此时
，可知第70
百分位数是
，故D 正确.
8．（2026·河北邢台·一模）若A 组数据
，
，
，
的平均数为25，方差为5，B 组数据
，
，
，
，5m 的方差为8，则
（ ）
A．8
B．4
C．4 或5
D．4 或6
【答案】D
【分析】根据方差的定义计算即可.
【详解】由已知得
，
，又
，
所以数据
的方差为
所以
，
即
，
所以
，
所以
，即
，解得
或
.
9．（2026·海南海口·一模）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、
300 人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n 人开展“教师作业批改
情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15 人，则下列说法正确的是（ ）
A．从高二年级学生500 人中抽取15 人可采用简单随机抽样的方法
B．高一年级抽到学生12 人
C．样本容量
D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小
【答案】AB
【分析】根据分层随机抽样的概念与性质进行求解判断即可.
【详解】对于
，从高二年级学生500 人中抽取15 人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽
样方法，故
正确；对于
，根据题意知抽样比为
，所以高一年级应抽取
人，高三年级应抽取
人，故样本容量
，故
正确，
错误；
对于
，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故
错误.故选：AB.
10．（多选）（2026·陕西铜川·一模）2025 年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛
事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10 胜2 平的战绩，其12 场每场进球数分别
为
则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ）
A．平均数是3
B．中位数是2.5
C．众数是2
D．方差是1
【答案】ACD
【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的计算公式求解即可.
【详解】将12 场每场进球数进行排序：
，
所以平均数为：
，故A 正确；中位数为：
，故B
不正确；众数为：
，故C 正确；方差为
，故D
正确.故选：ACD
11．（多选）（2026·广西北海·一模）已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，
16，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）
A．极差是16
B．平均数是9
C．第70 百分位数是12
D．方差是270
【答案】AB
【详解】由题意，极差是
，故A 正确；平均数是
，故
B 正确；方差是
，故D 错误；将这组数据从小到大排序为：0，2，2，4，10，12，12，16，16，16，因为
，所以这组数据的第70 百分位数是第7 个数和第8 个数的平均值，即为
，
故C 错误.
12．（多选）（2026·山东泰安·一模）下列选项正确的是（ ）
A．对A，B，C 三类个体按3:1:2 的比例进行分层抽样，已知从
类个体中抽取了9 个，则样
本容量为30
B．若随机变量
，则
C．
恒成立
D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为4.5
【答案】BD
【分析】A 选项，根据
类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B 选项，由正态分布的对称性
可得B 正确；C 选项，举出反例可得C 错误；D 选项，利用百分位数的计算公式得到D 正确.
【详解】A 选项，从
类个体中抽取了9 个，则样本容量为
,A 错误；
B 选项，由正态分布的对称性可知
，B 正确；C 选项，当
时，
，C 错误；D 选项，
，故从小到大，选取第8 个数和第9 个数
的平均数作为第80 百分位数，故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为
，
D 正确.故选：BD
13．（多选）（2026·河北沧州·一模）某科研单位对Deepseek 的使用情况进行满意度问卷调查，在
1000 名用户的问卷（用户打分都在50 分到100 分之间）中随机抽取了100 份，按分数进行分组
（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点
值为代表）（ ）
A．
B．由样本数据可估计1000 名用户中打分在70 分以下的有350 人
C．估计这1000 名用户问卷的得分的
分位数为85
D．估计这1000 名用户问卷的得分的平均数为75
【答案】ABC
【分析】对于A，由各矩形面积为1 可判断选项正误；对于B，由A 分析结合题意可判断选项正误；
对于CD，由频率分布直方图计算百分位数，平均数方法可得答案.
【详解】对于A，由题可得
，故A 正确；
对于B，由A 分析，打分在
分以下对应频率为：
，则对应人数为：
，故B 正确；对于C，前3 个矩形面积之和为：
，
前4 个矩形面积之和为：
，则
分位数在
到90 之间，
设为
，则
，故C 正确；对于D，平均数为：
，故D 错误.故选：ABC
13．（多选）（2026·广东江门·一模）从某小区抽取
户居民用户进行月用电量调查，发现他们
的用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的
频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ）
A．
B．估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为
C．估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于
至
之间
D．当该小区的月用电标准定在
时，该小区大约
的居民用户用电量不受影响
【答案】BCD
【详解】对于A，由
，解得
，故A
错误.对于B，下四分位数即为
分位数. 第一组
的频率为
，
第二组
的频率为
，前两组的频率和为
，
所以
分位数为
，故B 正确.
对于C，用电量在
的频率为
，即大约
的用户用电量在此区
间，一半左右，故C 正确.对于D，计算
分位数. 用电量在
的频率为
，用电量在
的频率为
，
所以
分位数为
，即用电标准定在
时，
该小区大约
的居民用户用电量不受影响，故D 正确.
14．（多选）（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200 名同学参赛，经过评判，这
200 名参赛者的得分都在
之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．这200 名参赛者得分的中位数为64
C．得分在
内的频率为
D．得分在
内的共有80 人
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A 的正误；根据直方图中位
数的求法，代入计算，即可判断B 的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数
的关系，即可判断C、D 的正误.
【详解】由题意有
，解得
，故A 正确；
设中位数为
，所以
，解得
，故B 错误；由题意得得分在
内的频率为
，故C 正确；由题意得得分在
内的频率为
，则得分在
内的共有
人，故D 正确.故选：ACD.
15．（多选）（2026·广东佛山·一模）对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）
画出如图1 图
､
2 所示的频率分布直方图，其中图2 的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对
总体进行估计，则（ ）
A．图2 中
的频率为0.3
B．图2 众数的估计值唯一
C．图1 与图2 中位数的估计值相同
D．图1 与图2 平均数的估计值相同
【答案】AC
【分析】A 计算矩形面积即可；B 先估计缺失部分的高度，进而结合众数的概念判断；C 利用中位
数的定义计算；D 利用平均数的定义计算.
【详解】图2 中
的频率为
，故A 正确；设在图2 中
所对应矩形的高度
分别为
，在图1 中
的频率为
，故
，得
，
故
，则众数必在
中取得，因图2 中
的高度相等，故众数的估
计值不唯一，故B 错误；图1 中中位数的估计值为
；图2 中，前个矩形面积之
和为
，故中位数的估计值为
，故C 正确；
图1 平均数的估计值为
；
图2 平均数的估计值为
，
不确定，故D 错误.故选：AC
16．（多选）（2026·河北石家庄·一模）下列说法正确的是（ ）
A．设一组样本数据
的方差为2，则数据
的方差为8
B．10 个样本数据5，6，7，4，5，7，8，3，9，4 的第60 百分位数是6
C．用0~9 这10 个数字，可以组成648 个没有重复数字的三位数
D．已知随机变量
的概率分布为
，则实数
的值为
【答案】ACD
【分析】分别运用方差变换性质、百分位数计算规则、排列组合计数原理、离散型概率分布性质结
合裂项求和，逐个分析判断各选项的正误得到结论.
【详解】对于选项A：根据方差的性质：若
，则新数据的方差
，
此处原方差
，
，因此新方差
，A 正确；
对于选项B：先将10 个样本从小到大排序：
， 计算百分位数位置：
，为整数，第60 百分位数是第6 项和第7 项的平均值，即
，B 错误；
对于选项C：组成无重复数字的三位数，百位不能为0：百位：从1~9 选，共9 种选择；
十位：去掉百位已选数字，剩余9 个数字可选，共9 种选择；个位：去掉百位、十位已选数字，剩
余8 个数字可选，共8 种选择；总个数：
，C 正确；
对于选项D：由分布列性质，所有概率和为1，对概率裂项求和：
，
，解得
，D 正确.
【点睛】本题涵盖核心知识点：①方差的线性变换性质；②百分位数的计算方法；③排列组合特殊
位置计数法；④离散型随机变量分布列的性质、裂项相消求和法.
17．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量
的方差
，期望
，则
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则
全班50 个学生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A 错误；
B：该组数据共8 个数据，又
，因此上四分位数为第6 个数和第7 个数的平均数，即
，因此B 正确；C：因为
，由方差
，期望
，
可得
，即C 错误.D：易知全班50 个学生的数学成绩的平均值为
，
因此方差为
，即D 正确.
18．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社科创社体育社艺术社辩论社
､
､
､
､
五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图
（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的
方法在参加社团活动的学生中任意抽取20 名学生做问卷调查.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．艺术社的学生人数有120 人
B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5 人
C．从参加社团的学生中任选1 人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概
率为
D．调查结果显示文学社科创社的满意率均为
､
0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总
体满意率为0.81
【答案】ABD
【详解】对于A，因为文学社有60 人占比为
，所以五类社团总人数为
人，
辩论社有90 人，占比应为
，所以体育社和艺术社共占比为
，
又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为
，可知艺术社的学生人数有
人，即A 正确；对于B，文学社和辩论社共
人，分层抽样比为
，因此
文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有
人，即B 正确；对于C，根据已有分析可
知该学生不是文学社成员的概率为
，又因为是科创社成员的概率为
，因此在该
学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为
，即C 错误；
对于D，依题意可知社团活动总体满意率为
，即D 正确.
19．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025 年11 月9 日至21 日在广东举行．广东某高
中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90 人进行
了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24 人、30 人，且高三年级共有学生1080 人，则该
高中学生总数为_____人．
【答案】2700
【分析】由分层抽样的定义求得学校总人数.
【详解】由题意，高三年级中抽取了
人，设该高中三个年级的学生总数为
人，由
分层抽样的方法可知
，解得
，即该高中学生总数为2700 人．
20．（2026·湖北·一模）已知
名同学的跳远成绩（单位：
）排序后如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的第
百分位数是________.
【答案】4.05
【详解】因为
，故第
百分位数为第
个数和第
个数的平均数即为
.
21．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用
情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200 名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制
了如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的
分位数；
(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样
的方式从
，［30，40）年龄段中随机共抽取8 名居民.若从选定的这8 名居民中随机再抽取3
名，记3 人中在
年龄段的人数为
，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)28
(2)分布列见解析，
【分析】（1）解法1：按照
分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可；
解法2：按照
分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在
的居民占的比例为
，年
龄在
的居民所占到比例为
，所以
分位数位于
内，
设其为
，则
，解
，
所以年龄样本数据的
分位数为28.
解法2.由频率分布直方图知，年龄在
的居民所占的比例
，年龄在
的居
民所占的比例为
，所以
分位数位于
内，
由
所以年龄样本数据的
分位数为28.
（2）被调查的居民年龄在
，
比例为1:3，按照分层随机抽样，
应抽取
人，
应抽取
人.设从中随机抽取的3 名居民中年龄在
的人数记为X，X 的可能
取值为0，1，2.
.
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
0
1
2
所以数学期望为：
.
22．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞
赛”活动.本次竞赛活动满分为
分，得分不低于
分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，
现从参加活动的所有同学中随机抽取了
名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6 组：
，统计结果如图所示.
(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；
(2)从该样本分数不低于
分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取
人进行座谈，若
从座谈名单中随机抽取3 人进行个案研究，记分数在
的人数为
，求
的分布列和均值；
(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取
人，这
名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为
，当
最大时，求
的值.
【答案】(1)
(2)分布列
0
1
2
，
(3)
【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得；
（2）由随机变量
服从超几何分布，根据超几分布计算可得；
（3）随机变量
服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得.
【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率
故优秀的人数为
人;
（2）从样本中得分不低于70 分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11 人进行座谈，
其中分数在
的人数为
.若从座谈名单中随机抽取3 人，则
的
一元线性回归模型
考点2
所有可能取值为
.
则
的分布列为：
0
1
2
所以
.
（3）由题意知，
，则
，
.
令
，当
，解得
.
因为
，所以
时，
，
当
时，
，所以当
时，
最大.
1．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（ ）
A．根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则根据小概率值
的独立性检验，认为两个分类变量有关系
B．在回归直线
中，变量
时，变量y 的值一定是15
C．
的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大
D．在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
【答案】B
【分析】对于AC，根据独立性检验的定义和性质进行求解；对于BD，根据回归直线的概念和性质
进行求解.
【详解】对于选项A：
，故根据小概率值
的独立性检验，认为两个分
类变量有关系，即A 正确：对于选项B，回归直线方程中，当变量等于200 时，
的值平均是15，
不能说一定是15，故B 错误；对于选项C：
越大，“
与
有关系”可信程度越大，即相关性
的可能性就越大，即C 正确；对于选项D：在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越
小，回归效果越好，即D 正确.
2．（2026·辽宁盘锦·一模）2025 年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其
核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度
（单位：1000 万度）和反应持续时间
（单位：
秒）的一组观测数据
作线性相关分析，其回归直线方程是
，且
，则实数
的值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】先求
，再根据回归直线过样本中心点
列方程求解即可.
【详解】由
可知
，
.因为回归直线过样本中心点
，
即
，将其坐标代入方程
可得
，解得
.
3．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y 有一组观测数据
，
其回归直线方程是
，且
，则实数
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据回归直线过样本中心点
列方程求解即可.
【详解】由
可知
，
.因为回归直线过样本中心点
，即
，将其坐标代入方程
可得
，解得
，故选：B.
4．（2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小
组随机调查了50 名学生，得到成对样本数据
，其中
表示每日自主阅读时间
（单位：小时），
表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为
.下列说法
正确的是（ ）
A．该样本数据的相关系数为5.2
B．当阅读时间每增加1 小时，语文成绩平均增加5.2 分
C．该样本数据中，至少有一个点
在回归直线上
D．若某学生每日阅读时间为2 小时，则他的语文成绩一定为
分
【答案】B
【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B 对；根据回归方程性质可以判
断C，D.
【详解】对于A，相关系数取值范围是
，故错误；对于B，回归系数的含义是：当自变量
每
增加1 个单位时，因变量
平均增加的量。这里
表示每日自主阅读时间（小时），
表示语文成
绩（分），所以当阅读时间每增加1 小时，语文成绩平均增加5.2 分，故正确；对于C，回归直线
是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误；对于D，当
时，
，
为预测值，不是确定值，故错误.
5．（2026·山东青岛·一模）已知变量
，
的统计数据如下，若
与
的回归直线方程为
，则
（ ）
2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
2.6
4.0
5.1
5.4
A．2.5
B．2.7
C．2.9
D．3.1
【答案】C
【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可.
【详解】由题意，可得
，
，
所以样本点的中心坐标为
，代入回归直线方程
，可得
，解方程得
.
6．（2026·辽宁大连·一模）某人工智能公司从某年起连续7 年的利润情况如下表所示：
第x 年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
根据表中的数据得到y 关于x 的回归直线方程
，则（ ）
A．y 与x 之间的相关系数
B．回归系数的意义是x 增大一个单位，
增大0.5 个单位
C．第8 年的利润一定为6.3 亿元
D．第6 年利润的残差为
亿元
【答案】ABD
【详解】由
可知y 与x 之间的相关系数
，故A 正确；回归系数的意义是x 增大一
个单位，
增大0.5 个单位，故B 正确；将
代入回归方程，得
，第8 年的
利润估计约为6.3 亿元，第8 年的利润不一定为6.3 亿元，故C 错误；将
代入回归方程，得
，由表可知实际值为5.2，残差为
， 故D 正确；
7．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域
内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检
验，得到相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】利用正态分布的三段区间概率及对称性计算可判定A，利用残差的意义可判定B，利用相
关系数的意义可判定C，利用条件概率及全概率公式可判定D.
【详解】由题意得
，
则
，故选项A 正确；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越
好，故选项B 正确；
，且
与
负相关，
与
正相关，
且
与
的相关性更强，故选项C 错误；
．
．
．
又根据全概率公式得
，
，故选项
D 正确．故选：ABD
8．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数
，y 关于x 的经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
，残差平方和为
.已知变量x 与变量y 的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x 为自
变量，y 为因变量，得出的经验回归方程为
；以y 为自变量，x 为因变量，得出的经
验回归方程为
.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ）
A．若已知变量x 的方差，则可知变量y 的标准差
B．若不给定其他信息，则也可得知变量x 与变量y 各自的平均值
C．若不给定其他信息，则也可得知变量x 与变量y 的相关系数
D．若已知变量x 的标准差，则可知以y 为自变量的回归模型的残差平方和
【答案】ABC
【分析】A 选项通过推导可得
，若已知变量x 的方差，即可求得
，进而代入前式求得
，
故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值
和
，故正确；C 选项利用回
归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定
，故正确；D 选项因残差平方和需要原
始数据或更多统计量，仅靠x 的标准差无法计算，故错误。
【详解】对于C，由所给公式得
，且回归系数为负数，
故相关系数
，C 正确.对于A，设变量x 与变量y 的标准差分别为
，
，
，
，标准差
，
变形可得
，将其代入到得
，
整理得
，将其代入到
，整理得
，代入
已知数据得
，即
，若已知变量x 的方差，即可求得
，进而代入上式求得
，
A 正确.对于B，经验回归直线经过样本中心点
，代入两个回归方程得
与
，解得
，
，故不给定其他信息也可得知变量x 与变量y 各自的平均值，
B 正确.对于D，设以y 为自变量的经验回归方程为
（其中
），则变量x 的残差
平方和为
，由于样本量n 未
知，故无法算出残差平方和的具体数值，D 错误.
9．（2026·辽宁抚顺·一模）若根据样本数据
得到的回归直线方程为
，且
，
，则
______．
【答案】
【详解】由题意得
，则
，则样本中心点为
，
将其代入到
，即
，解得
.
10．（2026·辽宁朝阳·一模）已知变量
的
组观测值为
.
(1)若变量
具有线性相关关系，且样本均值
，样本方差
，样本相关系数为
，其中
均为已知常数
（i）比较经验回归直线的斜率
与的大小，并说明理由；
（ii）求
关于
的经验回归方程，并证明：对于任意给定的观测值
，当
时，其回归预测
值
满足
.
(2)若变量
存在线性相关关系，且二者的样本均值均为
，方差相等.对于自变量
的任意两
个取值
，利用得到的经验回归方程，记其对应的原变量
的预测值分别为
.证明：当
时，
，并简述该结论在数据预测中的意义.
附：样本相关系数
；样本方差
；经验回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
【答案】(1)（i）
，理由见解析；（ii）
，证明见解析
(2)证明见解析，实际意义见解析
【分析】（1）（i）根据经验回归方程斜率和相关系数公式即可得出结论；
（ii）根据样本中心点
必在经验回归方程上，将
和
代入得
，求出
，即
可求出回归方程，再根据
结合
即可得出结论；
（2）令
，将问题转化为线性回归分析，由（1）（ii），可得经验回归方程为
，也即
，等价于
，由
，设
，即证
，再根据导数判断出函数的单调性，进而可得出结
论.
【详解】（1）（i）由经验回归方程斜率和相关系数公式可知，
，
且
，故
，又
，故必有
，所以
，即
与相等；
（ii）设经验回归方程为
由经验回归方程性质，样本中心点
必在经验回归方程上，
故将斜率
和
代入得
，解得
，故经验回归方程为
，
对于观测值
，预测值为
，则
，因为
且
，所以
，即
，又
，因为
且
，所以
，即
，综上，
，得证；
（2）令
，
已知两变量存在线性相关关系且样本均值均为
，方差相等，
设样本相关系数为
，故等价于变量
具有线性相关关系，
且样本均值相等，样本方差相等，满足（1）中条件，
则由（1）（ii），可得经验回归方程为
，也即
，等价于
，
已知
，设
，即证
，
若
，则
恒成立，此时
，原不等式成立；
若
，因
且
恒成立，故
在
单调递增，
由
知
，则
，原不等式成立；
若
，由（1）（ii）同理可得：当
，即
时，
，即
，
此时
，且
，故
在
单调递增；
当
，即
时，
，即
，此时
，
对于观测值
，因
，对其位置分类讨论如下：
①若
，则
，而
，故
，
此时必有
，即
；
②若
，则
，由
在
单调递增可知，
，
综上可知，当
时，恒有
，即
.
实际意义：在该非线性回归模型中，数据预测时，若自变量的增量大于某阈值时，模型所预测
的因变量增量必然不大于自变量的增量，即该模型对于大跨度的数据增加具有保守性，预测结果不
会随自变量的迅速增长而相应迅速增长.
11．（2026·海南海口·一模）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5 岁儿童的平均身高
如下表所示．
年龄x/岁
1
2
3
4
5
平均身高y/
cm
76.0
86.5
97.5
103.5
111.5
(1)儿童的平均身高y 与年龄x 之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y 关于年龄
x 的回归直线方程（或函数解析式）；
(2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30 岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不
能，请简要说明理由．
参考数据：
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：
，
．
【答案】(1)相关关系，
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）先计算出
和
，然后计算
，用题目中给的数据代入公式计算.
（2）按照回归直线的定义分析，言之有理即可.
【详解】（1）相关关系
，
，得
，∴
（2）不能
因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30 岁成年人的预
测超出了模型的适用范围．
12．（2026·山西朔州·一模）随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家
电市场前景广阔，记2021~2030 年的年份代码分别为
，下表为2021~2025 年中国智能小家电
市场规模
（单位：千亿元）.
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
1.6
1.7
1.9
2.1
2.3
(1)从这5 年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3 个，记取到的数据小于这5 个数据平均数的
个数为
，求
的分布列与期望；
(2)某传媒机构预测出2026~2030 年中国智能小家电市场规模
（单位：千亿元），并求出
，2021~2030 年中国智能小家电市场规模
关于
的相关系数为
0.994，求
关于
的回归直线方程
的值精确到
.
附：①样本相关系数
，②回归直线方程
中斜率和截距的最
小二乘估计公式分别为
.
【答案】(1)
1
2
3
0.3
0.6
0.1
(2)
【分析】（1）确定
的可能取值，结合超几何分布求得对应概率，即可求解；
（2）通过相关系数计算公式和斜率计算公式之间的关系，求得斜率，进而可求解.
【详解】（1）5 个数据的平均数为
，
其中小于
的数据有个，大于等于
的数据有
个，所以
的所有可能取值为
，
，
，
，
所以分布列为：
1
2
3
0.3
0.6
0.1
所以
（2）由题意
，
，
又
，故
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，所以回归直线方程为
.
13．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻
肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，
尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量
与年份的统计表：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量
（万台）
2
3.5
2.5
8
9
(1)求这种品牌制氧机的销量
关于年份代码
的线性回归方程，并预测2027 年这种品牌制氧机的
销量；
(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活
动，随机抽取了男生和女生各100 名，得到如下
列联表：
学
生
制氧机知识
合计
了解
不了解
男
生
20
女
生
40
合
计
（ⅰ）根据已知条件，填写
列联表；
（ⅱ）根据小概率值
的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否
有关联；
(3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10 人，再从这10 人中
随机抽取4 人做某项调查，记这4 人中对制氧机知识不了解的人数为
，试求
的分布列和数学
期望.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
，12.4 万台
(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析；
(3)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）计算出
，得到线性回归方程，代入
，从而预测2027 年这种品牌制氧机的销
量；
（2）（ⅰ）补全
列联表；（ⅱ）计算出
，从而得到结论；
（3）求出
的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望.
【详解】（1）年份代码
的平均数
，销量
的平均数
，
所以
，
，所以
，
所以
，所以这个地区某品牌制氧机的销量
关于年份代码
的线性回
归方程为
，由于2027 年对应的年份代码为
，得
，所以
预测2027 年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4 万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各100 名，补全
列联表为：
学生
制氧机知识
合计
了解
不了解
男生
80
20
100
女生
40
60
100
合计
120
80
200
（ⅱ）零假设
：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关.根据（ⅰ）中的
列联表中的
数据可得，
.
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10 人，则抽取的10 人中，了解的
人数为6 人，不了解的人数为4 人，再随机从中抽取4 人，对制氧机知识不了解的人数
的所有可
能取值为0，1，2，3，4.
且
，
，
，
则
的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望为
14．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：
）与
消光系数的结果如下：
尿汞含量
2
4
6
8
10
消光系数
65
135
205
285
360
(1)求消光系数
关于尿汞含量
的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为
时消光系数的值．
【答案】(1)
(2)173
【分析】（1）由表中数据，分别求得
、
，进而求得
、
，写出回归直线
方程；
（2）将
，代入（1）中的回归直线方程求解.
【详解】（1）通过计算可得
，
，
所以
，
，
所以
，所以
，
因此回归直线方程为
（2）在回归直线方程
中，令
，可得
，
列联表与独立性检验
考点3
因此估计尿汞含量为
时消光系数的值为173．
1．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地
域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲乙两地各
､
200 名消费者，并用等高堆积条形图直
观地展示调查结果如下图所示，经计算得到
.
车型与地区
下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
下列说法正确的是（ ）
A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20 人，则新能源车主有8 人
B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
C．依据
的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不
大于0.001
D．依据
的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不
大于0.001
【答案】C
【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数
可得B；利用独立性检验定义可得C、D.
【详解】对A：
，故新能源车主有
人，故A 错误；对B：购买燃油车的人数为
，购买新能源车的人数为
，则购买燃油车的人数比新能源车的多
人，故B 错误；对C、D：依据
的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有
关联，由
，故此推断犯错误的概率不大于
，故C 正确、D 错误.
2．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（ ）
①回归直线
恒过点
，且至少过一个样本点；
②根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则“两个分类变量有
关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可以用决定系数
刻画模型的回归效果，
越大，则拟合的效果越好；
④若随机变量
服从正态分布
，若
则实数
.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果
的关系可判断③；利用正态分布对称性和性质可判断④.
【详解】对于①，回归直线
恒过点
，不一定过样本点，故①错误；对于②，根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则有
的把握认为两个分类
变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确；对于③，在
做回归分析时，可以用决定系数
刻画模型的回归效果，若
越大，则说明模型拟合的效果越好，
故③正确；对于④，由随机变量
，其正态曲线关于直线
对称，
由
，若
，则
，即得
，所以
，故④正确.综上，错误的只有①.
3．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（ ）
A．根据
列联表中的数据计算得出
，而
，则根据小概率值
的独立性检验，认为两个分类变量有关系
B．在回归直线
中，变量
时，变量y 的值一定是15
C．
的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大
D．在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
【答案】B
【分析】对于AC，根据独立性检验的定义和性质进行求解；对于BD，根据回归直线的概念和性质
进行求解.
【详解】对于选项A：
，故根据小概率值
的独立性检验，认为两个分
类变量有关系，即A 正确：对于选项B，回归直线方程中，当变量等于200 时，
的值平均是15，
不能说一定是15，故B 错误；对于选项C：
越大，“
与
有关系”可信程度越大，即相关性
的可能性就越大，即C 正确；对于选项D：在回归分析中，相关指数
越大，说明残差平方和越
小，回归效果越好，即D 正确.
4．（多选）（2026·湖北荆州·一模）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，
随机调查了100 名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ）
男生
女生
合计
参加了社会实践活
动
30
40
70
未参加社会实践活
动
20
10
30
合计
50
50
100
附
，其中n＝a＋b＋c＋d；
A．依据小概率值
的
独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关
B．从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
C．随机抽取1 人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为
D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7 人，再从这7 人中抽取2 人，
则这2 人中至少有一名男生的概率为
【答案】BCD
【详解】零假设为
：参加社会实践活动与性别无关联，
则
，依据小概率值
的独立性检验，我们推
断
不成立，即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
，故A 错
误.从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
，故B 正确.记事件
表示抽到
的学生是参加社会实践的学生，则
，记事件
表示抽到的学生是男生，
，所以
，故C 正确.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学
生中抽取7 人，则7 人中有男生
人，有女生
人，从这7 人中抽取2 人有
种取
法，全为女生的取法有
，所以从这7 人中抽取2 人全为女生的概率为
，所以从这7 人
中抽取2 人，这2 人中至少有一名男生的概率为
，故D 正确.
5．（多选）（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据
的众数是2
B．数据
的第25 百分位数是1
C．若随机变量
，则
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
.依据
的独立性检验
，可判断变量
与
不独立
【答案】BCD
【分析】根据众数以及百分位数的概念可判断AB；根据二项分布的期望以及性质即可判断C；根
据独立性检验的原理可判断D.
【详解】对于A，数据
中，2 出现3 次，3 也出现3 次，因此众数是2 和3，A 错误；
对于B，数据
已从小到大排列，由于
，故数据
的
第25 百分位数是
，B 正确；对于C，随机变量
，则
，故
，C 正确；对于D，由于
，故依据
的独立性检验，拒绝原假设（原假设为X 与Y 独立），可判断变量
与
不独立，D 正确.
6．（多选）（2026·重庆·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗
法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗法
疗效
未治愈
治愈
甲
15
52
乙
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
．则下列说法正确的是：（ ）
A．以频率估计概率，有
B．以频率估计概率，有
C．若取
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
，可以认为疗效与疗法独立
【答案】ABD
【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解
判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD.
【详解】由题设求出表格
疗法
疗效
总数
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
总数
21
115
136
以频率估计概率，有
，故A 正确；
以频率估计概率，有
，故B 正确；
零假设
：认为疗效与疗法独立，由题
且
，所以若取小概率
值
，则零假设
不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；若取小概率值
，则没有
充分的证据推翻零假设
，故可以认为疗效与疗法独立，故C 错误，D 正确.故选：ABD
7．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据，
，，，
，的
分位数为
B．若随机变量
，且
，则
C．通过样本数据得到的回归直线
一定经过点
D．在独立性检验中，
的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
【答案】AC
【详解】A 选项：由
，可知数据的
分位数为从小到大排列的第二个数，即为
；B
选项：由正态分布的对称性可知，
，
即
，解得
，B 选项错误；C 选项：由回归方程的性质可知直线恒过样本中心
，C
选项正确；D 选项：在独立性检验中，
的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误
的概率越小，D 选项错误.
8．（多选）（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的
购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200 名消费者，得出统计图
如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ）
附：
，
.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20 人，则其中新能源车主有12 人
C．根据小概率值
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
【答案】BCD
【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出
列联表，
再用
公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为
新能源车主条件下来自甲地的概率.
【详解】A：甲地购买燃油车人数为
，购买新能源车人数为
，
故购买燃油车的人数比新能源车的多
人，A 错误.
B：乙地购买新能源车比例为
，故用分层随机抽样抽取20 人时，新能源车主有
人，
B 正确.
C：列出
列联表：
甲地
乙地
总计
燃油车
120
80
200
新能源车
80
120
200
总计
200
200
400
则
.小概率值
时，
.因为
，所以根据
小概率值
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C 正确.
D：所调查的新能源车主共有
人，其中甲地80 人，在已知其为新能源车
主的条件下，其来自甲地的概率为
，D 正确.
9．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取
了120 名18 岁~60 岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3 次的市民归为“高频锻炼组”，不足3 次
的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，
否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的
列联表．
体质达标
体质不达标
合计
高频锻炼组
m
15
60
低频锻炼组
25
v
u
合计
s
t
120
附：
，其中
．
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
(1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u 的值；
(2)依据小概率值
的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联；
(3)该市计划从抽到的120 人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按
高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10 人展开指导活动，再从这10 人中随机抽取3
人进行专项访谈，求抽取的3 人中至多有1 人来自高频锻炼组的概率．
【答案】(1)
，
，
，
，
．
(2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联
(3)
．
【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出
的值.
（2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算
的观测值，并与给定的临界值进行比较，
从而判断两个分类变量是否有关联.
（3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算
抽取的3 人中至多有1 人来自高频锻炼组的概率.
【详解】（1）由列联表数据关系可知，
，
，
，
，
，综上，
，
，
，
，
．
（2）零假设
：市民体育锻炼频次与体质达标无关联．根据列联表数据，计算
，由于
，根
据小概率值
的独立性检验，判断
不成立，因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达
标有关联．
（3）体质不达标者，高频锻炼组15 人，低频锻炼组35 人，按分层抽样抽取10 人，则高频锻炼组
抽取人数为3 人，低频锻炼组抽取人数为7 人．从这10 人中随机抽取3 人进行专项访谈，事件总
数有
种，设“抽取的3 人中至多有1 人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A 包含“0 人
来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况．则
．所以抽取的3 人中至
多有1 人来自高频锻炼组的概率为
．
10．（2026·宁夏银川·一模）某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优
品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的
产品数分别占总数的51%，49%．
(1)任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率；
(2)现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100 件进行检
验，数据如下：
优品
非优品
合计
改造前
5
95
100
改造后
15
85
100
合计
20
180
200
根据小概率值
的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？
附：
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
；(2)有关联，证明见解析.
【分析】（1）结合题意根据全概率公式和贝叶斯公式计算求解（2）根据表格数据计算卡方，与临
界值比较即可判断.
【详解】（1）设事件
：任取一件产品为甲生产线加工，事件
：任取一件产品为优品.
由题意得：
，
，
，
.根据全概率公式，可得总优品
概率：
根据贝叶斯公式，可得所求条件概率：
（2）由列联表得
，总样本量
，
代入卡方公式：
因为
，所以有
把握认为生产线改造与优品有关联.
11．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列
联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满
意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200
(1)任选3 位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有
2 人能完成精细抓握的概率；
(2)依据
的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有
关？
附：
，
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
；
(2)能认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
【分析】（1）根据二项分布的概率计算求解即可；
（2）由题意的联表，计算
，对比临界值即可判断；
【详解】（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，则至少有2 人能完成精细抓握的概率
如下，为
；
（2）零假设
：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关，
根据列联表中的数据可以求得
，由于
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
12．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密
元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网
和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，
质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100 件进行检测，得到如下列联表：
优等品
非优等品
合计
甲生产线
65
35
100
乙生产线
90
10
100
合计
155
45
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关.
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定
数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽
取3 件，记这3 件产品中优等品的个数为X，求X 的分布列和数学期望.
附
其中
.
【答案】(1)产品质量与生产线有关，理由见解析；
(2)
的分布列为：
.
【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算
，结合参考数据，即可判断；
（2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合
服从二项分布，写出
对应取值的概率，
以及
的数学期望即可.
【详解】（1）零假设
：产品的质量与生产线无关
，
根据
的独立性检验，拒绝零假设
，并认为产品的质量与生产线有关.
（2）甲生产线优等品概率：
，乙生产线优等品概率：
；
混合产品中，甲乙数量比为
，故甲产品占比
，乙产品占比
；
故总体优等品概率为：
；由题可知：
，
，
，
，
，
故
的分布列如下所示：
的数学期望
.
13．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50 名
男性用户和50 名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得
到如下列联表：
经常购买
不常购买
男性用户
40
10
女性用户
30
20
(1)依据
＝0.05 的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？
(2)从该平台的用户中任选一人，A 表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B 表示事件
“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出
的估计值．
附：
．
0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异；(2)
，
【分析】（1）通过列联表数据计算
统计量，与显著性水平 α=0.05 对应的临界值比较得到判断；
（2）利用调查数据，统计对应女性用户的占比，得到
的频率估计值.
【详解】（1）由题可得：
，
依据
＝0.05 的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异．
（2）由题得，
，
．
【点睛】本题围绕分类变量的独立性检验和条件概率的频率估计展开，是统计推断中 “用样本推
断总体关联” 与 “用频率估计概率” 的典型应用.
14．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025 年底，我国新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总
产量的12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调
查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员
的样本占样本总数的
，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
的独立性检验，分析对燃油汽
车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然
后从这8 人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分
布列及数学期望．
参考公式及数据：
，
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表为
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
有关联，解释见解析，
(2)随机变量
的分布列为
0
1
2
3
期望为
【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到
，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得
所
有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得
每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数
学期望计算公式可求得期望值.
【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数
为
，因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的
，故样本中女性驾驶员的人数
为
，由题意，列联表补充如下：
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
零假设
为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．
根据列联表数据，计算得
．
根据小概率值
的独立性检验，可以推断
不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏
好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率
为
，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为
，前者明显小于后者．根据频率
稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．
（2）由题意，抽取的8 人中偏好燃油汽车的人数为
人，偏好新能源汽车的人数为
人．随机变量
的可能值为0，1，2，3．
，
，
，
．所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
．
15．（2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健
康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成
年人中采用随机抽样的方法抽取了150 名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日
进行30 分钟以上中等强度的运动，且每周运动5 天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.
统计的部分数据如表.
运动情况
是否得高脂血症
合计
得高脂血症
未得高脂血症
“非运动者”
45
“运动者”
55
75
合计
150
(1)计算
，
的值，并依据
的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？
(2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13 人，并进行饮食方面
的调查，然后从这13 人中随机抽取2 人作饮食指导，记这2 人中“运动者”的人数为
，求
的
分布列及数学期望. 附：
，
.
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)
，
，能认为得高脂血症与不运动有关
(2)
的分布列为：
，数学期望为
【分析】（1）利用合计数据求出
，
，再代入
公式计算，与临界值比较判断是否有关.
（2）先确定得高脂血症总人数，根据分层抽样求出抽样比，进而求解
的分布列与期望.
【详解】（1）由题意可知：总样本数为
，所以非运动者合计为
，
因此
，运动者合计为
，则
，
所以
，因为
（
对应的临界值），
依据
的独立性检验，能认为得高脂血症与不运动有关.
（2）由（1）可知：得高脂血症总人数为
人，分层抽样抽取13 人，抽样比为
，
因此抽取的非运动者高脂血症患者为
人，运动者高脂血症患者为
人，
表示抽取2 人中运动者的人数，
的可能取值为
，则
；
；
所以
的分布列为：
数学期望为：
.
16．（2026·广东汕头·一模）某中学的两位学生A 与B 为研究高三年级学生的性别和身高是否大于
170cm 的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A 同学调查了所有高三学生，并整理得到等高
堆积条形图，如图（一）；B 同学从所有高三学生中获取容量为40 的有放回简单随机样本，也整
理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40
(1)请根据A 同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结
论是有关联，解释它们之间如何相互影响；
(2)根据B 同学的列联表，依据
的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关
联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据：
，临界值
）
(3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.
【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm．
(2)无关联，实际含义见解析
(3)不一致，原因见解析
【分析】（1）通过观察等高堆积条形图中男女身高分布的差异，若男生中不低于170cm 的比例明
显高于女生，则判断两者有关联；
（2）通过计算样本列联表的卡方统计量，与临界值比较，从而判断是否拒绝“性别与身高无关
联”的原假设；
（3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生
的抽样误差可能导致两种结论不一致.
【详解】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm 的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm 的比例明显高于女生，故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．
具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm．
（2）由题意得，零假设
：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得
，根据小概率值
的
独立性检验，
没有充分证据推断
不成立，因此可以认为
成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没
有关联，实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm 有显著影响，二者可
视为相互独立.
（3）（1）与（2）的结论不一致，A 同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，
若总体中确实存在关联，则其结论可靠；B 同学仅从所有高三学生中获取容量为40 的有放回简单
随机样本，样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
17．（2026·河南南阳·一模）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100 名男业主和100 名女业
主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
是否满意
性别
满
意
不满
意
合
计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
(1)依据
的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
(2)从小区的业主中任选一人，
表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，
表示事件“选
到的人为男业主”，利用该调查数据，给出
，
的估计值．
附：
．
0.05
0.01
0.00
5
3.84
1
6.63
5
7.87
9
【答案】(1)有差异；(2)
，
．
【分析】（1）根据公式求出
，再对照临界值点，即可得出结论；
（2）根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）假设
：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异．
因为
，依据
的独立性检验，所以假设
不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．
（2）由题意，
，
，
,
,
，则
，
．
18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用
按比例分层抽样的方式得到200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方
图如图1 所示.若认为成绩不低于120 分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2 所
示，已知样本中高三年级有15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成
作业的学生占
.
(1)求a 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方
列联表，依据小概率值
的独立性检验，分析认真完成作业
与成绩是否有关.
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
，下四分位数
(2)有关
【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分
位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数；
（2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判
断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论.
【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为
，
因此：
，解得：
，
下四分位数即第
百分位数，计算累计频率
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
；
频率
，累计
。
，因此第
百分位数在区间
内，
计算得：下四分位数
（2）零假设
：认真完成作业与成绩无关
认真完成作业
不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
，因为
，
依据小概率值
的独立性检验，零假设
不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001，认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4 倍，差异显著.
19．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，
阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足
球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100 名进行调查，部分数据
如表所示：
喜欢足
球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范点球射门，已知男生进球的概
率为
，女生进球的概率为
，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3 人进球总次数的分布
列和数学期望.
附：
，其中
.
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
有；
(2)
0
1
2
3
数学期望
.
【分析】（1）根据题意，得到
列联表，求得
，参照对应的临界值即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可
求解.
【详解】（1）依题意，得到
列联表如下：
古典概型、条件概率及全概率公式
考点4
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
于是
，
所以有
的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，人进球总次数
的所有可能取值为
，
则
，
，
，
所以随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
所以
的数学期望为
.
1．（2026·江西宜春·一模）为测试某AI 图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，
其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两
张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，
另一张是“蛇”的概率为:
.
2．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6 这6 个数中随机选取3 个不同的数，则这3 个数
的中位数为4 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】总样本点个数为：
；若3 个数的中位数为4，则必须满足：
一定选中数字4，剩余2 个数中，恰好1 个比4 小、1 个比4 大，比4 小的数有1，2，3 共3 个，比
4 大的数有5，6 共2 个，因此符合条件的样本点个数为：
； 根据古典概型公式，
得：所求概率为：
.
3．（2026·河北廊坊·一模）当前，AI 已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI
已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI 辅助新
药分子筛选，事件A 是“AI 模型筛选出候选分子M”，事件B 是“AI 模型筛选出候选分子N”．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题
，
则
，所以
.
4．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为
和
，则直线
与圆
有2 个公共点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知可得，直线
，圆
的圆心为
，半径
，
则圆心
到直线
的距离为
．因为直线
与圆
有2 个
公共点，所以
，整理可得
．若
，则
；若
，则
；
若
，则
；若
，则
；若
，则
；若
，则
，所以直线
与圆
有2 个公共点的概率是
.
5．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5 个球，标号为0 的球1 个，标号为1、2 的球各两
个，从中任取2 个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1 的概率（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】记取出的 2 个球中，有一个标号为1 为事件
，另一个标号为1 为事件
，
则
，
，则
.
6．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两
端都有开口，每次只能从容器的一端取出1 个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，
则两个红球被连续取出的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1 个球，
前4 次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1 次取只有1 种选择，
因此不同取法种数为
种；按照两个红球被连续取出的情况如下，
（1）若在第1，2 次取出两个红球，再取另3 个球，共有4 种方法;
（2）若在第2，3 次取出红球，则第1 次取白球，共有2 种方法;
（3）若在第3，4 次取出红球，则第1，2 次取白球，共有1 种方法;
（4）若在第4，5 次取出红球，则第1，2，3 次取白球，共有2 种方法;
两个红球被连续取出的方法共有
种；
所求概率为
.
7．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的
作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作
物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼
备两种优良性状的植株的占比约为（ ）
A．20%
B．30%
C．40%
D．50%
【答案】A
【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎
和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求
解.
【详解】设高茎作物占比为
，抗倒伏作物占比为
，
既不高茎也不抗倒伏的占比为
，两种性状兼备的占比为
，
由题意得
，则
，
，则
，
，则
，则
，解得
，即两种性状兼备的占比为
.
8．（2026·山东东营·一模）在2025 年10 月19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、
丁四位志愿者被派往A、B、C 三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能
被派往一个服务站，则在甲被派去B 服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出甲被安排到
服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后
求其概率即可.
【详解】先求甲被派去
服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去
服务站，则有
种；
第二种情况：甲和其中一人去
服务站，则有
种；故甲被派去
服务站的方法数共
种；再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有
种；故概率为
.
9．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式
求解.
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为
事件D，则
，
，
，所以
.故选：B
10．（多选）（2026·江西赣州·一模）设
是一个试验中的两个事件，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解.
【详解】选项A，
，
，
，
，
，
，故选项A 正确；
选项B，
，故选项B 错误；
选项C，
，故选项C 正确；选项D，
，
，
，
，
，故选项D 错误.故选：AC.
11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备
检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品
的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片
良品率为
，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ）
A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C．甲设备检测该芯片为良品的概率为
D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
【答案】ACD
【分析】设事件
表示“甲设备检测为良品”，事件
表示“乙设备检测为良品”，事件
表示
“芯片为良品”，事件
表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同
的概率如下，为
代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两
个设备至少有一台设备检测为次品的概率是
，代入数值得解；选项C，由题意
得甲设备检测该芯片为良品的概率为
，代入数值得解；选项
D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
，代入数值得解.
【详解】设事件
表示“甲设备检测为良品”，事件
表示“乙设备检测为良品”，事件
表示
“芯片为良品”，事件
表示“芯片为次品”，则
，
，
，
，
，
，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概
率如下，为
，故A 正确；
选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下，
是
，故B 错误；选项C，由题意得甲设备检测该芯
片为良品的概率如下，为
，故C
正确；选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下，为
，故D 正确.
12．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，
随机事件
存在如下关系：
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：
室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为
，选择户外运动的概率为
．如果第
一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为
；如果第一天选择户外运动，那么第
二天选择室内健身的概率为
．则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
【答案】ACD
【详解】设
表示张同学第一天选择室内健身，
表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动，
表示张同学第二天选择户外运动.
则
，
，
，
，因为
，
所以
，因为
，
所以
，对于A，
，故
A 正确；对于B，因为
，故B 错误；对于C，因为
，故C 正确；对于D，因为
，故D 正确.
13．（多选）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，
其中甲袋子里有2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲
袋子里，再从甲袋子里随机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】分别求出从乙袋子中取出2 个红球、2 个白球和1 个红球和1 个白球的概率，分析X 的可
能取值，求出各个概率，可判断A、B 的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D 的正误.
【详解】设从乙袋子中取出2 个红球为事件A，则
，从乙袋子中取出2 个白球为事
件B，则
，从乙袋子中取出1 个红球和1 个白球为事件C，则
，
由题意，X 的可能取值为0 和1，则
，故A 错误，B 正确；所以
，
则
，故C 正确，D 错误.
14．（2026·黑龙江吉林·一模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个红球1
个白球，其余盒子中均为1 个红球1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，再从第
2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球的概率是______，从
第
个盒子中取到白球的概率是______．
【答案】
【分析】设事件
表示“从第i 个盒子中取到白球”（
），利用全概率公式列式求解；
当
时，由全概率公式得
，再通过构造等比数列求
.
【详解】设事件
表示“从第i 个盒子中取到白球”（
），则
，
，
所以
；
当
时，
，所以
，
又
，则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
，
即从第2 个盒子中取到白球的概率是
，从第
个盒子中取到白球的概率是
.
15．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5 首歌，分
别是：抒情歌1 首，流行歌2 首，摇滚歌2 首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为
，
，
，他比赛时，随机从这5 首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，
则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.
【答案】
【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公
式求解.
【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件
，该选手晋级为事件
，
由条件可知，
，
，
，
，
，
，
所以
；
所以他能晋级的概率为
；
，
所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为
.
16．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12 个）．他的采购方法是：从一包
中随机抽查4 个，如这4 个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6 个次品的包数占20%，而
其余包中各含2 个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．
【答案】
【详解】设事件
为“包含6 个次品”，
为“包含2 个次品”，
为“采购员拒绝购买”，
则
，则
，
，
故
故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是
.
17．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI 科技公司开发了一套
人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问
题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为
；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确
答案的概率为
，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为
，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____．
【答案】
/
【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概
率.
【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案
已知输入无语法错误的概率为
，该情况下生成正确答案的概率为
，
所以该情况的概率为：
第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案输入有语法错误的概率为
，该情况下生成
正确答案的概率为
，所以该情况的概率为：
，两种情况互斥，所以软件生成正确
答案的总概率为：
。
18．（2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相
同的3 个红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球
与其替换，这样称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全是红球的概率为
，则
________.
【答案】
【详解】若4 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则1 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一
次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以
，
若5 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二
次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到
红球六种情况，
所以
，所以
.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将
次重复操作后，
盒中6 个球全是红球转化为
次
抽到红球，3 次抽到黑球，然后分情况计算概率即可.
19．（2026·山东日照·一模）已知集合
，从集合
中随机抽取一个数记为
，再从
中随机抽取一个数记为
，则
___________．
【答案】
【分析】
可能的取值为
，根据条件概率和全概率公式可求
取相应值时概率，再根据期
望公式即可求期望.
【详解】
可能的取值为
，由全概率公式有：
，
故
.
20．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件
满足
，
则
__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解.
【详解】由
，得
，
，
由全概率公式，得
，则
，
即
，解得
，
，
因此
，所以
.
21．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生
准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若
学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，
提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%.
(1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率；
（Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率.
(2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2 次面试）；
方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1 次面试）.
已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？
【答案】(1)（I） 0.78；（II）
或0.8077
(2)选择方案二.
【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果；
（2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好.
【详解】（1）设事件
：学生提前认真准备，事件
：学生未提前准备；事件
：线上初审通过.
由题意可得：
（I） 根据全概率公式：
所以一名学生线上初审通过的概率为0.78.
（II）根据贝叶斯公式：
所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为
或0.8077.
（2）设方案一的期望面试次数为
，方案二的期望面试次数为
.
① 方案一：所有学生均参加2 次面试，因此期望面试次数
.
② 方案二：设随机变量
表示方案二的面试次数，
的可能取值为1，2.
，所以
分布列为：
1
2
0.22
0.78
所以
.因为
所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二.
22．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)1
【分析】（1）根据全概率公式可求
；
（2）根据全概率公式构建递推关系后可得
，利用构造法可证明
是等比数列
且可求
的通项公式；
（3）根据题意可得
，故可求
.
【详解】（1）由题意得
.
（2）当
时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为
，则没有“黑币”的概率为
，
，故
.
又
，故
为等比数列,故
,
.
（3）由题
的可能取值为0，1，2，其概率分布列为：
0
1
2
依题意，
即
.于是
故
.
23．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q 的概率分布情况如下表所示．
学习强度指数Q
概率
0.2
0.5
0.3
应对情况
轻松应对
勉强应对
困难应对
(1)从该市随机选取3 名高三的学生，记学习强度指数
的人数为X，求
及X 的数学期
望．
(2)定义
为在事件M 发生的条件下事件N 发生的优势．记事件
“该学生学习有压力”
（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件
“该学
生困难应对”，求在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势．
【答案】(1)
，
的数学期望为
；(2)
；
【详解】（1）由表可知，学习强度指数
的概率为：
,从该市随机选取名学生，记学习强度指数
的人数为
，则
服从二项分布
，所以
；
的数学期望为：
；
（2）由题意可知，事件
为“该学生学习有压力”，事件
为“该学生困难应对”.
，
，
因为事件
包含于事件
中，所以
，
在事件
发生的条件下事件
发生的概率为：
，
在事件
发生的条件下事件
发生的概率为：
，
所以在事件
发生的条件下事件
发生的优势为：
.
24．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5 个除了颜色外完全相同的小球，其中有1 个红球，2 个黑球，
2 个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的
球的个数为随机变量
.
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
(2)求
的分布列和期望.
【答案】(1)
；(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用条件概率公式求解即可；
（2）求出随机变量
可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即
可.
【详解】（1）记事件
“第二次取出的是黑球”，事件
“第三次取出的是红球”，事件
可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故
，事件
“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，可分为”第
一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，故
，故
离散型随机变量期望、方差及其分布列
考点5
所求
.
（2）易知随机变量
可能的取值为
，
当
时，前三次分别取出1 个红球､1 个黑球和1 个白球，
，
当
时，前四次分别取出2 个黑球和2 个白球，
，
当
时，
，
故随机变量
的分布列为：
3
4
5
期望为
.
1．（2026·山东·一模）已知随机变量X 的分布列如表所示（其中
）：
X
0
1
2
P
则随机变量X 的数学期望
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解
，再进行计算即可.
【详解】由题意可得，
，解得
，所以随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
P
所以
.故选：D.
2．（2026·广西北海·一模）已知随机变量
，且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
【答案】B
【详解】因为
，由正态分布的对称性可知，关于
对称，又因为
，
所以
，则
，所以
3.（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态
3，……，每种状态下的粒子经过1 秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状
态1 的粒子有
的概率变为状态2，状态2 的粒子有
的概率变为状态3，以此类推.现有若干状
态1 的该粒子，则经过3 秒处于状态1 和状态2 的粒子数目约占（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别计算经过3 秒后处于状态1 和状态2 的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处
于状态1 和状态2 的粒子数目占总粒子数的比例.
【详解】设经过3 秒处于状态1 的概率为
，粒子要始终停留在状态 1，需连续3 秒都保持状态
1，根据独立事件概率公式：
；设经过3 秒处于状态2 的概率为
，
情况一:第1 秒从状态1 变为状态2，第2 秒和第3 秒都保持状态2 不变，概率为
；
情况二:第1 秒保持状态1 不变，第2 秒从状态1 变为状态2，第3 秒保持状态2 不变，概率为
；
情况三:第1 秒和第2 秒保持状态1 不变，第3 秒从状态1 变为状态2，概率为
；
将上述三种情况的概率相加，得到经过3 秒后处于状态2 的粒子的概率为
，
则经过3 秒后处于状态1 和状态2 的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3 秒后处于状态1 和状态
2 的粒子的概率相加，可得
.
4．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2 局，谁便赢得奖金5400 元.根据以
往的交手记录，每局甲赢的概率为
，乙赢的概率为
，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，
比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分
得奖金（ ）元.
A．3600
B．3800
C．4000
D．4200
【答案】C
【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2 局或3 局.2 局结束，即甲连赢2 局，
概率为
；3 局结束，即前2 局甲、乙各赢1 局，第3 局甲赢，概率为
，所以甲赢得比赛的总概率为
.同理可求得乙赢得比赛的
总概率为
.所以甲分得奖金为
元.
5．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式
求解.
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为
事件D，则
，
，
，所以
.故选：B
6．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展
应用培训活动.现随机
抽取一位学员，其每日在线学习积分
的取值分别为
，若
，则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】B
【分析】先求出
每个取值所对应的概率，再求方差
.
【详解】由题可设
，则
，
，
所以
，解得
.
所以
.
7．（2026·山东德州·一模）已知随机变量
，且
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正态分布特性求出
的值，再根据二项分布的方差公式求出
，最后代入题中所
给等式求解即可．
【详解】正态分布关于均值
对称，又
，可得
，所以
，又
，所以
，由此可得
，解得
．
8．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000 人参加，若他们的成绩近似服从正态分布
，
则分数在100-120 之间的考生约有（ ）（参考数据：若
，则有
）
A．1360 人
B．1570 人
C．2720 人
D．3410 人
【答案】A
【详解】由成绩
近似服从正态分布
，得
，
则
，则
，
所以分数在100-120 之间的考生约有1360 人.
9．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s 等可能地
沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7 次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（
）
A．7 或
B．5 或
C．3 或
D．1 或
【答案】D
【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大
值确定概率最高的位置.
【详解】设质点向正方向移动的次数为
（
），则向负方向移动的次数为
，
质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：
，
每次移动向正、负方向的概率均为
，因此“7 次移动中恰好有
次向正方向”的概率服从二项分
布
，概率公式为：
，其中
为组合数，
为常数，
因此，概率
的大小由组合数
决定，“最可能的位置”对应
最大时的
，
时
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
，
时，
，综上，组合数
在
和
时取得最大值
，当
时，代入
得：
，当
时，代入
得：
，质点最可能移动到的位置坐标为
或
.
10．（多选）（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量
（单位：
）服从正态分布
，且
，
．从该流水线上随机抽取
4 件产品，这4 件产品中质量
在区间
上的件数记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD.
【详解】A 选项，由
，得
，故
，
由正态分布的对称性可知
，A 正确；
B 选项，
，B 正确；
C 选项，由题意得
，故
，C 错误；
D 选项，
，D 正确.
11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备
检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品
的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片
良品率为
，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ）
A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C．甲设备检测该芯片为良品的概率为
D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
【答案】ACD
【分析】设事件
表示“甲设备检测为良品”，事件
表示“乙设备检测为良品”，事件
表示
“芯片为良品”，事件
表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同
的概率如下，为
代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两
个设备至少有一台设备检测为次品的概率是
，代入数值得解；选项C，由题意
得甲设备检测该芯片为良品的概率为
，代入数值得解；选项
D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
，代入数值得解.
【详解】设事件
表示“甲设备检测为良品”，事件
表示“乙设备检测为良品”，事件
表示
“芯片为良品”，事件
表示“芯片为次品”，则
，
，
，
，
，
，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概
率如下，
为
，故A 正确；
选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下，
是
，故B 错误；
选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下，
为
，故C 正确；
选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下，
为
，故D 正确.
12．（多选）（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有
，
两类
问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学
答对
类问题的概率为
，答对
类问题的概率为
，甲同学回答
类问题的概率为
，每轮只答
一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．甲同学在第一轮答对试题的概率为
B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为
C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为
D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6
【答案】ACD
【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为
，故选项A 正确；
甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为
，故选项B 不正
确；
分析可得，甲同学经过
轮答题，答对的试题个数
服从二项分布
，
故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为
，故选项C 正确；
甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为
，故选项D 正确．
13．（2026·辽宁抚顺·一模）甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙
抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的
概率分别为
，且每次点球是否射中相互独立，则（ ）
A．第2 个球是甲射门的概率为
B．在第1 个球和第2 个球均是甲射门的条件下，第3 个球是乙射门的概率为
C．前4 个球中甲、乙各射2 个的概率为
D．在第3 个球是甲射门的条件下，第1 个球是乙射门的概率为
【答案】AC
【分析】对于A：可得第2 个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，进而求概率；对于B：分析
可知第2 球甲未射中，即可得概率；对于C：可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲
甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，进而求概率；对于D：分析可能情况的组成，结合条件概率公式运算
求解.
【详解】记
“抽签抽到甲”，
“甲点球射中”，
“抽签抽到乙”，
“乙点球射
中”，
则
，
，
，可得
，
，
对于选项A：第2 个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，
所以所求事件的概率为
，故A 正确；
对于选项B：在第1 个球和第2 个球均是甲射门的条件下，第3 个球是乙射门，可知第2 球甲未射
中，所以所求事件的概率为
，故B 错误；对于选项C：若前4 个球中甲、乙各射2 个，
则可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，所求的概率为
，故C 正
确；对于选项D：第3 个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲，
对应的概率为
，第1 个球是乙射门且3 个球是甲射门
的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲，对应的概率为
，所以所求事件的概率
，故D 错误.
14．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲
袋子里有2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲袋子里，
再从甲袋子里随机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】分别求出从乙袋子中取出2 个红球、2 个白球和1 个红球和1 个白球的概率，分析X 的可
能取值，求出各个概率，可判断A、B 的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D 的正误.
【详解】设从乙袋子中取出2 个红球为事件A，则
，从乙袋子中取出2 个白球为事
件B，则
，从乙袋子中取出1 个红球和1 个白球为事件C，则
，
由题意，X 的可能取值为0 和1，则
，故A 错误，B 正确；所以
，
则
，故C 正确，D 错误.
15．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷
次，定义随机变量
为结果中连续
出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定
，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续
出现正面的次数为和
，故
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A 选项利用独立事件的概率乘法公式求得
；B 选项通过列出
的分布列计
算期望得
；C 选项通过枚举发现
，说明不能简单分解为独立事件；D 选
项利用
（正面次数）及期望的单调性证得
.
【详解】对于A，
对应于连续
次扔出正面，于是
，A 正确；
对于B，
，
，
，
，
则
，B 正确；
对于C，观察前
次扔出连续的
次正面并不等价于前次的
以及接下来的
.
严格计算：
，
，
，C 错误；
对于D，不妨设
表示前
次投掷中出现正面的次数，
于是
，则
，则
，于是
，D 正确.故选：ABD
16．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
______.
【答案】0.8/
【详解】由
可得
，因
，由正态曲线对称性，得
，则
.
17．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量
，且
，则
___________．
【答案】0.9772
【详解】由
，得
，
根据
，得
，
所以
.
18．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10 张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4 张
为一等奖券，6 张为二等奖券，每次随机抽取1 张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖
券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5 次，
抽到一等奖券记2 分，抽到二等奖券记0 分，以
表示5 次抽取的总得分，则
的数学期望为
__________.
【答案】
4
【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二.
【详解】设事件
表示：“第二次抽到一等奖券”，事件
表示：“第一次抽到二等奖券”，
则
；设
表示5 次抽取中抽到一等奖券的次数，
每次抽到一等奖券的概率
，则由题意可得
，
故
，又
，则
.
19．（2026·江西南昌·一模）已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相
同的3 个红球，从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球
与其替换，这样称为1 次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全是红球的概率为
，则
________.
【答案】
【详解】若4 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则1 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一
次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以
，
若5 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二
次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到
红球六种情况，所以
，所以
.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将
次重复操作后，
盒中6 个球全是红球转化为
次
抽到红球，3 次抽到黑球，然后分情况计算概率即可.
20．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4 个大小、形状、质地完全相同的小球，分
别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1 个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽
取4 次，记
为抽到数字2，0，6 的次数的最大值，则
的数学期望
______．
【答案】
【详解】由题设，每次抽取
的概率为
，抽取
的概率为
，抽取
的概率为
.
可取
，
当
时，4 次中
有两个元素各出现两次，或者4 次中三个都出现，其中有一个元素出现两
次，其余两个元素各出现一次，故
，当
时，4 次中
有一个元
素抽到4 次，故
，故
，
故
的分布列如下：
故
.
21．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人
不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则
_______.
【答案】
【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可.
【详解】设甲制作的卡片为
；乙制作的卡片为
；丙制作的卡片为
.
代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片，有
种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的
卡片；当甲只取回一张自己的卡片时，有
种；例如：甲取到的卡片为
，此时丙不能取
，只能取
，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为
；当甲取回两张自己的卡片时，
此时乙与丙只能相互交换，即有
种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即
，
所以
;
代表三人有两人至少取回一张自己的卡片，
即有一个人没有取回自己的卡片，有
种情况；不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在
四张中取两个，显然丙不能取
或
，所以丙有
种取法，
例如：丙取的是
，则甲留下
，只能在
中取一个，即
种，剩下两张给乙，
即共有
种，所以
.所以
.
22．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI 辅助学
习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50 名作为样本．记“利用AI 辅助
学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到
，
．现从全校的学生中随机抽取30 名，设其中“利用AI 辅助学习的学生”的人数为
，
则当
取得最大值时，
的值为________．
【答案】
【分析】借助条件概率公式可计算出
，再利用二项分布概率公式，表示出
后，解出
不等式
及
即可得.
【详解】由题意可得
，则
，即
，
，则
，则可得
服从二项分布
，
则
，令
，
即有
，解得
，
令
即有
，解得
，即
，由
，则当
取得最大值时，
.
23．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为
本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
，乙队中人答对的概率分别为
，且各人正确与否相互之间没有影响．用
表示甲队的总得分，则随机变量
的数学期望为
___________；用
表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用
表示“甲队总得分大
于乙队总得分”这一事件，则
___________．
【答案】
【分析】利用二项分布期望公式可得
；利用二项分布概率公式求出
、
，设
乙队总得分为
，利用独立事件概率公式求出
、
，则可求出
.
【详解】由题意可得
，则
；
，
，
设乙队总得分为
，则
，
，
则
.
24．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢
得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人
成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．
若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人
形机器人在排练时，导演对机器人下达了7 个动作指令，机器人成功完成了其中5 个．现从这7 个
指令中随机抽取4 个进行回放分析，以
表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望
______．
【答案】
/
；
.
【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量
的所有可
能取值为
，，
，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望.
【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件
，记“下达的动作指令表述模糊”为事件
，记
“机器人成功完成指令”为事件
.由已知得，
，
，
，
.
，
所以该机器人成功完成指令的概率为
；由题意
的所有可能取值为
，，
，
0.8
2
3
4
2
2
5
2
4
7
C C
2
2
C
7
P
3
1
5
2
4
7
C C
4
3
C
7
P
4
0
5
2
4
7
C C
1
4
C
7
P
，
，
，
故
的分布列为：
所以
的数学期望
.
25．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用
个元件组成一个电路系统，当且仅当从
到
的电路为
通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为
，在电路系统正常工作的条件下，
记此时系统中损坏的元件个数为
，则
__________.
【答案】
【分析】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
，其损坏的元件个数为
，
，可得
，结合两点分布可得
，即可得结果.
【详解】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
，其损坏的元件个数为
，
，
则
，可得
，在电路系统正常工作的条件下，可知系统
均正常工作，
对应概率为
，则
，可得
，
2
2
5
2
4
7
C C
2
2
C
7
P
3
1
5
2
4
7
C C
4
3
C
7
P
4
0
5
2
4
7
C C
1
4
C
7
P
2
3
4
P
2
7
4
7
1
7
2
4
1
20
2
3
4
7
7
7
7
E
2n
A
B
3
4
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4
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3
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16
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P Y
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5
5
i
E Y
4
4
1
8
4
5
i
i
i
E X
E Y
E Y
，则
，所以
.
26．（2026·青海西宁·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．
活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得
元基础券的概率为
，获得
元基
础券的概率为
）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券
元，
且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为
，闯过第二关的概
率为
．某生产商将商品定价
元，成本
元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的
，
进阶券面额的
．
(1)若
，
，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为
（单位：元），求
的分
布列和数学期望
；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为
，
记生产商销售一件该商品的期望利润为
（单位：元）．（期望利润
购买概率（支付金额的
期望
商品成本）
优惠券成本的期望）
（i）求
关于
的函数表达式；
（ii）证明：
在
内存在唯一极大值点，并求当
为何值时，商家期望利润
最大？最大
期望利润是多少?（结果保留位小数）
【答案】(1)
分布列见详解，
(2)（i）
（ii）证明见详解，
时，
最大期望利润为
【分析】（1）分析消费者实际支付金额
的所有可能取值，计算每个
取值对应的概率，得到分
布列，计算
；
（2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进
2
1
1
0
5
i
i
P Y
P Y
3
2
2
0
1
5
5
5
i
E Y
4
4
1
8
4
5
i
i
i
E X
E Y
E Y
10
0.6
20
0.4
20
0p
p
100
41
30%
50%
0
0.8
p
0.5
p
X
X
(
)
E X
2
( )
0.2
0.4
0.2
r p
p
p
( )
f p
( )
f p
p
( )
f p
[0,1]
p
( )
f p
1
X
80.8
E X
3
2
4
4
4.8
f
p
p
p
p
2
3
p
f
p
6.7
X
X
E X
阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率
，代入支付金额期望、商
品成本、优惠券成本期望，得到
的函数表达式；
（ii）对
求导，得到导函数
，分析导函数在
内的单调性，找到导函数极大值点，代
入
计算最大期望利润.
【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
.
（2）(i)求
的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算：
支付金额期望：
，
商品成本
，
优惠券成本期望：基础券成本
，
进阶券成本
，总成本期望
，购买概率
，
r p
f
p
f
p
f
p
0,1
f
p
60,70,80,90100
,
0
100
1
0.2
P X
p
0
90
1
0.6
0.8 0.5 0.6
0.24
P X
p
p
0
80
1
0.4
0.8 0.5 0.4
0.16
P X
p
p
0
70
0.6
0.8 0.5 0.6
0.24
P X
p p
0
60
0.4
0.8 0.5 0.4
0.16
P X
p p
X
X
60
70
80
90
100
P
0.16
0.24
0.16
0.24
0.2
60 0.16
70 0.24
80 0.16
90 0.24 100 0.2
80.8
E X
f
p
100
10 0.6
20 0.4
20
86
20
E X
p
p
E X
86
20
41
45
20
p
p
10 0.6
20 0.4
30%
4.2
20
50%
10
p
p
4.2 10p
2
0.2
0.4
0.2
r p
p
p
代入公式：
.
(ii)对
求导得：
令
，整理得
，解得根为
，
（舍去，不在
内），
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
因此
在
内存在唯一极大值点
，且该点为最大值点，
计算最大期望利润：
.
27．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时
间不少于2 小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问
卷调查，将运动时长不少于4 小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4 小时的学生视为“运
动不达标”．现随机抽取200 名学生的问卷，获得数据如下表：
男生（人）
女生（人）
合计（人）
运动达标
80
40
120
运动不达标
20
60
80
合计
100
100
200
用频率估计概率．
(1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
(2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设
为“运动达标”的人数，求
的分布列和数学期望；
(3)从该校随机抽取20 名学生，记其中“运动达标”的人数为
．求使概率
取得最大值时
的
的值．（直接写出结论）
【答案】(1)
(2)
的分布列为
2
45
20
4.2 10
0.2
0.4
0.2
45
20
4.2 10
r p
p
p
p
p
p
p
f
p
3
2
4
4
4.8 0
1
p
p
p
p
f
p
2
12
2
4
f
p
p
p
0
f
p
2
6
2
0
p
p
2
3
p
1
2
p
0,1
2
0, 3
p
0
f
p
f
p
2 ,1
3
p
0
f
p
f
p
f
p
0,1
2
3
p
3
2
2
2
2
2
4
4
4.8
6.7
3
3
3
3
f
X
X
Y
P Y
k
k
1
25
X
数学期望
(3)
【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解；
（2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量
的可能取值并计
算概率，进而得出分布列及数学期望；
（3）先确定
服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的
值.
【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为
，
设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件
，则
；
（2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为
，
从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为
，随机变量
的可能取值为
，
，
，
，
所以
的分布列为
数学期望
.
（3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为
，
服从二项分布
，
则要使得使概率
取得最大值需
且
，
X
0
1
2
P
3
25
14
25
8
25
3
14
8
6
(
)
0
1
2
25
25
25
5
E X
12
X
Y
k
20
1
100
5
A
1
1
1
5
5
25
P A
80
4
100
5
40
2
100
5
X
0,1,2
1
3
3
(
0)
5
5
25
P X
4
3
1
2
14
(
1)
5
5
5
5
25
P X
4
2
8
(
2)
5
5
25
P X
X
X
0
1
2
P
3
25
14
25
8
25
3
14
8
6
(
)
0
1
2
25
25
25
5
E X
120
3
200
5
p
Y
3
(20, )
5
B
P Y
k
(
)
(
1)
P Y
k
P Y
k
(
)
(
1)
P Y
k
P Y
k
则
且
，解得
，
为整数，所以
，使概率
取得最大值时
的值为
.
28．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型
只有两种词元
，
，且生成词元总数不超过
.若生成
，则过程立即结束；否则继续生
成，直至总数达到
.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为
，
的概率均为0.5，
且各次预测相互独立.审核规则如下：
①若预测中第一次出现词元
，则审核后生成
，
的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元
，则审核后必生成
；
③若预测中出现词元
，则审核后必生成
.
设
表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求
，
；
(2)求
的分布列；
(3)求
.
【答案】(1)
，
(2)
1
2
3
…
…
(3)
【分析】（1）根据规则判断出
和
的情形，结合概率乘法公式求解即可.
（2）结合题干规则推导出
，进而求出
，即可得到分布列.
（3）结合错位相减法及等比数列的前
项和公式求出
，根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）
表示第一次就生成
并结束过程，即第一次预测为
，且审核生成
，
20
20
1
21
1
20
C
0.6
0.4
1
C
0.6
0.4
k
k
k
k
k
k
20
20
1
19
1
20
C
0.6
0.4
1
C
0.6
0.4
k
k
k
k
k
k
11.6
12.6
k
k
12
k
P Y
k
k
12
A
B
2
2
n n
A
2n
A
B
A
A
B
A
A
B
B
X
1
P X
2
P X
X
2
P X
X
n
1
1
4
P X
1
2
4
P X
X
2
1
n
2n
P
2
1
2
3
1
2
2
4
1
3
2
2
1
2
1
2
n
n
2
1
2
1
2
n
n
1
1
2
2
2
n
n
n
1
X
2
X
P X
k
2
P X
n
n
P X
n
1
X
A
A
A
.
表示第二次生成
并结束过程，情况有：第一次预测为
，且审核生成
，第二次预测为
；第一次预测为
，审核必生成
，第二次预测为
，且审核生成
.
.
（2）
（
，
）时，第
个词元输出为
，
若前面
个词元都预测为
，其概率为
，
若前面
个词元有一个预测为
，其概率为
，
故
，
当
时，若前面
个词元都没有预测为
，其概率为
，
若前面
个词元有一个预测为
，其概率为
，
故
所以
的分布列为：
1
2
3
…
…
（3）由（1）得
，由（2）得
，
，
1
1
1
1
2
2
4
P X
2
X
A
A
B
A
B
B
A
A
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
P X
X
k
1
2
1
k
n
≤
≤
*
k N
k
A
1
k
B
1
1
2
k
1
k
A
1
1
1
1
1
1
C
1
2
2
k
k
k
k
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
k
k
k
P X
k
k
k
2
X
n
2
1
n
A
2
1
1
2
n
2
1
n
A
2
1
2
1
2
n
n
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
P X
n
n
n
X
X
2
1
n
2n
P
2
1
2
3
1
2
2
4
1
3
2
2
1
2
1
2
n
n
2
1
2
1
2
n
n
1
2
4
P X
1
1
2
k
P X
k
k
2
3
4
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
n
P X
n
n
，
，
所以
，所以
29．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞
赛”活动.本次竞赛活动满分为
分，得分不低于
分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，
现从参加活动的所有同学中随机抽取了
名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6 组：
，统计结果如图所示.
(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；
(2)从该样本分数不低于
分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取
人进行座谈，若
从座谈名单中随机抽取3 人进行个案研究，记分数在
的人数为
，求
的分布列和均值；
(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取
人，这
名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为
，当
最大时，求
的值.
【答案】(1)
(2)分布列
0
1
2
3
4
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
P X
n
n
n
2
3
4
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
P X
n
n
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
1
1
1
2
2
n
P X
n
n
1
1
1
1
2
2
4
2
2
2
1
1
2
2
n
n
n
P X
P X
X
n
P X
n
n
n
100
80
100
40,50 , 50,60 , 60,70 ,
, 90,100
70
11
90,100
X
X
50
50
Y
P Y
k
k
25
X
P
28
55
24
55
3
55
，
(3)
【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得；
（2）由随机变量
服从超几何分布，根据超几分布计算可得；
（3）随机变量
服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得.
【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率
故优秀的人数为
人;
（2）从样本中得分不低于70 分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11 人进行座谈，
其中分数在
的人数为
.
若从座谈名单中随机抽取3 人，则
的所有可能取值为
.
则
的分布列为：
0
1
2
所以
.
（3）由题意知，
，则
，
.
令
，当
，解得
.
因为
，所以
时，
，
当
时，
，所以当
时，
最大.
30．（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生
每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100 天选择餐厅就餐情况统计如下：
6
11
E X
12
k
X
Y
0.010
0.015
10
0.25,
p
100
0.25
25
90,100
0.010
11
2
0.015
0.030
0.010
X
0,1,2
3
2
1
1
2
9
9
2
9
2
3
3
3
11
11
11
C
C C
C C
28
24
3
0
,
1
,
2
C
55
C
55
C
55
P X
P X
P X
X
X
P
28
55
24
55
3
55
28
24
3
6
0
1
2
55
55
55
11
E X
50,0.25
Y
B
50
50
C
0.25
1 0.25
k
k
k
P Y
k
0,1,2,
,50
k
1
49
1
50
50
50
1
C
0.25
0.75
50
3
1
C
0.25
0.75
k
k
k
k
k
k
P Y
k
k
P Y
k
k
50
1
3
1
k
k
11.75
k
k N
11
k
1
P Y
k
P Y
k
12
k
1
P Y
k
P Y
k
12
k
P Y
k
选择餐厅情况
（午餐，晚
餐）
甲
30 天
23 天
37 天
10 天
乙
20 天
22 天
18 天
40 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
(1)记
为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X 的分布列和数学期望
；
(2)设乙在9 天中有k 天的午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为
，当
取最大值时，求k 的值；
(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，
，
，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐
的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：
.
【答案】(1)X 的分布列为
X
1
2
P
0.1
0.9
X 的数学期望
；
(2)
或
(3)证明见解析
【分析】（1）求出随机变量X 的取值以及相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求
解期望；
（2）先求出
，再利用
即可计算求解；
（3）由条件
结合条件概率公式求出
即可分析求证
.
,
A A
,
A B
,
B A
,
B B
X
E X
kP
kP
0
1
P M
0
1
P N
P M N
P M N
1.9
E X
3
k
4
k
9
9
C 0.4 ·0.6
k
k
k
kP
1
1
k
k
k
k
P
P
P
P
P N M
P N M
P MN
P M P N
P M N
P M N
【详解】（1）由题可得
，
且
，
，所以X 的分布列为
X
1
2
P
0.1
0.9
所以X 的数学期望
；
（2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为
，
所以乙在9 天中有k 天的午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为
，
令
，即
，化简为
，
即
，即
，解得
，
因为k 为整数，且
，
所以乙在9 天中有k 天的午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率
取最大值时
或
.
（3）证明：由题可知
，
，
所以
，所以
，
则
，
所以
，即
，
所以
，即
.
31．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B 两类关卡，
1,2
X
30
20
10
40
1
0.1
100
100
100
100
P X
2
1 0.1
0.9
P X
0.1 1 0.9 2
1.9
E X
40
0.4
100
p
9
9
C 0.4 ·0.6
k
k
k
kP
1
1
k
k
k
k
P
P
P
P
9
1
1
8
9
9
9
1
1
10
9
9
C 0.4 ·0.6
C
0.4
·0.6
C 0.4 ·0.6
C
0.4
·0.6
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
9
9
1
9
9
3C
2C
2C
3C
k
k
k
k
9 8 ... 10
9 8 ... 9
3
2
!
1 !
9 8 ... 10
9 8 ... 11
2
3
!
1 !
k
k
k
k
k
k
k
k
9
3
2
1
10
2
3
k
k
k
k
3
4
k
3
3
6
3
5
4
4
5
3
5
3
9
4
9
4
C 0.4 ·0.6
50.4·0.4 ·0.6 ,
C 0.4 ·0.6
50.4·0.4 ·0.6
P
P
P
kP
3
k
4
k
P N M
P N M
,
N
NM
NM M
MN
M N
1
P MN
P MN
P N
P MN
P M
P M
P M
P MN
P M P N
P MN
P N P MN
P M P N
P N P MN
1
P MN
P N
P N
P M
P MN
P MN P N
P N P M N
P M N
P MN
P N
P N
P M N
P M N
A，B 两类关卡每一次闯关成功的概率分别为
.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B 中的
一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类
推.规定A 类关卡闯关成功一次得20 分，B 类关卡闯关成功一次得10 分，闯关失败均得0 分.每名
活动参与者有3 次闯关机会.
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A 类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40 分则获得现金奖励1000 元，低于40 分则根据分数奖励
其他实物小礼品.若活动参与者有1000 人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
【答案】(1)
(2)96000 元
【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解；
（2）先求解一个参与者得分大于等于40 分的概率，即可根据
，由二项分布的期
望公式求解.
【详解】（1）设事件
表示“第i 次选择的是A”事件
表示“第i 次选择的是B”，
设事件
表示“第i 次闯关成功” ，
，
，
第一次闯关成功，参与者甲选择的是A 类关卡的概率为
；
（2）一个参与者得分大于等于40 分有两类情形：
第一关选择A 成功，第二关继续选择A 也成功；
第一关选择B 失败，第二关换为A 成功，第三关继续选择A 也成功.
故
，设1000 人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现
2 4
5 5
，
1
3
12
1000,125
X
B
iA
iB
i
C
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
4
3
2
5
2
5
5
P C
P A P C A
P B
P C B
1
1
1
1
1
1
1
5
3
3
5
P AC
P A C
P C
1
3
1
2
2
1
4
2
2
12
1
2
5
5
2
5
5
5
125
P
金奖励Y＝1000X 元.由题知，
，故
，所以
，商场支出的现金奖励总金额的期望为96000 元.
32．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生
准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若
学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，
提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%.
(1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率；
（Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率.
(2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2 次面试）；
方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1 次面试）.
已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？
【答案】(1)（I） 0.78；（II）
或0.8077
(2)选择方案二.
【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果；
（2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好.
【详解】（1）设事件
：学生提前认真准备，事件
：学生未提前准备；事件
：线上初审通过.
由题意可得：
（I） 根据全概率公式：
所以一名学生线上初审通过的概率为0.78.
（II）根据贝叶斯公式：
所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为
或0.8077.
（2）设方案一的期望面试次数为
，方案二的期望面试次数为
.
12
1000,125
X
B
12
1000
96
125
E X
1000
1000
96000
E Y
E
X
E X
21
26
A
A
B
0.7,
0.3,
0.9,
0.5
P A
P A
P B A
P B A
P B
P A P B A
P A P B A
0.7 0.9
0.3 0.5
0.78
0.7 0.9
21
0.8077
0.78
26
P A P B A
P A B
P B
21
26
E X
E Y
① 方案一：所有学生均参加2 次面试，因此期望面试次数
.
② 方案二：
设随机变量
表示方案二的面试次数，
的可能取值为1，2.
，
所以
分布列为：
1
2
0.22
0.78
所以
.因为
所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二.
33．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)1
【分析】（1）根据全概率公式可求
；
2
E X
Y
Y
1
1
1 0.78
0.22
P Y
P B
P B
2
0.78
P Y
P B
Y
Y
P
1 0.22
2 0.78
1.78
E Y
E X
E Y
n n
N
n
X
nP
1P
3
5
nP
nP
n
E X
5
9
1
3
2
1
5
45
9
n
nP
1P
（2）根据全概率公式构建递推关系后可得
，利用构造法可证明
是等比数列
且可求
的通项公式；
（3）根据题意可得
，故可求
.
【详解】（1）由题意得
.
（2）当
时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为
，则没有“黑币”的概率为
，
，
故
.又
，故
为等比数列,故
,
.
（3）由题
的可能取值为0，1，2，其概率分布列为：
0
1
2
依题意，
即
.于是
故
.
34．（2026·青海西宁·一模）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小
学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该
校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活
动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到
1
1
2
9
3
n
n
P
P
3
5
nP
nP
2
1
n
n
P
q
n
E X
1
1
1
2
2
5
3
3
3
3
9
P
2
n
n
N
nq
1
n
n
P
q
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
P
P
q
P
q
P
1
1
3
1
2
3
1
3
5
9
3
5
9
5
n
n
n
P
P
P
1
3
0
5
P
3
5
nP
1
1
3
3
1
5
5
9
n
nP
P
1
3
2
1
5
45
9
n
nP
n
X
n
X
P
1
n
n
P
q
nP
nq
0
2
n
n
P X
P X
1
n
n
n
P
q
q
2
1
n
n
P
q
0
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
E X
P
q
P
q
P
q
“通知”要求．
高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
(1)已知高一学生有600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有
达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级8 名学生中，随机选取3 人，记这3 人中每天综合体育活动时间达到通知要
求的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)300，400，500
(2)
X
0
1
2
3
P
【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数分别为700，800，再根据
样本数据综合体育活动时间五天内低于10 小时的人数比例求解即可；
（2）由题意得
的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据
期望的公式求解即可.
【详解】（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8，
已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800，
而综合体育活动时间五天内低于10 小时的人数，高一、高二高三占比分别为
，
，
，
由
，
，
，
因此，估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为
300，400，500．
（2）由题可知，每天综合体育活动时间达到通知要求的，高三有3 人，另5 人没有达到要求，
所以
的可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
，
．
5
28
15
28
15
56
1
56
9
(
)
8
E X
X
1
2
4
7
5
8
1
600
300
2
4
700
400
7
5
800
500
8
X
3
0
5
3
3
8
C C
5
(
0)
C
28
P X
2
1
5
3
3
8
C C
15
(
1)
C
28
P X
1
2
5
3
3
8
C C
15
(
2)
C
56
P X
0
3
5
3
3
8
C C
1
(
3)
C
56
P X
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以
．
5
28
15
28
15
56
1
56
5
15
15
1
9
(
)
0
1
2
3
28
28
56
56
8
E X
