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专题 01 二项分布(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、伯努利试验与二项分布
重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验.
2、二项分布
一般地，在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ( )，
用 表示事件 发生的次数，则 的分布列为 （ ）
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布（binomial distribution），
记作 。
二、典型题型
题型一：利用二项分布求分布列
1．（2024·陕西榆林·统考一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞
赛，从所有答卷中随机抽取 份作为样本，将 个样本数据按 、 、 、 、
、 分成 组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这 份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于 分，则被认定为成绩合格，低于 分说明成绩不合格.从参
加知识竞赛的市民中随机抽取 人，用 表示成绩合格的人数，求 的分布列及数学期望.
2．（2024·广东中山·中山一中校考模拟预测）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸
宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国
人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活
动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出
现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，
游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步
台阶．记队员到达第 步台阶的概率为 （ ），记 ．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第 阶，求 的分布列；
(2)①求证：数列 （ ）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．
3．（2024·全国·模拟预测）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球
运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开
了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划
知，在封闭集训期间，若运动员第 天进行有氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为
，第 天进行无氧训练的概率为 ；若运动员第 天进行无氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为，第 天进行无氧训练的概率为 ．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相
等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第 天进行有氧训练的概率为 ，求 ．
4．（2024·四川绵阳·统考二模）绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门
票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅
不喜欢旅游 总计
游
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
(1)能否有 的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为 ，求 的
分布列与数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
题型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题
1．（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.
当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测
试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概
率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为
，事件 （ ）的概率为 ，求当 最大时 的值.
2．（2024·江西·校联考模拟预测）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业
态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网
上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市 社区为了解该社区市民
网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
不喜欢网上买
喜欢网上买菜 合计
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)是否有99.9%的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2) 社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从 ， 两个买菜平台随机选择其中一个下单买
菜.如果周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ；如果周一选择 平台买菜，那么周二
选择 平台买菜的概率为 ，求李华周二选择平台 买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从 社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为 ，事件
“ ”的概率为 ，求使 取得最大值时的 的值.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.8283．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防
毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加
各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20
分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2
局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得
第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18
局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2
分､1分的概率分别为 ， ， ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 ， .
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
4．（2023·广东广州·统考模拟预测）某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有
水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问
了100人，访问结果如下表所示．
使用人数 未使用人数
女性顾 40 20客
男性顾
20 20
客
(1)从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为 ，问
为何值时， 的值最大？
题型三：建立二项分布模型解决实际问题
1．（2023·全国·模拟预测）5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创
企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片
的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测
方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片
组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检
测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据： ， ， .
2．（2023·山东烟台·统考二模）某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样
方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位： ）得到如下统计表，其中尺寸位于
的零件为一等品，位于 和 的零件为二等品，否则零件为三等品．生产线
甲 4 9 23 28 24 10 2
乙 2 14 15 17 16 15 1
(1)完成 列联表，依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品 非一等品
甲
乙
(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以 表
示这4个零件中一等品的数量，求 的分布列和数学期望 ；
(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进
行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不
执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个
三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作
为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
附 ，其中 ； ．
3．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱
500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱
存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品
无不合格品 有不合格品 合计
设备
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取
20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为
，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 ，求
最大时 的值 ．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的 作为 的值．已知每个口罩的
检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检
验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附： ，其中 ．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问
题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的
真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个
红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别
是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，
已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出
两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决
定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为 ，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问
题，求某个问题能够被解决的概率 ；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为 ，并且都相互独立.物业每解决一
个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位
业主？
三、专项训练
1．（2023·湖南永州·统考二模）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道
题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两
人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为 ．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量 ，求 的分布列与期望；
(2)若甲参加了 局禁毒知识挑战赛，乙参加了 局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识
挑战赛中获得的总分大于 的概率为 ，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于 的概率为 ，证
明： ．
2．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准
备了 张相同的卡片，其中只在 张卡片上印有“奖”字.
(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取 张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数 的分布列、数学期望及方
差；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取 张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.
3．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例
正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每 年灭绝一种，兽类平均每 年灭绝一种，但是
自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的 倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都
在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保
护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取 名进行
调查，得到统计数据如下表：
保护动物意识强 保护动物意识弱 合计
男
性
女
性
合
计
(1)根据以上数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关
联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取 人，共抽取 次.记被抽取的 人
中“保护动物意识强”的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期望.
参考公式： ，其中 .
附：
4．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公
平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6
个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅
部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推
介.
(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个
景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事
件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求 ， ；
(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广
州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列
和数学期望．
5．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立 周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束
后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了 名学生的竞赛成绩作为样本，数据整
理后，统计结果如表所示．
成绩区
间
频数
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人
数的 ，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于 分的学生中随机抽取 人参加省级党史知识竞赛，成绩在 的人数
为 ，求 的分布列和数学期望．
6．（2023·全国·模拟预测）某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增 ．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例
较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的
列联表（单位：人）．
感染病毒情况
接种疫苗情
况
感染 未感染
未接种 20 30
已接种 10 60
(1)是否有 的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者
中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率．
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后
即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性
的概率均为p（ ）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率
为 ，求当p为何值时， 最大．
附： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
7．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定
是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合
格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1
个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本
全部合格才予以接收.
假设拟购进的这批原料的合格率为 ，并用 作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品
所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.
(1)若 ，即方案二中所需的检验费用为随机变量 ，求 的分布列与期望；
(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方
案?说明理由.
8．（2023·广东汕头·校考一模）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲
李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西
梅，其中有4箱测定为一等品.
(1)现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品
的箱数，求 的分布列和期望.
9．（2023·四川凉山·二模）某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗
资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
疼痛指数X
人数 10 81 9
名称 无症状感染者 轻症感染者 重症感染者
(1)统计学中常用 表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学
生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为
“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布 ，且
．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染
者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
10．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发
生故障的概率都是 ，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有
两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台
机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪
种方案能使工厂的生产效率更高？
