重难点13 直线与圆
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重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：结合近三年高考数学全国卷，直线与圆作为解析几何的基础模块，考查形式稳定、
重点突出，主要以选择题、填空题为主（偶尔在解答题中作为第一问铺垫），难度中等偏
上，核心围绕 “定义性质 + 运算求解 + 数形结合” 展开。
预测2026 年：结合近三年高考数学全国卷命题规律、核心考点演变及参考资料中的趋势，
2026 年直线与圆模块的考察将延续 “基础稳定、综合深化、思维聚焦” 的特点，同时在
跨模块融合、场景创新、难度梯度上呈现新趋势，具体备考复习有如下几点：
1.考查稳定，形式灵活：直线与圆的基础知识点（方程、位置关系）每年必考，命题形式结
合含参问题、分类讨论，避免直接套用公式，强调逻辑推理。
2、数形结合为核心思想：多数题目需结合图形分析（如弦中点轨迹、切线长最值、两圆公
切线），仅靠代数运算易漏解（如忽略无斜率的直线）。
3.综合度提升，关联其他模块：常与三角函数（含参直线的三角函数参数型）、向量（如最
值）、抛物线 、 椭圆（切线与圆锥曲线结合）关联，考查综合应用能力。
。
考向01 含参直线1：双直线同参型
一般情况下，过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
直线含参不包含的直线：
(1) 若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含x=1
(2) 若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0 与y=-x 平行
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为
直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否
是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代
换，进行线段的最值求解计算
(4)
而对于过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线处理，可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋
C2)＝0.
如：
（1）含有1 个未知参数，
不论m 为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点 (－2,3)
（2）含有2 个未知参数
过定点
（3）含有3 个未知参数
已知A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0 必过定点(1,1)
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知
为圆
上动点，直线
和直线
（
，
）的交点为
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由、
可得
，且过定点
，
过定点
，则可得点
在以
为直径的圆
上，则
的最大值为
.
【详解】由
、
，
有
，故
，
对有
，故过定点
，
对
有
，故
过定点
，
则
中点
为
，即
，
，则
，
故点
在以
为直径的圆上，该圆圆心为
，半径为
，
又
在原
，该圆圆心为
，半径为，
又
，则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、
的方程得到
，且过定点
，
过定点
，从而确定点
的轨迹为以
为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
2．（24-25 高二上·黑龙江鹤岗·月考）设
，
．若动直线
与
交于点A，C，动直线
与
交于点B，D，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线
的距离为d，根据几何关系表示出
，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】
，
圆心
，半径
，
过定点
，
过定点
，且⊥
，
如图，设
和
中点分别为F、G，则四边形
为矩形，
设
，
，则
，
则
＝
，当且仅当
即
时取等号.
故选：B.
3．（22-23 高三上·贵州贵阳·月考）已知
，若过定点
的动直线：
和过定点
的动
直线
：
交于点
（
与
，
不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．
点的坐标为
B．
C．
D．
的最大值为5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为
可以转化为
，
故直线恒过定点A
，故A 选项正确；
又因为
：
即
恒过定点B
，
由
和
, 满足
，
所以
, 可得
, 故B 选项正确；
所以
, 故C 选项正确;
因为
, 设
为锐角,
则
,
所以
, 所以当
时,
取最大值
,
故选项D 错误.
故选：D.
4．（2022 高三·全国·专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由两直线方程求出
的坐标，由于两直线垂直，所以
，若设
，则
，
，然后表示出
变形后，利用三角函数的性质可求
得其范围.
【详解】解：由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
，即
，经过点定点
，
动直线
和动直线
的斜率之积为
，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，
．
设
，则
，
，由
且
，可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的
关键是由已知得到
，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求
的取
值范围，考查数学转化思想，属于较难题.
考向02 含参直线2：三角函数参型
圆的动切线
到直线系
距离，每条直线的距离
，
直线系
表示圆
的切线集合
5．（24-25 全国专题练习）在直角坐标系
中，全集
，集合
，已知集合A 的补集
所对应区域的对称中心为M，点P 是
线段
（
，
）上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则
周长的最小值为（ ）
A．24
B．
C．14
D．
【答案】B
【分析】根据集合
可判断出集合
表示圆
,再
画图,根据做对称点的方法转换
的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点
到直线
的距离
,
∴直线
始终与圆
相切,
∴集合A 表示除圆
以外所有的点组成的集合,
∴集合
表示圆
,其对称中心
如图所示：设
是点
关于直线线段
（
）的对称点,设
,则由
求得
,可得
.设
关于x
轴的对称点为
,易得
,则直线
,和线段的交点为P,则此时,
的周长为
,为最小值.
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称
点,再转换所求求最值即可.属于难题.
6．（22-23 高三广东模拟测试）设直线系
，对于下列四个命题：
（1）
中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点
不在
中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数
，存在正
边形，其所有边均在
中的直线上；
（4）
中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）
【答案】A
【分析】先求出直线
的几何特征，再逐项分析即可.
【详解】原点O
到直线
的距离为
，所以直线M 始终是圆O：
的切线；
对于A，由于
的变化，直线M 是围绕圆O 旋转的，没有定点，错误；
对于B，O 点不在直线M 上，正确；
对于C，如果圆O 是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在M 上，正确；
对于D，正
的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点
在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误；
故选：A.
7．（23-2 全国专题练习）设直线系M：
，对于下列四个命题：
①M 中所有直线均经过一个定点；
②存在无数多个点不在M 中的任一条直线上；
③对于任意整数
，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；
④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题为（ ）
A．①②④
B．②③
C．②③④
D．③④
【答案】B
【分析】点
到直线系
中每条直线的距离
，
直线系
表示圆
的切线的集合.从切线的角度逐一判断各
个命题即可得到答案.
【详解】因为点
到直线系
中每条直线的距离
，直线系
表示圆
的切线的集合.
①：由于直线系表示圆
的所有切线，其中存在两条切线平行，
中所有直线均经过一个定
点不可能，故①不正确；
②：直线系表示圆
的所有切线，故圆内部的点不在
中的任一条直线上，所以存在无数多
个点不在
中的任一条直线上，故②正确；
③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数
，存在正
边形，其所有
边均在
中的直线上，故③正确；
④：如图，
中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如
是圆的外切三角形，此类面积都相
等，另一类是在圆同一侧，如
型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相
等，故④不正确.
故选：B.
8．（21-22 高三吉林模拟）已知集合
直线l
，其中m，n 是正常数，
，
下列结论中正确的是（ ）
A．当
时，S 中直线的斜率为
B．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
C．当
时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S 中所有直线均经过同一个定点
【答案】C
【分析】对于A：代入根据直线方程求斜率即可判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：分析可知直线l
与曲线
相切，结合圆和椭圆的性质分析判断.
【详解】对于选项A：当
时，则
，
所以S 中直线的斜率
，故A 错误；
对于选项B：因为
不满足方程，所以S 中的所有直线不可覆盖整个平面，故B 错误；
对于选项C：设
，
可知点
在直线l 上，也在曲线
上，
联立方程
，消去y 可得：
，解得
，
可知直线l 与曲线
相切，若
，可知曲线
表示半径为n 的圆，
所以S 中的两条平行线间的距离均为2n；
若
，可知曲线
表示短半轴长为
的椭圆，所以S 中的两条平行线间的距离的最小值为
2n；
综上所述：S 中的两条平行直线间的距离为
，故C 正确；
对于选项D：若
，则直线为
，若
，则直线为
，
两直线平行，没有公共点，所以S 中所有直线不可能经过同一个定点，故D 错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：对于C：联立方程证明直线l 与曲线
相切，将距离问题转化为切线问题，
进而分析判断.
考向03 直线方程系
直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋
C2)＝0.
9．（24-25 高三上·江苏·月考）若
既是
的中点，又是直线
与直线
的交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据条件求
，再根据两点确定一条直线，求直线
方程，根据垂直关系，即可求中垂线
方程.
【详解】由条件可知，
，
，
且
，两式相加得
，
即
，得
，
点
是直线和
的交点，所以
，
所以点
满足直线
，即直线
方程为
，
，与直线
垂直的直线方程的斜率为
，
所以中垂线方程为
，整理为
.
故选：A
10．（20-21 高三上·浙江·月考）已知点
，
是曲线
（
为非零常数）上两个
不同的点，则关于x，y 的方程组
的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当
时，对任意的
，方程组总是有解
B．当
时，对任意的
，方程组总是有解
C．当
时，存在
，使方程组有唯一解
D．当
时，存在
，使方程组有唯一解
【答案】A
【解析】对
的解的情况，即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程
的根的个数，也就是两函数
与
的图象之间交点的个数，分类讨论验证即
可.
【详解】由题知
．对
的解的情况，
即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程
的根的个数，也就是两函数
与
的图象之间交点
的个数．
当
时，存在
使得图象
，
有两个交点，即
，两条直线平行，即方程无
解，故A 选项错误；也存在
，使得两图象没有交点，即
无解，即两直线相交，方程组有唯一
解，故选项C 正确；
当
时，图象
有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得
无解，即两直线相交，方程组有唯一解B 和D 选项均正确，
故选：A．
【点睛】本题考查直线的斜率、函数零点问题，考查转化思想，运算求解能力、推理论证能力．属于难题.
11．（23-24 全国专题练习）在平面直角坐标系内，设
，
为不同的两点，直线l 的方程
为
，
，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N 在直线上
B．若
，则过M，N 两点的直线与直线l 平行
C．若
，则直线经过线段M，N 的中点；
D．若
，则点M，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M，N 的延长线相交；
【答案】A
【分析】根据题意对
一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于
，
化为：
，即点
，
不在直线上，因此
不正确．
对于
，
，则
，即过
，
两点的直线与直线的斜率相等，又点
，
不在直线上，因此两条直线平行，故
正确；
对于
，
，则
，化为
，因此直线经过线段
的
中点，故
正确；
对于
，
，则
，则点
，
在直线的同侧，故
正
确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算
能力，属于难题．
12．（23-24 全国专题练习）若点
既是
的中点，又是直线
与
的交点，则线段
的垂直平分线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将
代入化简可求出直线
的斜率，从
而可求出线段
的垂直平分线的方程.
【详解】直线
与直线
的方程相减可得，
，
把点
代入可得
，
所以
，
所以线段
的垂直平分线的方程是
，即
，
故选：C
考向04 直线光学性质：将军饮马型
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
（1）点
关于直线
的对称点
，则有
；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
13．（2024 高三·江苏·专题练习）已知：
，
，
，
，
，一束光线从
点出发射到
上的
点经
反射后，再经
反射，落到线段
上（不含端点）.则
斜率的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先作出
关于
的对称点
，再作
关于
的对称点
，因为光线从
点出发射到
上的
点经
反射后，入射光线和反射光线都经过
关于直线
的对称点
点，又因为再经
反射，反射
光线经过
关于直线
的对称点，所以只需连接
､
交
与点
，连接
､
分别交
为点
､
，则
，
之间即为点
的变动范围.再求出直线
，
的斜率即可.
【详解】∵
，
，
，
∴直线
方程为
，直线
方程为
，
如图，作
关于
的对称点
，
∵
，∴
，再作
关于
的对称点
，则
，
连接
､
交
与点
，则直线ME 方程为
，∴
，
连接
､
分别交
为点
､
，
则直线
方程为
，直线
方程为
，
∴
，
.
连接
，
，则
，
之间即为点
的变动范围.
∵直线
方程为
，直线FH 的斜率为
，
∴
斜率的范围为
.
故选：D.
14．（23-24 高三湖北专题练习）如图已知
，若光线L 从点
射出，直线AB 反射
后到直线OB 上，再经直线OB 反射回原点P，则光线L 所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由点P 关于y 轴的对称点
，设点P 关于直线
的对称点
列方程组求
出
，
，从而求出直线
，联立
，得M 点坐标，由此能求出光线L
所在的直线方程．
【详解】由题意知，过点
和点
的直线为
，且点
，
设光线分别射在AB、OB 上的M、N 处，由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点，
根据反射规律，则
。作出点P 关于OB 的对称点
，作出点P 关于AB 的
对称点
，则
所以
共线，因为
，所以
，点P 关于y 轴的对称点
设点P 关于直线
的对称点
，解得
∴直线
，即
。联立
，得
∴直线
，即光线L 所在的直线方程为
。故选D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运
算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
15．（22-23 全国专题练习）在等腰直角三角形
中，
，点
是边
上异于
的一
点，光线从点
出发，经过
反射后又回到原点
（如下图）. 若光线
经过
的重心，则
等于
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：建立如图所示的直角坐标系，可得
，所以
的方程为
x + y −4 =0, ΔABC的重心坐标为
，设
分别是点
关于直线
和
轴的对称点，设点
，则Q(4,4−a), R(−a,0)，由光的反射原理可知，
四点共线，所以
，即
4−a
4 +a =
4
3
4
3 +a
，解得
，故选D.
考点：直线关于点的对称问题.
【方法点晴】本题主要考查了与直线关于点、点关于直线的对称问题，其中解答中涉及到直线方程的求
解、点关于直线的对称求解和两点间的斜率公式的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能
力，以及推理与运算能力，属于中档试题，其中牢记点关于直线对称的求解和转化与化归思想是解答本题
的关键.
16．（25-26 高二上·河北·期中）已知点P 的坐标
满足
，其中
，一条光线从点
P 射出经x 轴反射后，与圆C：
有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出点
的轨迹方程和
的范围，然后结合图象分析反射光线所在直线斜率的最小值和最大
值，从而得出结果.
【详解】因为点P 的坐标
满足
，得
，
又
，所以
，
，则
，
，
又
，得
，
，
，
如图所示，光线从点P 射出经x 轴反射后，与圆C：
有公共点，
相当于点P 关于x 轴的对称点P′发出的光线与圆C 有公共点，
则可求过点
与圆C 相切的直线斜率为
，
，则反射光线所在直线斜率的最小值为
.
再求圆
：
与圆C 的内公切线斜率，
因为圆
与圆C 的半径相同，故内公切线必过线段
的中点
，
可设内公切线斜率为k，则内公切线为
，即
得
，解得
，故反射光线所在直线斜率的最大值为
.
故选：A.
考向05 数形结合：两点距离
求解形如
的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
17．（23-24 高三上·重庆南岸·月考）已知x，
，若
恒成立，则实数
m 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
的几何意义为两动点
与
的距离，A 在曲线
上，B 在
曲线
上，
为抛物线
的焦点，
的最小值就是
，
即求点
到曲线
上点的最小值，通过设点，由两点间距离公式，利用导数求最值.
【详解】
的几何意义为两动点
与
的距离，
A 在曲线
上，B 在曲线
上，抛物线
开口向右， 焦点
，
作出两曲线
与
的图象，如图所示，
可得
，
，
的最小值就是
，即求点
到曲线
上点的最小值. 取
曲线
上点
，
，令
，则
，
函数
单调递增，且
，则有
在
上为负，在
上为正，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，则
的最小值为
，
即
的最小值为
，所以实数m 的最大值是
.故选：D.
【点睛】思路点睛：某些代数式的最值问题，用代数方法解决相当繁琐，如果所求代数式具有某种几何意
义，根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解析几何基本模型，然后再利用解析几何的有关公
式、性质、图形特征、位置关系探求解法，能使我们在的问题简化，使解题变得更轻松，这对于开拓思
路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益.
18．（2024 高三吉林模拟测试）已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为8
B．
的最小值为9
C．
有1 个实根
D．
有1 个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为
，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】
是抛物线
上一点，
到直线
的距离为
到点
的距离为
，所以
当
共线时，
取最小值，
最小值为
到
的距离
.
因为
，且
的最小值为
，
所以
的最小值为9，且在交点
或
处取到，
故选：B.
19．（21-22 高三山西模拟预测）设平面点集
包含于
，若按照某对应法则
，使得
中每一点
都有唯一的实数
与之对应，则称
为在
上的二元函数，且称
为
的定义域，
对应的值
为
在点
的函数值，记作
，若二元函数
，其中
，
，则二元
函数
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】二元函数
的几何意义是动点
到定点
距离的和，结
合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因
，
，则点
在由直线
围成的矩形
ABCD 区域内(含边界)，如图，
而
表示动点
到定点
距离的和，在矩形ABCD 及内部任取点
P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有
，当且仅当点P 在线段OQ 上时取“=”，
，当且仅当点P 在线段AC 上时取“=”，
于是得
，当且仅当点P 是线段OQ 与AC 的交点时
取“=”，
显然直线AC：
与y 轴交点
在线段OQ 上，即当点
时，
，
所以二元函数
的最小值为7.
故选：C
考向06 数形结合：绝对值型
利用点
到直线ax+by+c=0 的距离公式d=
的结构特征，常常可以将与绝对值余
关的最值型题，构造转化为点到直线的距离来计算求解。
20．（20-21 高二上·安徽池州·期中）已知
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【解析】将问题转化为“点
到点
的距离加上点
到点
的距离加上点
到点
的距
离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】因为
表示点
到点
的距离，
表示点
到点
的距离，
表示点
到点
的距离，设
，
则
表示
的长度和，
显然当点
与点
在
轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当
均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以
，设
关于原点的对称点为
，
所以
；
当
其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有
，
，
所以
；
当
都在坐标原点时，
，
综上可知：
的最小值为
，
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如
的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
21．（高三上·河北石家庄· 模拟）已知实数
满足，
，则
的最大值为
A．
B．2
C．
D．4
【答案】D
【分析】设点
在圆
上，且
，原问题等价于求解点A 和点C 到直线
距离之和的
倍的最大值，据此数形结合确定
的最大值即可.
【详解】设点
在圆
上，且
，
原问题等价于求解点A 和点C 到直线
距离之和的
倍的最大值，
如图所示，易知取得最大值时点A,C 均位于直线
下方，
作
直线
于点
，
直线
于点
，
取
的中点
，作
直线
于点
，
由梯形中位线的性质可知
，
当
直线
时，直线
方程为
，
两平行线之间的距离：
，
由圆的性质
，
综上可得：
的最大值
.
本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
22．（2023 高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问
题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ）
A．设O 为平面内任一点，则A，B，C 三点共线当且仅当存在a，b 满足
，使得
．类比到空间得：设A，B，C 不共线，则A，B，C，D 四点共面当且仅当存在实数
a，b，c 满足
，使得
B．已知平面内点
到直线
的距离为
．类比到空间得：空间中
点
到平面
的距离为
C．设平面内不过坐标原点的直线与x 轴和y 轴的交点分别为
，
，则直线的（截距式）方程
为
．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为
，
，
，则平面的（截距式）方程为
D．设平面内一直线与x 轴和y 轴所成的角分别为
，
，则有
．类比到空间得：设
空间中一直线与x 轴、y 轴和z 轴所成的角分别为
，
，
，则有
【答案】D
【详解】根据法向量的余弦的结论可知
．D 选项错误．故选D．
23．（24-25 高三 全国专题练习）空间直角坐标系
中，定义经过点
且法向量为
的平面
方程为
，平面外的一点
到平面
的距离
．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面
的方程
为
，在
轴上求一点
使它到平面
的距离为6，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果.
【详解】设点
的坐标为
，
由题意可知
，即
，解得
或
；
所以点
的坐标为
或
.故选：D
24．（22-23 高二上·贵州铜仁·期末）若对圆
上任意一点
，
的取值与
，
无关，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】将
转化为点到直线的距离，数形结合，可求出
的取值范围.
【详解】依题意
表示
到两条平行直线
和
的距离之和的5 倍．
因为这个距离之和与x，y 无关，
故两条平行直线
和
在圆
的两侧，如图所示，
故圆心
到直线
的距离
，
解得
或
.
当
时，直线
在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.
所以
.
故选：A
考向07 圆轨迹及阿圆
已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k，且K 不等于1 的点P 的轨迹，是一个圆心
在A、B 两个点的所在直线上的圆 。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称
作阿氏圆
即PA=KPB，k 不等于1，则P 点轨迹是一个圆，可直接设点推导.
1．（23-24 高三湖南 模拟预测）已知圆
的方程为
，
为圆
上任意一点，则以
下正确的序号为（ ）
①存在
轴上的唯一点对
，
，使得
为常数
②存在
轴上的无数个点对
，
，使得
为常数
③存在直线
（
）上的唯一点对
，
，使得
为常数
④存在直线
（
）上的无数个点对
，
，使得
为常数
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
【答案】B
【分析】易得圆关于直线
轴对称，设
，
（
），
，再根据
对
恒成立求出
的关系式，再根据关于
的方程的解的个数即可得出答案.
【详解】圆心坐标为
，圆心在
轴上，
所以圆关于直线
轴对称，
设
，
（
），
，
则
，
即
对
恒成立，
所以
，所以
，所以
，
所以
且
，所以
且
且
，
即
有无数组解，所以①错误，②正确；
因为直线
（
）定点
，
所以圆关于直线
（
）对称，
根据上推理得，存在直线上的无数个点对
，
，使得
的值与
的位置无关，
所以③错误，④正确．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设
，
（
），
，再根据
对
恒成立求出
的关系式，判断出关于
的方程的解的个数是解决本题的关键.
2．（22-23 高三浙江模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点
满足
，直线l：
与动点Q 的轨迹交于A，B 两点，记动点Q 轨迹的对称
中心为点C，则当
面积最大时，直线l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，求的轨迹方程，根据三角形的面积公式，求得面积最大时，点
到
的距离，可得方
程，结合直线过定点，以及求解斜率，解得答案.
【详解】由题意，
，则
，
，则
，
由动点Q 轨迹的对称中心为点C，则动点Q 轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
易知
为等腰三角形，故
的面积
，
当面积取得最大值时，
取的最大值，则
，
此时求得
的高
，点
到直线的距离
，
故
，
，
，
，解得
，
由直线的方程
，则
，且直线的斜率
，
令
，解得
，则直线过定点
，
，同理可得
，
故直线的方程为
，
故选：D.
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱
中，
，
，点P 在四边形
内（含边界）运动，当
时，点P 的轨迹长度为
，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，其中
，从而根据题意列方程可求得
，根据棱柱
表面积公式即可求解.
【详解】
设
，因为
，所以由棱柱的性质可得
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
点P 在四边形
内（含边界）运动，当
时，
，这意味着点
是在以
为圆心
为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是
圆周周长，由题意
，解得
，
所以该三棱柱的表面积为
.
故选：C.
4．（24-25 高三·福建莆田·模拟预测）
中，
，
为边
上一点且
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理确定
外接圆的半径，进而确定轨迹方程，即可求解.
【详解】
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，建系，
由题意：
，
，所以
外接圆的半径为
，
的垂直平分线为：
，
所以可设
外接圆的圆心为：
，所以
，解得：
，
所以
点的轨迹为：
，除去
两点，
的最大值为为
到
点的轨迹圆心的距离加上半径2，
即
，故选：B
考向08 切线转化最值型
切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。
切线转化：
1.转化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。
2.转化为圆心到切点弦距离最值求解
5．（23-24 高三·重庆·模拟预测）椭圆
的左、右焦点分别是
，
，
是椭圆
上的点，过
作圆
的一条切线，切点为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由圆的性质将求
的最大值转化为求
的最大值，再设点
，由
在椭圆
上消
，建
立
关于
的函数关系式求解最值即可.
【详解】由圆
的圆心
，半径为.
连接
，则
，且
，则
，故当
取最大值时，
最
大.
由
在椭圆
上，设
，则
，则
，
，则当
时，
取最大值，最大值为
，此时
所以
.故选：D.
6．（2024 高三全国专题练习）已知圆
的圆心为抛物线
的焦点，且与直线
相切，再由直线
上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（ ）．
A．1
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点坐标得到圆心坐标，由点到直线的距离求出半径，最后求出圆心到直线
的距离，从而求出切线长最小值.
【详解】因为抛物线
的焦点为
，即圆心为
，所以圆的方程为
，
又圆
与直线
相切，所以
，
所以圆的方程为
，
则圆心
到直线
的距离
，所以最短切线长为
.故选：D．
7．（24-25 高三重庆模拟预测）已知直线
与圆
，点
，
在直线上，
过点
作圆
的切线，切点分别为
，
，当
取最小值时，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当
时，
最小，结合点到直线距离公式求得
的最小值，然后作
关于直线的对称点
，可知当
点为直线
与的交点时，
最小，由对称知此时
与
重
合，从而易得最小值．
【详解】
，所以当
时，
最小，
由点到直线的距离公式可得此时
，
过
作直线的对称点
，再连接
，
与直线的交点即为所找的
点，
由于
关于直线
对称，
，
与
关于直线对称，
因此
与
就是同一条直线，即
点就是
点，
所以
的最小值等于
，故选：C．
8．（24-25 高三全国 专题练习）已知直线
与圆
，点
在直线
上，过点
作圆
的切线，切点分别为
，当
取最小值时，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当
时，
最小，结合点到直线距离公式求得
的最小值，然后作
关
于直线的对称点
，可知当点
为
与直线的交点时，
最小，由对称知，此时
与
重
合，从而易得最小值．
【详解】由
可知圆心为
，半径
，
由题意
，所以当
时，
取最小值，
由点到直线的距离公式可得
，此时
，
过
作直线的对称点
，连接
，
，
与直线的交点即为所求的点
，
由于
与
关于直线
对称，
，
与
关于直线对称，
因此
与
就是同一条直线，即点
即为所求的点
，
所以
的最小值为
.故选：C
考向09 切点弦应用
求切点弦方法：
1.公共弦法：过圆
外一点作圆的切线
，则切点
与
四点共圆，线段
就是圆的一条直
径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2 二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－
a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
9．（高三·北京·强基计划）从圆
上的点向椭圆
引切线，两个切点间的线段称为切点
弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.
【详解】设圆
上一点为
，
则对应切点弦所在直线l 的方程为
即
，
故
，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆
围成的面积，其面积为
.
故选：A
10．（2024 高三·江苏·专题练习）已知点P 在直线l：
上，过点P 作圆C：
的切线，切点分别为A，B，则弦AB 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】易得P，A，C，B 四点共圆，该圆以PC 为直径，求出相交圆公共弦所在直线方程，由弦长公式
利用二次函数求最值．
【详解】圆C：
的标准方程为
，圆心
，半径
，
点P 在直线l：
上，设
，则易得P，A，C，B 四点共圆，该圆以PC 为直径，
方程为：
，即
，
与圆C 的方程相减，得到弦AB 所在直线的方程为：
，
则圆心C 到直线AB 的距离
，当
时，
取得最大值
，
由勾股定理，d 取得最大值时，
取得最小值，且
．故选：B
11．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知圆
，直线
，过上的点
作圆
的两条切
线，切点分别为
，则弦
中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据弦
中点
为直线
和
的交点，可设
，求得直线
的方程，再利用以
为直径的圆与圆
的方程作差，求得直线
的方程，再消去
即可求得
的轨迹方程
【详解】易得弦
中点
为直线
和
的交点，设
，则直线
的方程为
，又
均与圆
相切，故
，故
四点共圆，且
为以
为直
径的圆与圆
的公共弦.又以
为直径的圆的方程为
，即
，故
的方程为
相减，即
.又
，所以
，代入
有
，化简得
.当
时，
；当
时，
均满足方程.
又当
时，
不满足题意.
综上有点
的轨迹方程为
故选：B
12．（21-22 高三上·全国·月考）已知椭圆
的焦距为
，过
上一点
作圆
的两条切线，切点分别是
，
，若弦长
的最大值为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，求出在点
、
处的切线方程为
、
，进而可得切点弦
方程为
，求出圆心
到直线
的距离
，由
最大值可得
的最
小值，进而可得
最大值即为
，由离心率公式即可求解.
【详解】因为椭圆的焦距为
，可得
，设
，
，
，
因为直线
的斜率为
，因为在点
处的切线方程为：
即
，
同理在点
处的切线方程为：
，因为两切线相交于点
，所以
，
因为
，
同时满足直线
的方程，所以直线
即为切点弦
的方程，
此时圆心
到直线
：
的距离
，所以弦长
，因此弦长
的最
大值为
，
取得最小值为
，所以
最大值为，又
的几何意义是点
到原
点的距离，因为点
到原点的距离最大值为
，所以
，
所以椭圆
的离心率为
，故选：D.
考向10 圆切线角度型
和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将
角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.
13．（20-21 高三·江西景德镇·期末）已知
是抛物线
的焦点，若直线过点
，且与抛物线
交于
，
两点，以
为直径作圆，圆心为
，设圆
与
轴交于点
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设设
，
的中点
，直线：
与
联立可得
，由韦达定理计算
，
，再求以
为直径作圆的半径
，求出圆
心
点横坐标，设
的中点为
，则
，由圆的性质可得
并求出其范
围，进而可得
的范围，再讨论斜率不存在时
的值，即可求解.
【详解】由抛物线
可知，焦点
，设
，
的中点
设直线：
代入
可得
，所以
，
，
，
所以
，以
为直径作圆的半径
，圆心为
的中点
，设
的中点为
，则
，则
且
，所以
，
当
不存在时，
，此时
，
，
，
，所以
可得
，所以
的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的
性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出
的范围，进而可计算
的范围.
14．（2024·江西·模拟预测）已知直线与圆
：
相交于
，
两点，
为坐标原点，
若锐角
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆的性质可得，弦
所对的圆周角
等于圆心角
的一半，利用面积公式求出
，即可得出
.
【详解】圆
：
整理得
，可知圆心为
，半径为
，且圆过原
点
，根据圆的性质可得，弦
所的圆周角
等于圆心角
的一半，
锐角
的面积为
，
，
，则
，解得
.故选：B.
【点睛】本题考查圆的性质，考查三角形面积公式，属于基础题.
15．（高三·江苏·模拟预测）直线
与圆心为
的圆
交于
，
两点，直线
，
的倾斜角分别为
，
，则
______.
【答案】
【分析】由三角形的外角与不相邻的内角的关系，得到
，再利用圆的性质建立
两个倾斜角的等量关系，化简整理得到
，再利用正切的倍角公式，即可求解.
【详解】设直线
的倾斜角为
，可得
，
由三角形的外角与不相邻的内角的关系，可得
，
由圆的性质可知，直线
过圆心，
是等腰三角形，
所以
，所以
，可得
，
所以
.故答案为：
.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，直线的方程及直线的倾斜角，正切的倍角公式，以及直线与圆的位置
关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
16、（22-23 高三·黑龙江模拟预测）
为圆
上的一个动点，平面内动点
满足
且
(
为坐标原点)，则动点
运动的区域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出图形，然后过点
作圆
的切线
，可得出
，利用锐角三角
函数得出
，可得出
，由题意得出动点
运动的区域为两个圆心角为
的弓
形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案.
【详解】如下图所示：
过点
作圆
的切线
，连接
、
，则
，
，
且
，由锐角三角函数的定义得
，
，过点
作圆
的切线交圆
于
、
两点，
则点
的轨迹为图中阴影部分所表示的区域，为两个弓形，
，则
，
为等边三角形，则
，
因此，动点
运动的区域的面积为
.
故选：B.
【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域，考查分析问题和解决
问题的能力，属于中等题.
考向11 圆定点型
形如过x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的直线可设：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋
λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如
，则圆恒过
交点。
也可以借助圆的定义。
17．（24-25 高三 浙江模拟预测）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的
垂线，垂足为Q，且
，动点P 的轨迹为C，已知圆M 过定点D（0，2），圆心M 在轨迹
C 上运动，且圆M 与x 轴交于A、B 两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用数量积运算可得动点P 的轨迹C 方程，设M
进而得到⊙M 的方程为：
，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用两点之间的距离公式可得，
，再利用基本不等式即可得出．
【详解】设P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵
，∴(0，y+1) (－x，2)＝(x，y－1) (x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，
∴x2＝4y．∴动点P 的轨迹C 为：x2＝4y．设M
．（a∈R）．则⊙M 的方程为：
．化为
．令y＝0，则x2－2ax+a2＝4，
解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1
，|DB|＝l2
．
当a≠0 时，
，当且仅当a
时取等号．当a＝0 时，
2．
综上可得：
的最大值为
．故选：C．
18．（24-25 高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
的图象与坐标轴分
别交于点A，B，C，记
的外接圆为圆
①当
时，圆E 的一般式方程是__________;②圆E 恒
过的两个定点是__________.
【答案】
【分析】设所求圆的一般方程为
，分别令
、
，即可求解；
【详解】①当
时，
二次函数
的图象与两坐标轴交于点
，
，
，
的外接圆为圆E，
设所求圆的一般方程为
，
，
令
，得
，由题意可得，这与
是同一个方程，
故
，
令
，得
，由题意可得，
此方程有一个根为
，代入此方程得出
，
所以圆E 的一般方程为
；
②设所求圆的一般方程为
，
，
令
，得
，由题意可得，这与
是同一个方程，
故
，
令
，得
，由题意可得，此方程有一个根为
，
代入此方程得出
，所以圆E 的一般方程为
，
当
时，
或
，
故圆E 恒过定点
.
故答案为：
；
【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为
，分别令
、
，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解.
19.（2023·吉林长春·模拟预测）已知圆
的圆心在抛物线
上运动，且圆
过定点
，
圆
被
轴所截得的弦为
，设
，
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】设
，即可表示出圆
的方程，从而求出
，再设
，由题意知
，
．所以
，再由
的范围求出
的取值范围．
【详解】设
，则
，故圆
的方程
，
令
有
，故
，解得
，
，
故
．设
，因为
，
所以
，又由余弦定理可得
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以当且仅当
时，原式有最大值
，
当且仅当
时，原式有最小值为
，从而
的取值范围为
．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出
的值，再利用解三角形的知识得到
、
，将式子进行三角转化，结合三角函数的性质计算可得.
20.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆
，
均过定点
，且圆
，
均与
轴、
轴相
切，则圆
与圆
的半径之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】按点
的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方
程根的情况综合分析
的值即可.
【详解】当点
在第一象限时，圆
，
的方程为
的形式，
代入点
的坐标，可得关于的方程
，
圆
，
的半径
，
是该方程的两个不同实根，
所以
，同理，当点
在第二、三、四象限时也可得
．
当点
在
轴上时，
，
此时圆
，
的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在
点处相切，
且
，满足
．
同理，当点
在
轴上时，
，同样满足
．
故选：C.
【点睛】结论点睛：圆的标准方程为
，其中圆心为
，半径为.
考向12 折线系数不同型“将军饮马
折线系数不同型 “将军饮马” 是经典将军饮马问题的拓展，核心区别为所求折线段各段
带有不同系数权重（如∣PA∣+k∣PB∣，k=1），无法直接用 “对称点化折为直” 的经
典方法求解，需结合阿氏圆、相似三角形、轨迹转化、点到直线距离等知识，将带系数的
线段进行等价转化，再回归 “化折为直” 的核心思想求最值。
转化思维步骤：
将带系数的线段k∣PB∣等价转化为无系数的线段∣PB′∣（即构造k∣PB∣=∣PB′∣，
B′为新定点 / 轨迹上的点），将原式转化为∣PA∣+∣PB′∣，再利用 “两点之间线段
最短” 或 “点到直线 / 圆的距离最值” 求解。转化的关键在于根据系数k 的几何意
义，结合动点P 的轨迹选择对应方法，
21．（24-25 高三下·江西九江·月考）已知
，点P 为直线
上的一动点，点Q 为
上
的一动点，则|
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
可得
，即可根据
，根据三点共线即可得
三点共线时，且
垂直于直线
时距离最小，即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】设
，则
，
令
，则
且
，
所以
，得
对任意
成立，
则
，则
，
当
三点共线时，且
垂直于直线
时，
有最小值
，即点M 到直线
的距离，等于
．故选：A
22．（24-25 高三上·山东德州·开学考试）已知点
为直线
上一动点，点
，且
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过构造关系
找到定点
，将最值转化为求
的最值，进而转化为
最值，则点线距求解可得.
【详解】∵
，∴
.∴P 点轨迹是以
点为圆心，
为半径的
圆，记为圆C，设在x 轴上存在定点
，使得圆上任意一点
，满足
，
则
，化简得
，
又∵
，代入得
，要使等式恒成立，则
，即
.
∴存在定点
，使圆上任意一点P 满足
，则
，当
三点共线（
位于
两侧）时，等号成
立.
又
点为直线
上一动点，则
的最小值即为点
到直线的距离，
由
到直线距离
，则
.故
.
如图，过
作直线
的垂线段，垂线段与圆
的交点即为取最值时的点
，此时取到最小值
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助
可以转化
,最后把动点到定点的距离转化为到点
到直线的距离，进而由几何性质求解最值.
23．（24-25·福建厦门·月考）已知
，直线
，直线
，若
为
的交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P 的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.
【详解】因为直线
，直线
，易知
，
且
分别过定点
，取其中点
，易知
，
则P 点在以C 为圆心，3 为半径的圆上，取点
，连接
,
不难发现
，则
，所以
，
则
，
当且仅当
三点共线，且
与线段
和圆C 的交点重合时取得等号.
故选：A.
24．（2024 届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测数学试题）已知圆C：
，直线l：
，若l 与圆C 交于A，B 两点，设坐标原点为O，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆
的圆心及半径，直线所过定点，借助向量运算得
，利用三角代换结
合辅助角公式及三角函数性求出最大值.
【详解】圆C：
的圆心为
，半径为2，
直线l 的方程可化为
，于是l 过定点
，且
，
显然
，即
，
又
，因此
，
设
，
，显然
，
则
，其中
，当
时等号成立，此时
，
，符合条件，
所以
的最大值为
．
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及
并求关于
的二元函数的最值，可以令
，借助三角
变换及三角函数性质求解.
考向13 两圆公切线型
求两圆公切线，要注意以下几点
1.要注意防止遗漏无斜率的垂直公切线：仅设y=kx+b 会漏掉垂直于 x 轴的切线，需单独验证；
2.运用点到直线距离公式时候绝对值符号讨论不全：外公切线和内公切线的符号需严格区分，否则会漏
解 或者增解；
3.未结合位置关系验证：求解出的切线需匹配两圆的公切线条数，多余的解要舍去；
4.斜率不存在时强行计算：若求解k 时出现分母为 0 或者方程无解，直接考虑垂直切线即可。
25．（25-26 高三安徽·模拟预测）已知满足等式
的有序数对
有且仅有一个，则
__________.
【答案】
或
【分析】由已知等式变形得出
，设直线的方程为
，可知点
到直线的距离为，点
到直线的距离为
，即是圆
（半径为）和圆
（半径为
）
的公切线，对圆
、圆
的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值.
【详解】由
变形得
，
设直线的方程为
，
该等式可理解为点
到直线的距离为，点
到直线的距离为
，
即是圆
（半径为）和圆
（半径为
）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.
情形一：圆
与圆
内切，则是两圆唯一的公切线，则
，得
，
情形二：圆
与圆
相交，一条公切线过原点
，另一条公切线为，
因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为
，
与两个圆的切点分别为
、
，
因为
，所以
，可得点
，切线
的方程为
，即
，
此时
.故答案为：
或
.
26．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体
的棱长为，
，
，…，
为正方形
边上的
个两两不同的点．若对任意的点
，存在点
.使得直线
与平面
以及平面
所成角大小均为
，则正整数
的最大值为______．
【答案】8
【分析】先确定当线
与平面
所成角大小均为
时，
，
满足的条件，同理当直线
与平面
所成角大小均为
时，
，
满足的条件，再考虑如何作出
，
即可.
【详解】如图：
设
，
为正方形
的两个点，且满足直线
与平面
所成的角为
，过
作
于
，连接
，则
为线
与平面
所成的角，是
.
所以
.
所以在平面
内，以
为圆心，
为半径做圆，取
为圆上一点，过
作圆的切线，切线与正方形
边的交点即为
，
.
又
，所以
与平面
所成的角为
，所以以
为圆心，
为半径做圆，做该圆的切线，
与正方形
边的交点即为
，
.如图：
因为
，所以
与
相离，两圆有4 条公切线，与正方形
的边有8 个交点.
在这8 个点中，任选一个点
，存在点
.使得直线
与平面
以及平面
所成角大小均为
.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚
，
点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断
，
应满足的条件，以后的问题就好想多了.
27.（25-26 高三 辽宁模拟预测）在平面直角坐标系中，点
到直线的距离等于2，点
到直线
的距离等于3，若满足条件的直线恰有2 条，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据圆的定义，将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题，通过两圆的位置关系判断公切线的
条数，进而求出参数范围.
【详解】满足点
到直线的距离等于2 的直线为以
为圆心，2 为半径的圆的切线，
满足点
到直线的距离等于3 的直线为以
为圆心，3 为半径的圆的切线，
因为满足条件的直线恰有2 条，所以两圆的公切线有且仅有2 条，
又两圆外切时有3 条公切线，内切时有1 条公切线，相离时有4 条公切线，相交时有2 条公切线，
所以两圆相交，即两圆的圆心距
需满足
.
又
，
，
，
所以
，即
，
，
解得
且
.
故答案为：
.
28．（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为
，若两圆的
一条公切线的方程为
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】D
【分析】设两圆心
，由圆心到切线距离等于半径求出
，再结合
求出
即可计算
.
【详解】两圆的一条公切线的方程为
即
过点
，
不妨设两圆心
，则
，
则
，
，
则
，故
.故选：D
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高二下·湖北武汉·开学考试）已知实数x，y 满足
，则
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分段探讨方程表示的曲线特征并作出图形，确定目标函数的几何意义，借助平行线间距离公式数
形结合求出范围.
【详解】当
时，
，方程表示的曲线是焦点在
轴上的椭圆的一部分，
当
时，
，方程表示的曲线是焦点在
轴上的双曲线的一部分，其渐近线为
，
当
时，
，方程表示的曲线是焦点在
轴上的双曲线的一部分，其渐近线为
，
当
时，
，方程表示的曲线不存在，
作出方程
表示的曲线，如图：
曲线
上任意点
到直线
的距离
，
则
表示曲线
上任意点到直线
距离的2 倍，
显然曲线
的渐近线
平行于直线
，直线
的距离
，
令平行于直线
且与曲线
在第一象限部分相切的直线为
，
由
，消去
得
，则
，
解得
，即直线
，直线
的距离
，
观察图形，得
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
2．（25-26·湖北·模拟预测）已知直线
与圆
相交于
两点，若
为等腰直角三角形，则
的值为（ ）
A．1
B．7
C．1 或7
D．1 或
【答案】D
【分析】由题意可得，圆
的圆心为
，半径为2，结合
是等腰直角三角形，可得圆心
到直线
的距离等于
，再利用点到直线的距离公式，从而可求得
的值．
【详解】解：由题意得，圆
的圆心为
，半径为2，
由于直线
与圆
相交于
，
两点，且
为等腰直角三角形，
可知
，
，
所以
，
∴圆心
到直线
的距离等于
，
再利用点到直线的距离公式可得：
圆心
到直线
的距离
，
解得：
或
，所以实数
的值为1 或
.
故选：D．
3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知
三点，点
在圆
上运
动，则
的值不可能取到的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出点
的坐标，利用两点间距离公式求出
，再借助三角代换求出其范围即
可判断.
【详解】设
，由点
在圆
上运动，得
，令
，
则
，
，
，
因此
，其中锐角
由
确定，
所以
不可能取到的值是125.
故选：D
4．（25-26 高三全国专题练习）已知
、
，则函数
的最小
值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】将函数
看作点
和点
与
的距离之
和，可得
，由此求得函数
的最小值.
【详解】函数
的几何意义是点
和点
与
的
距离的和．
由不等式
，可得当
，
，
三点共线，且点
在线段
上时，等号成立．
此时
取得最小值，最小值为
．
故选：A．
5．（2025·江苏·模拟预测）已知直线
恒过定点A，圆
上的两点
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线过定点分析可知
，且
三点共线，可知弦
的中点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆，根据点到直线的距离公式可得
，结合圆的性质
分析求解即可.
【详解】直线
，即为
，
令
，解得
，
即直线
恒过定点
，
圆
的圆心为
，半径
，
因为
，可知点
在圆
内，
直线
与圆相交，
又因为
，可知
三点共线，
设弦
的中点为
，则
，
且
，
，
则
，即
，
可知点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆（点
除外），
设点
到直线
的距离分别为
，
则
，且点
到直线
的距离分别为
，
可得
，
设点
到直线
的距离分别为
，
则
，
，
，
可得
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
6．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）
与
相交于点
，线段
是圆
的一条动弦，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题知直线
分别过定点
，
，又易得
，所以可得点
的轨迹为圆，设
为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值.
【详解】依题意得
，半径
，设
点坐标为
，
直线
恒过点
，直线
恒过点
，
因为
，所以
，则
，即
，
所以点
的轨迹是以
为直径的圆，
的中点为
，
，
故点
的轨迹为圆
，但是去掉点
，其中
，
若点
为弦
的中点，位置关系如图：
，连接
，由
，易知
，
故点
在以
为圆心，半径为1 的圆上，
，直线
为
，
联立
与
得
或
（舍去），
又点
为圆
上的点，
，
此时
.
故选：B
7．（2025·浙江金华·一模）若圆
上存在两点
，直线
上存在点
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心
到直线的距离
需满足
，解该不等式即可求解．
【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B 离直线越近时，直至与直线和圆C 的两交点重合，此时
，
若A、B 相距越来越近时，直至A、B 两点重合，此时
，
所以一定存在A、B 及P，使得
；
当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B 及P，使得
；
当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B 相距越来越近时，直至A、B 两点重合时，仍有
，
另一方面，若PB 与圆C 相切于B，PA 与圆C 相切于A，此时
必为该P 点所能达到的最大情况，如
图所示，
由图可知
，
，CP 最短时，
即等于圆心C 到直线的距离d，
最大，
也最大，同时
最大，
所以若圆
上存在两点
，直线上存在点
，使得
，
则必有
，解得
，又因为圆
的半径
，
圆心
到直线
的距离
，
所以
，解得
．
故选：A．
8．（23-24 高二上·湖北襄阳·月考）过点
作斜率为
的直线交圆
于A，
两点，动点
满足
，若对每一个确定的实数
，记
的最大值为
，则当
变化时，
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】首先确定P 与圆的位置关系，令
且P 是
内分比点，若
为外分比点，由阿氏
圆易知P、Q 在以
的中点C 为圆心的圆上，且
最大值为圆的直径，讨论
及数形结合判断
的最大情况的最小值.
【详解】由题设
，即
在圆
内，
令
且
，显然P 是
内分比点，若
为外分比点,
则
，此时
的中点C 为P、Q 所在阿氏圆的圆心，
对于每一个确定的实数k，
的最大值为
，即
重合时
为对应圆直径，
根据圆的对称性，如上图，讨论
的情况，而
,
当
为直径时，
，
此时
，可得
，
故
的最大值为
，
当
不是为直径时，
，
，且
增减趋势相同，
由
，得
，显然
接近于1 时
趋向无穷大，
此时
的最大值为
趋向无穷大.
综上，
的最小值是1.
故选：A
二、多选题
9．（25-26 高三上·江西南昌·月考）已知曲线
，曲线
由
组成，圆
，则（ ）
A．当
时，
与圆
无公共点
B．当
与圆
有6 个公共点时，
C．不存在过原点的直线与
无公共点
D．
上仅有4 个点到直线
的距离为
【答案】ABC
【分析】根据圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系即可求出.
【详解】依题意可知
为圆
为圆
为圆
，
这3 个圆的半径均为2，且
.
当
时，
，则圆
与这3 个圆都外离，所以
与圆
无公共点，A 正确.
当
与圆
有6 个公共点时，圆
与这3 个圆都相交，则
，解得
，B 正确.
设过原点的直线为直线
，若直线
曲线
都相交，
则
，
即
，无解，
不存在过原点的直线与
无公共点所，C 正确.
因为到直线
的距离为
且与其平行的直线为
，
且
到直线的距离为
，到直线
的距离为
，
到直线的距离为
，到直线
的距离为
，
到直线的距离为
，到直线
的距离为
，
所以直线
与
共有6 个公共点，即
上有6 个点到直线
的距离为
，D 错误.
故选：ABC.
10．（25-26 高三浙江模拟预测）如图，在平面直角坐标系
中，已知圆
上恰有3
个点到直线
的距离为
.设点
，
，
，点
是圆
上的任意一点，过点
作
于
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．点
的轨迹方程为
C．
的最小值为
D．圆
上存在唯一点
，使得
取到最小值
【答案】ABC
【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得
，即可得到点M 的轨迹方程；
对于C，设
，则
，在
中，根据余弦定理得
，再由
即可得到；对于D，设
，得到点
，利用几何
意义可判断；
【详解】对于A，因为圆心
到直线的距离
，
又圆
上恰有3 个点到直线
的距离为
，
所以
，即
，故A 正确 ；
对于B，由题知
，所以
在以
为直径的圆上（与B 不重合），
所以点M 的轨迹方程为
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
在
中，
，
即
，
又
，
当
，即
时取等，故C 正确；
对于D，设在
轴上一点
，使
，
所以
，整理得
，
又点
在圆
上，
所以
，解得
，
则
，当
三点共线时取等，
又
，原点到直线
的距离
，
所以，如图符合题意的点
有两个，故D 错误；
故选：ABC.
11．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知圆
，点
为直线
与
轴的交
点，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，直线
与
交于点
，则（ ）
A．若直线与圆
相切，则
B．
时，四边形
的面积为
C．
的取值范围为
D．已知点
，则
为定值
【答案】ACD
【分析】选项A：利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得；
选项B：利用
求出
长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面积和，计算可
得；
选项C：利用
求出
长，在直角
中，表示出
，进而利用倍角公式求出
，最后利用数量积公式计算可得；
选项D：利用
四点共圆，且
为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出相交弦
所在
直线方程，判断出
过定点
，利用
判断出
在以
为圆心的圆上；选项D 也可以利用圆
极点极线性质，通过
坐标，直接写出
方程，进而求解.
【详解】解：圆
转化为标准方程为
，
,在直角
中，
；
对于A:若直线与圆
相切，圆心到直线的距离
，解得
，所以A 正确;
对于B:当
时，
，
，
，
四边形
的面积
，所以B 错误;
对于C:
，
因为
，所以
，
由对勾函数
在
上单调递增，所以
，所以C 正确;
对于D:方法一：当
时，存在与
轴的交点
，
，
，
所以
四点共圆，且
为此圆直径，圆心为
，半径为
，
此圆方程为：
，
因为
是此圆与圆
的相交弦，故直线
方程为两圆方程作差，
即
，化简得：
，
所以直线AB 经过定点
,
因为
，所以
，因为
在直线AB 上，所以
，
即点
在以
为直径的圆上，因为
，
，所以圆心
恰为
点，半径为
，
因为点
在该圆上，所以
为定值，所以D 正确.
方法二：利用圆的极点极线性质，当
时，存在与
轴的交点
，切点所在直线AB 的方程为
，化简得
，所以直线AB 经过定点
,
因为
，所以
，因为
在直线AB 上，所以
，
即点
在以
为直径的圆上，因为
，
，所以圆心
恰为
点，半径为
，
因为点
在该圆上，所以
为定值，所以D 正确.
故选：ACD.
【点睛】此题考查的是圆切线相关问题：
（1）直线与圆相切的判断方法：圆心到直线距离等于半径；
（2）通过勾股定理，求切线
长；
（3）通过直角三角形和余弦的倍角公式，利用
表示张角
的余弦值；
（4）利用四点共圆或极点极线性质，求切点弦所在直线方程；
（5）极点极线性质：当
在圆
外时，过
作圆的两条切线，两个切点所在直
线方程为：
.
三、填空题
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知实数
满足
，则
的最小值为
_____．
【答案】
【分析】解法1：分别讨论
和
两种情况，作出表示的区域，根据斜率公式及图形
关系，求出相切时的斜率，综合分析，即可得答案；解法2：根据
，代入所求，化简整理，可得所求的表达式，结合
解法1，即可得答案.
【详解】解法1：① 当
时，则
，在区域
上考虑目标函
数最值，
此时
令
，表示点
与点
连线的斜率，
如图，作出区域
的图象，设点
，过点A 作实线弧的切线，设切点为
B，
则
，所以
，
所以
，即
，
依题意，需使
，则
；
② 当
时，则
，在区域
上考虑目标函数最值，
此时
，
令
表示点
与点
连线的斜率，
作出区域
的图象，设点
，过点D 作实线弧的切线，
切点分别为C，E，切线DE 与x 轴交于点F，如图所示，
则
，所以
，
则
，所以
，由题意，需使
，
则
， 当且仅当
时取等号.
综上可得，
的最小值为
．
解法2：利用
得
，当
时，
（以下同法
1）；
当
时，
（以下同法2）．
故答案为：
13．（25-26 高三山西模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点
的距离之比
为定值
且
的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知
在平面直角坐标系
中，
，点
是当
的阿氏圆上的动点．若点
为抛物线
上的动点，过点
作
轴的垂线，垂足为
，则
的最小值为___________．
【答案】
【分析】先求出点
的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得
，当且仅当
四点共线时取等号.
【详解】设
，已知
，
，
则
，化简整理得
，
所以点
的轨迹为以
为圆心，2 为半径的圆；
抛物线
的焦点
，准线方程为
，
则
，
当且仅当
（
两点在
两点中间）四点共线时取等号，
又
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
14．（25-26 高三全国专题练习）已知
，直线
，直线
，若
为
的交点，则
的最小值为_______．
【答案】
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定
的轨迹，取
，证明
，再根据两点
之间线段最短可求解.
【详解】当
时，
，此时交点为
，
当
时，由直线
，斜率为k；
由直线
，斜率为
，所以
，
又
，所以直线恒过点
，
，所以直线
恒过
，
若M 为，
的交点，则
，
所以点M 的轨迹是以
为直径的圆，除去F 点，E 点，
综合以上两种情况，点M 的轨迹是以
为直径的圆，除去F 点，
则圆心为
的中点
，圆的半径为
，
故M 的轨迹方程为
，即
，
又
，易知
在该圆内，又由题意可知圆C 上一点
满足
，取
，则
，满足
，
下面证明任意一点
都满足
，即
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，又
，
所以
，如图，当且仅当
三点共线，且M 位于N，D 之间时，等号成立，
即最小值为
.
故答案为：
.
结束
