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概率与统计
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】条件概率与全概率公式
【题型二】离散型随机变量及其分布
【题型三】二项分布
【题型四】超几何分布
【题型五】正态分布
【题型六】一元线性、非线性回归模型
【题型七】列联表与独立性检验
【题型八】概率、统计与其他知识的交汇问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：均值、方差的大小比较、最值范围问题
：
1、全国Ⅰ对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考
查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考
查时，以解答题形式出现，属中档题.
2、以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、
不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.
3、以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考
查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档或
较难.
：小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判断
以及正态分布也是需要熟练掌握的。今年还需对冷门的知识点，比如用样本方差估计总体方差、最小二乘
法、残差等知识点的掌握和理解。
【题型一】条件概率与全概率公式
【例1】甲、乙、丙、丁、成5 人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）有三个相同的箱子，分别编号
，其中号箱内装有个红球、
个白球，
号箱内装
有
个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取
一箱并从中摸出一个球，事件
表示“取到号箱
”，事件
表示“摸到红球”，事件
表示
“摸到白球”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】有甲、乙、丙3 台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为
、
、
，加工出来的
零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的
、
、
．任取一个零件，
如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商
平台推广新品
和
，在乙电商平台推广新品
．已知甲平台向一用户推送
的概率为0.7，推送
的概率
为0.5，同时推送
和
的概率为0.3；乙平台向该用户推送
的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台
的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送
的条件下，求它向该用户推送
的概率；
(2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C 中的一种的概率．
【变式2】小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为
，周二去健身的概率为
，且小李周一不去
健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2 倍，则小李周一、周二都去健身的概
率为 ．
【变式3】甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2 次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为
，
，且每人
每次投中与否互不影响.
(1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；
(2)求“乙获胜”的概率.
【题型二】离散型随机变量及其分布
【例1】（多选）设随机变量
的分布列为
，（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知随机变量
的分布列如表
-1
0
1
P
若
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【例3】已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1 号球，
一个2 号球和一个3 号球；乙袋内装有两个1 号球，一个3 号球；丙袋内装有三个1 号球，两个2 号球和一
个3 号球.
(1)从甲袋中一次性摸出2 个小球，记随机变量
为1 号球的个数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1 个球，若摸出的是1 号球放入甲袋，
摸出的是2 号球放入乙袋，摸出的是3 号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1 个球.求第二
次摸到的是3 号球的概率.
【变式1】设
是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则
．
【变式2】甲、乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率是
，乙每次击中目标的概率是
，假设
两人是否击中目标相互之间没有影响．
(1)求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率；
(2)设甲击中目标的次数为X，求X 的分布列和数学期望．
【题型三】二项分布
【例1】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概
率为
，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
.已知输入的问题表达不清晰的概
率为
.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3 个问题（3 个问题相互独立），设
表示智能客服的回答被采纳的次数.求
的分
布列、期望及方差.
【例2】甲、乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率是
，乙每次击中目标的概率是
，假设两
人是否击中目标相互之间没有影响．
(1)求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率；
(2)设甲击中目标的次数为
，求
的分布列和数学期望．
【变式1】某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2
件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2 件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某
一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05 和0.05，且各件产品的质
量情况互不影响.
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若质检员一天抽检3 次，以
表示一天中需要调整设备的次数，求
的分布列和数学期望.
【变式2】我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找
到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为
；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为
.若这个人能够找到
鱼窝的概率为
.
(1)求此人能捕到鱼的概率；
(2)此人连续下网
次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为
，则
为何值时，
次捕到鱼的概率
的值最大?
【题型四】超几何分布
【例1】袋中装有12 个大小相同的球，其中红球2 个，黄球3 个，白球7 个，从中随机取出3 个球.
(1)求取出的3 个球中有2 个白球的概率；
(2)设X 表示取到的红球个数，求X 的分布列与数学期望.
【变式1】（多选）从6 名女生和8 名男生中任选5 人去阳光敬老院参加志愿服务，用
表示所选5 人中
女生的人数，用
表示所选5 人中男生的人数，则下列结论正确的是（ ）
备注：一般地，若一个随机变量
的分布列为
，其中
，
则称
.
A．
B．
C．
D．
【变式2】一个不透明的袋子中有10 件外观一样的产品，其中有6 件正品，4 件次品．现进行如下两个试
验，试验一：逐个不放回地随机摸出2 件产品，记取得次品的件数为
，期望方差分别为
；
试验二： 逐个有放回地随机摸出2 件产品，记取到次品的件数为
，期望和方差分别为
，
则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型五】正态分布
【例1】（多选）若随机变量
服从标准正态分布，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时
间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34 分钟，样本方差
为4，假设坐公交车用时
和骑自行车用时
都服从正态分布，则（ ）
A．
B．
C．若某天只有34 分钟可用，小明应选择骑自行车
D．若某天只有38 分钟可用，小明应选择骑自行车
【例3】某校高三学生的模考数学成绩
服从正态分布
，按照
，
，
，
的比例
将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为
分，则他的等级是
（ ）
附：
，
，
.
A．优秀
B．良好
C．合格
D．基本合格
【变式1】已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布
.现从该机
械生产出的所有产品中随机抽取2 件，则这2 件产品的质量指标分别在
）和
的概率为
（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若
服从正态分布
，则
，
.
A．0.57
B．0.75
C．0.80
D．0.84
【变式2】已知随机变量
，且
，则
的最小值为 ．
【变式3】（多选）随机变是
服从正态分布
，令函数
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
是增函数
C．
是偶函数
D．
的图象关于点
中心对称
【题型六】一元线性、非线性回归模型
【例1】某公司收集了某商品销售收入
（单位：万元）与相应的广告支出
（单位：万元）共10 组数据
，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10 个点中去掉
点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是 ．
①决定系数
变小 ②残差平方和变小
③相关系数的值变小 ④自变量
与因变量
相关性变弱
【例2】众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和
防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7 个星期
(用x=1 表示第1 个星期，用x=2 表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
14
20
37
74
108
203
(1)根据表中数据可以判断y 与x 大致满足回归模型
，试建立y 与x 的回归方程（精确到0.01）；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30
人，其身高的平均数和方差分别为171.5 和13.0；抽取了女生20 人，其身高的平均数和方差分别为161.5
和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.
参考数据：
，其中
；
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为
，
.
【变式1】（多选）已知变量
和变量
的一组成对样本数据
的散点落在一条直线附近，
，
，相关系数为，线性回归方程为
，则（ ）
参考公式：
，
A．当
时，成对样本数据成线性正相关；
B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；
C．
，
时，成对样本数据
的相关系数
满足
；
D．
，
时，成对样本数据
的线性回归方程
满足
；
【变式2】某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10 名会员的数据如下：
会员序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总
和
锻炼时长
（小
时）
3
4
2
5
6
4
5
3
4
4
40
体重减少量
（千克）
1.0
1.5
1.0
2.0
2.5
1.8
2.0
1.0
1.6
2.0
16.4
并计算得：
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量
与变量
之间的线性相关关系，请用相关系数加
以说明；
(2)求经验回归方程
（结果精确到 0.01 ）；
(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2 个小时，实际观测到的平均体重减
少量增加了0.8 千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
(参考公式：相关系数
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公
式分别为
，
. 参考值：
)
【题型七】列联表与独立性检验
【例1】某研究性学习小组针对“使用大绿书
的用户是否存在性别差异”，向
个人进行调
查.用
表示所有调查对象构成的集合.以
为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量
和
如下：
对于
中的每一名学生，
，
现得到下表：
是大绿书
的用户
不是大绿书
的用户
男性
女性
若根据
的独立性检验认为
（其中
），则
的最小值为
.（参考公式：
，其中
）
【例2】为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200 名高三年级学生，整理数据
得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
性别
身高
合计
低于
不低于
女
20
男
50
合计
200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中的
，
的值；
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于
”有
关联？
(3)将样本频率视为概率，在全市不低于
的学生中随机抽取6 人，其中不低于
的人数记为
，
求
的期望.
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等.
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等.
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强.
D．已知变量
，由它们的样本数据计算得到
的观测值
，则在犯错误的概率不超过
0.025 的前提下认为变量
没有关系.
的部分临界值如表：
0.1
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
【题型八】概率、统计与其他知识的交汇问题
【例1】数轴上的一个质点
从原点出发，每次随机向右或向左移动1 个单位长度，其中向右移动的概率
为
，向左移动的概率为
，记质点
移动
次后所在的位置对应的实数为
．
(1)当
，
时，质点
在哪一个位置的可能性最大，并说明理由；
(2)求证：
的数学期望
．
【例2】（1）数据
的平均数为
，数据
的平均数为
，
，
为常数，如果满足
，
，…，
，证明：
.
（2）证明：如果两个事件
与
独立，那么事件
与
也独立.
（3）设数据
的均值为
，方差为
，请利用已经学过的方差公式：
来证
明方差第二公式：
；
【变式1】有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间
内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有
、
、
三个人可参加这
项任务，他们各自能完成任务的概率分别为
，
，
，且
，
，
互不相等，他们三个人能否完成
任务的事件相互独立．
(1)
，
，
，如果按照
、
、
的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出入员数目
的分布列和数学期望；
(2)假定
，试分析以怎样的先后顺序派出
、
、
三个人可使所需派出的人员数目
的数
学期望达到最小，请说明理由．
【变式2】某学校有
、
两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第
一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去
餐厅的条件下，后一天继续选择
餐厅的概率为
；
而在前一天选择去
餐厅的条件下，后一天继续选择去
餐厅的概率为
，如此往复.
(1)求该同学第一天和第二天都选择去
餐厅用晚餐的概率；
(2)求该同学第二天选择去
餐厅用晚餐的概率；
(3)记该同学第
天选择去
餐厅用晚餐的概率为
，求
的通项公式.
易错点：均值、方差的大小比较、最值（范围）问题
例1．当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，
发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7 点钟，一场大火在郊区燃起”和“7 点钟，太阳从东方升
起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．
假设通常情况下，它们发生的概率分别是
和
，用
这个量来刻画“信息量”的大
小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量
的分布列为
，
，
．则称
为
的信息熵，用来刻画随机变量
蕴含的信息量的大
小．
(1)若
的分布列为
，
，
，求
的最大值；
(2)证明：
；
(3)若
，且
为定值，设
，证明：
．
变式1．不同AI 大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对
两款不同
AI 大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院
乙学院
使用
不使用
使用
不使用
款
40 人
80 人
60 人
20 人
款
70 人
50 人
30 人
50 人
假设所有学生对
，
两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，
(1)分别估计该校甲学院学生使用
款大模型的概率、该校乙学院学生使用
款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2 人，乙学院全体学生中随机抽取1 人，记这3 人中使用
款大模型
的人数为
，估计
的数学期望
；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2 人，记这2 人中使用
款大模型的人数为
，其方差估计值为
，从该校乙学院全体学生中随机抽取2 人，记这2 人中使用
款大模型的人数为
，其方差估计值
为
，比较
与
的大小，（结论不要求证明）.
变式2．2024 年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9 题到第11 题为多项选择题，每题分值为6
分，若正确选项有2 个，选对2 个得6 分，选对1 个得3 分，有选错的或不选择得0 分；若正确选项有3 个，
选对3 个得6 分，选对2 个得4 分，选对1 个得2 分，有选错的或不选择得0 分．已知甲、乙两位同学各自
独立作答第11 题，设第11 题正确答案是2 个选项的概率为
．
(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2 个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
(2)若乙同学在作答第11 题时，除确定B，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项
作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
