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专题 03 函数与导数
8大考点概览
考点01指对幂函数
考点02抽象函数问题
考点03比较大小问题
考点04导数切线问题
考点05利用导数研究单调性、极值、最值问题
考点06导数证明问题
考点07导数与三角函数交汇问题
考点08导数与数列交汇问题
考点1 指对幂函数
1．（2026·吉林长春·一模）已知 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数 是 且 的反函数，则函数 图象
必过定点（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为函数 是 且 的反函数，
所以 且 ，
令 ，
因为 ，
所以函数 图象必过定点 .
故选：D
4．（2026·吉林白山·一模）（多选）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象
上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的 （纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C．向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将 化为 ，结合函数图象的变换即可进
行判断.
【详解】因为 ，
即,将函数 图象上所有点横坐标变成原来的 （纵坐标不变），可得到 的图象；又因为 ，
所以还可以将函数 图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到 的图象．
故选：AC．
5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量
（ 为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为
_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ，则t=_______.
【答案】 ；
【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式 ，分别代入不同的时间 或质量比值来求
解相应的结果.
【详解】已知公式 ，当 时，将其代入公式可得：
，所以 .
已知 ，即 ，两边同时除以 可得 .
因为 ，所以 .
根据指数的性质，可得 ，解得 .
故答案为： ； .
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】 ，
，则 ，即定义域为 ，
设 ，则 ，
故 为偶函数，图象关于 轴对称，排除BC，
当 时， ， ， ， ，排除A，
所以选项D正确.
考点2 抽象函数问题
1．（2026·黑龙江哈九中·一模）已知定义域为 的函数 满足 ，且 为奇函数，
则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 为奇函数可得 ，又 ，即可求解.
【详解】∵函数 为奇函数，∴ ，
又∵ ，∴ ，故选项C正确.
其他三个选项条件不足无法计算，故选C.
故选：C.
2．（2026·辽宁大连·一模）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 .当
时， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用函数的周期性，奇函数性质赋值计算即可.
【详解】由 可知，
是一个周期为4的周期函数，
所以 ，
将 代入 ，得 ，
又因为 是定义在 上的奇函数，故
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
3．（2026·三省三校·一模）若定义在 上的函数 满足 ， 是奇函数，，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由 是奇函数可得 关于 中心对称，结合 ，利用赋值法计
算可得 ，即可得该函数周期，再利用 ，则可计算出 为 到 时的
的值，即可得解.
【详解】由 是奇函数，则 ，故 关于 中心对称，
由 ，令 ，则 ，即 ，
由 ，令 ，则 ，
故 ，则 ，
故 ，即有 ，故 以 为周期，
由 ，则 ，
， ，
， ，
则
.
4．（2026·吉林长春·一模）已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则
（ ）A．4 B．2 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得函数 是以 为周期的周期函数，然后分别求得
的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.
【详解】由 可得 ，
用 替换 ，则 ，
即 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，
且 是定义在 上的奇函数，则 ，所以 ，
令 ，则 ，且 ，则 ，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
则
.
故选：D
5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 是定义在 上的偶函数， 关于 中心对称，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的一个周期为6 B．
C． D．【答案】B
【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数 的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解.
【详解】选项A， 的图像向左平移 个单位得到 ，
又 关于 中心对称，
关于 中心对称， ，
将 式子中的 用 代替，得到 ，
是定义在 上的偶函数， ，
，将此式子中的 用 代替，得到 ，
则 是一个以 为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B， 关于 中心对称， 的定义域为 ， ，
是定义在 上的偶函数， ，故选项B正确；
选项C， ， ，但是 根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D， 是一个以 为周期的周期函数，
， ，
， ， ，
，
， ，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出 ，故选项D错误.
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）定义在 上的函数 满足下列条件：
（1） ；（2）当 时， ，则（ ）A．
B．当 时，
C．
D．当 时，
【答案】AD
【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，由 ，
取 ，得 ，故A项正确；
对于选项B，任取 ，则 ，依题意， ，
而 ，
则 ，即 ，
即 在 上是增函数，
因为 ，所以 ，
得当 时， ，
而 ，得当 时， ，故B项错误；
对于选项C，由 ，取 ，因为 ，故 ，即 ，故C项错误；
对于选项D，由 ，
取 ，可得 ，
整理得， ，
因为 ，所以 且 ，
故 ，即 ，
，
故D项正确.
故选：AD.
7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）已知定义在 上的偶函数 可导， 的导数为
是奇函数，则（ ）
A． B． 的一个周期为8
C． D． 的图象关于 对称
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
令 ，可得 ，解得 ，A错误；
因为 是偶函数，则 ，且 ，用 代替 可得 ，即 .
又 ，则 ，所以 ，从而有 ，
所以 的一个周期为8，B正确；
因为 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，所以 ，C正确；
由 ，两边同时对 求导得 ，
即 ，所以函数 的图象关于直线 对称，D正确.
故选：BCD
考点3 比较大小问题
1．（2026·吉林白山·一模）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定 的取值范围，再将 转化为同指数的幂函数形式，结合幂函数与指数函数的单调性，比
较 、 的大小，进而确定三者的大小关系.
【详解】由 ，得 ，即 .
由 ，因幂函数 在 时单调递增，故 ，即 .
又 单调递增， ，故 ，结合 ，得 .
故选：A.
2．（2026·辽宁辽阳·一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得 ，即 ，
又由对数函数的性质，可得 ， ，所以 ，
所以 .
故选：A.
3．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为 ， ，
，所以 .
故选：A.
4．（2026·辽宁大连·一模）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对勾函数性质可得 ，令 ，求导，根据导数可得
在区间 上恒成立，进而可判断 的大小关系.
【详解】由题意得 ，
令 ，由对勾函数 可知，函数 在 上单调递增，
则 ，
而 ， ，
令 ，
因为 ，所以 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，
可得
所以函数 在 上单调递增，
故 ，即 ，所以 ，
所以存在实数 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
因为 ， ， ， ，
所以 在区间 上恒成立，故 ，综上 ，故A正确.
故选：A
考点4 导数切线问题
1．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程.
【详解】由 得 ，
所以 ，即所求切线的斜率为4，
由点斜式可得所求切线方程为 ，即 .
故选：B.
2．（2026·黑龙江·一模）曲线 在 处的切线方程为________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，代入 即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，切点 ，
由点斜式得切线方程为 ，整理得 ．
故答案为： .
3．（2026黑龙江哈九中·一模）若直线 是曲线 的一条切线，则 ________．
【答案】e
【分析】设切点为 ，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.
【详解】设直线 与曲线 相切于点 ．因为 ，所以 且 ，
解得 ， ．
故答案为 .
4．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线 在点 处的切线与 轴平行，则点 的坐标为
__________.
【答案】
【分析】设 ，利用导数的几何意义建立方程计算即可.
【详解】易知 ，设 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意可知 ，解之得 或 ，
当 时， ，此时切点在x轴上，不合题意；当 时， ；
所以 .
故答案为：
5．（2026·黑龙江研远联合·一模）若直线 与函数 的图象相切，则 ______．
【答案】
【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线 与曲线 相切，从而可
得切点坐标，代入 ，可求得 的值．
【详解】设直线 与函数 图象的切点为 ，
，，
， ，
，
，又 在直线 上，
， ．
故答案为： ．
6．（2026·辽宁沈阳·一模）如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函
数．隐函数的求导方法如下：在方程 中，把y看成x的函数 ，则方程可看成关于x的恒
等式 ，在等式两边同时对x求导，然后解出 即可．例如，求由方程 所确定的
隐函数的导数 ，将方程 的两边同时对x求导，则 （ 是中间变量，需要用
复合函数的求导法则），得 ．那么曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对 左右两侧同时求导，
可得 ，将点 代入，得 ，
解得 ，故切线斜率为 ，得到切线方程为 ，
化简得方程为 ，故B正确.故选：B
考点5 利用导数研究单调性、极值、最值问题
1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的单调递增区间为
C． 的极小值为3
D．若关于 的方程 恰有3个不等的实根，则 的取值范围为
【答案】AD
【分析】利用 判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D.
【详解】对于A， ，故 ，又其定义域为R，
故 为奇函数，故A正确；
对于B， ，所以在 上， ， 单调递减；
在 和 上， ， 单调递增，故B错误；
对于C，由B知， 在 处取极小值，极小值 ，故C错误；
对于D，方程 恰有3个不等的实根，即 恰有3个解，
且在 和 上， 单调递增；在 上， 单调递减，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：AD
2．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知函数 ，若 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先求导，利用基本不等式求出 ，从而得到 单调递增，得到 ，根
据函数单调性得到ABD选项，C选项可以举出反例.
【详解】 定义域为 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 恒成立，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
A选项，因为 单调递增，所以 ，A正确；
B选项，因为 单调递增，所以 ，B正确；
C选项， ，但 与 大小不确定，例如 ， ，
此时满足 ，但 ，此时 ，C错误；
D选项，因为 ，画出函数图象，如下图：可知 单调递增，所以 ，D正确.
故选：ABD
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 是 上的增函数，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 恒成立，进而分 两种情况讨论求解即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
因为 是 上的增函数，则 恒成立，
即 恒成立，
当 时， ，此时 不恒成立，不满足题意；
当 时，等价于 对 恒成立，
则 ，即 ，则 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 的最小值是 .
故选：B.
4．（2026·吉林长春·一模）若函数 ，且 恒成立，则实数 ____________.【答案】
【分析】求出 代入 ，分 与 分别求出参数 的取值范围，则可写出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 恒成立等价于 恒成立，
当 时， 恒成立，等价于 恒成立，
又函数 在 上单调递减，当 时， ，
所以 ；
当 时， 恒成立，等价于 恒成立，
又函数 在 上单调递减，当 时， ，
所以 ；
综上所述： .
故答案为： .
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ， ， ，所以 在 上的值域为 ，记 ，
，的对称轴为 ， ， ，
所以函数 的值域为 ，
又 ，且 ，在 上单调递减，
要使方程 有唯一解，则 的取值集合为 ，
所以 ，记 ，
若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，
则 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程 有两个不同实根，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数 ，再利用导数求出最小值即可.
【详解】方程 ，令函数 ，
而 ，则函数 在R上单调递增，又方程等价于 ，
因此 ，
令函数 ，依题意，方程 有两个不同实根，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，当 时，恒有 ，
则当且仅当 时，方程 有两个不同实根，
所以实数a的取值范围为 .
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 在 上存在极大值，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据 确定 的值，此时不等式可化为 ，设 ，分析
函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集.
（2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围.
【详解】（1）由 .
所以 .
由 .
设 ， .
则 ， .
由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.又 ，所以 在 上恒成立.
即不等式 的解集为 .
（2）因为 ， .
所以 .
当 即 时， 在 上恒成立，
由 ；由 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
故函数 在 上只有极小值，无极大值；
当 即 时，
由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；
当 即 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，无极值；
当 即 时，
由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值.综上，当 时，函数 在 上存在极大值.
8．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知函数 （a为常数）．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到 ，故 ，变形得到函
数 ，求导得到其单调性，得到 的值域，得到答案.
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）若 在定义域内有两个极值点，则 是方程 即 的两个不相
等的正根，
从而得到 ，即 ，
又 ，故 ，且令 ，则 ，
，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 的值域为 ，
所以 的范围是 .
9．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线斜率为1，求 的值；
(2)讨论 的零点个数；
(3)若 时，不等式 恒成立，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；
（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；
（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据 最小时为负确定单调性区
间，最后求出 的最小值.
【详解】（1） ，
依题意， ，解得 ．（2） 的零点 的根．
设 ，
①当 时， 没有零点；
②当 时， ，所以 在 内是增函数．
取 ，取 ，
所以 在 上有且仅有一个零点；
③当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ．
当 时， 没有零点；
当 时， 在 上有且仅有一个零点；
当 时， ，
取 ，取 ，
所以 在 上有两个零点．
综上，当 时， 没有零点；当 或 时， 有且仅有一个零点；当 时，
有两个零点．
（3），
构造函数 ，则 ．
而 ， 令 ，解得 ，此时 单调递增，
令 ，解得 ，此时 单调递减，
而当 时， ， 与1的大小不定，但当实数 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
．
因为当 时， 单调递减，故 ，
两边取对数得， ，所以 ，
令 ，则 ，
令 得， ，令 得， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，
故a的最小值是 ．
考点6 导数证明问题
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)（ⅰ）当 时，证明： ；
（ⅱ）当 时，设 ，且 .求证： .【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数分 和 两类讨论函数的单调性；
（2）（i）构造 ，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明；
（ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证 得 ，结合（2）的不等式放缩得到
，结合 推出 ，得 得证；
法二：构造 ，根据单调性得到 ，进而得到 的单
调性，后同法一；
法三：构造 ，根据单调性得 ，根据基本不等式得 ，进而证明结论；
【详解】（1） ，
①当 时， ， 在 单调递增，
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减.
（2）设 ，
则 ，因为 在 上单调递增， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，当且仅当 时取等，
所以 ，即 ，当且仅当 ， 时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当 时， 在 单调递增；
因为 ，所以 ，
由（2）可知， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
法二：
由（1）已知，当 时， 在 单调递增；
因为 ，所以 ；（同法一）
设 ， ，易知 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 ，
上式整理得 ，即
设 ， ，所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以
所以 （同法一）
法三：
由（1）已知，当 时， 在 单调递增；
因为 ，所以 ；（同法一）
设 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
显然 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
根据基本不等式， ，所以 ，
所以 ，
所以
2．（2026·黑龙江·一模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 ，当 时，根据 的形式可判断 ，当 时，同样依据 的
形式可判断 在 、 上符号，从而得到单调性区间；（2）根据（1）中的单调性得到 ，根据恒成立得 在 上恒
成立， ，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立.
【详解】（1）由题意可知，函数 ， 的定义域为 ，
导数 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ； ， ；
综上，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）由（1）可知，当 时，
函数 在区间 上单调递增，在区间 ，上单调递减．
所以 ，
要证 ，需证 ．
即需证 恒成立，
令 ，
则
所以函数 在区间 单调递增，
故 ，所以 ， 恒成立，
所以当 时， ．
3．（2026·三省三校·一模）已知函数 ．
(1)若函数 过原点 的切线为 ，求实数 的值；
(2)若函数 的图象与 相交于两个不同点 ， ，记直线 的斜率为 ．
（i）当 时，求实数 取值范围；
（ii）当 时，证明： ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析；
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）（ⅰ）法一：设 ，分析 的单调性，求出 的范围；
法二： ，通过分析 的单调性与零点，结合
的取值范围，求出 的范围；
（ⅱ）将 参数化为圆上的点 ，代入 得 ，利用三角恒等式
得 ，构造 分析单调性，证得 ，从而推出
的取值范围.
【详解】（1）设切点为 ， ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 处的切线为 ，将 代入得 ，解得 ，
（2）（ⅰ）当 时，原问题 有两个不等实根．
法一：设 ，
则
∴当 时， ，当 时，
在 递减， 递增，
， ， ，
法二：
，令 ，
则 ， 在 上递增，
，使得 ， 当 时， ，当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
又 ，
设 ，则
当 时， ，当 时， ，
， ．
（ⅱ）设 ， ，不妨设则 ，即 ，
令 ，
则 ， 是方程 两个根．
又
欲证 ，只需证
设
则
∴当 时， ；当 时， ；
在 递减， 递增，
设
下面证明
，设 ， ，则
故 ．
在 递增， ，
， ，
又 在 递减， ，故 ．
4．（2026·吉林白山·一模）已知函数 ， 为 的导函数.
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： ；
(3)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 单调递减；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导函数符号判断单调性；
（2）构造函数 ，证明 ，再证明 ；
（3）令 ，结合（1）中结论，讨论满足不等式的 的取值范围.【详解】（1）由题， ，
令 ，
则对 ， ，
所以 在 单调递减，即 在 单调递减.
（2）令 ，
则对 ， ，
所以 在 单调递减，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
即 得证.
（3）令 ，则 ，
若 ，则 .
因为 ，由（1） 在 单调递减，
可知 在 单调递减，所以 ，
若 ，因为 ， 时， ，
所以 ， .
所以当 时， ， 单调递增，
所以 ，矛盾；若 ，则由 在 单调递减，可得 ，
所以 在 单调递减， ，满足条件.
综上， 的取值范围是 .
考点7 导数与三角函数交汇问题
1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，函数 有四个零点 ，且 .
（i）当 时，证明： ；
（ii）证明： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，无单调递增区间.
(2)证明见解析.
【分析】（1）对 求导，根据 符号判断单调区间；
（2）（i）分析可得 为偶函数且在 单调递减，根据 ，结合
题干可得 ，构造函数 ，根据 单调性即可求解；
（ii）根据 为偶函数，可得 ，将问题转化为证明
，构造函数 ，分析函数 单调性，可得
即可证明.【详解】（1）函数 定义域为 ，
(当且仅当 时取等号)，
所以 的单调递减区间为 ,无单调递增区间.
（2）证明：
因为 ，
所以 是偶函数.
因为 有四个零点 ,且 ，
所以 .
令 ，则 或 ，其中 ，
当 时， ，
因为 （当且仅当 时取等号），
所以 在 单调递减，
因为 ， 和 各有一解，且 ，
所以 ，即得 ，
因为
即 ，因为 ，且 在 单调递减，
所以 ，即
（i）因为 ， ，
所以 ，
又因为 在 单调递减，即得 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 单调递减，则 ，即 ，得证.
（ii）因为 为偶函数，所以 .
，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，
设 ， （当且仅当 时取等号）
所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为
所以 .
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 上存在唯一的极值点 与唯一的零点 ；
(3)在（2）的条件下，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程；
（2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论；
（3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助 进行放缩构造函数，从而证明结论．
【详解】（1）若 ，则 ，求导得 ，
，
又 ， 所求的切线方程为 ．
（2）函数 求导得： ．
当 时， ， ，又 ，所以 ．
当 时，令 ，则 ，，则 在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增，且 ， ，
存在 ，使得 ．
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增．
，
又 ， 存在 ，使得 ．
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
在 上存在唯一极（小）值点 ．
，又 ，
存在 ，使得 ，
在 上存在唯一零点 ，得证．
（3） ， ，
，得 ， ，
， 等价于 ．
结合（2）的分析， ， ，
，即 ，同理 ，
．
在区间 上单调递减，要证 ，只需证 ．
又 在 上单调递增， 只需证 ．
，
借助 ，可得 ，
令 ，则 恒成立，
在 上单调递增， ，即 成立，得证．
不等式 成立．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数a的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， ， （
），求证： .
【答案】(1)递减区间为 ，递增区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得 ，令 ，得到 ，分 和 ，两种情况讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）令 ，求得 ，令 ，求得
，结合指数函数与三角函数的性质，求得 单调递增，且 ，再分
和 ，两种情况讨论，即可求解；
（3）分 ， 和 ，利用导数，结合零点的存在性定理，求得函数 在
上递增，在 上递减，在 上递增，求得 的取值范围，即可得证.
【详解】（1）解：当 时，可得 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
即 ， 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，
则 ，即 ， 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）解：令 ，
可得 ，令 ，
则 ，
当 时， ， ， ，故 ，
当 时， ， ，故 ，所以当 时，可得 ， 单调递增，即 单调递增， ，
当 时， ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 成立，满足题意；
当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
当 时， ，不满足题意，
综上可得，实数 的取值范围为 .
（3）解：当 时， ，可得 ，
设 ，可得 ，
设 ，可得 ，
设 ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
则 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
，所以存在唯一的 ，使得 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ， ， ，
又由
，
因为 ， ，可得 ， ，
可得 ， ，所以 ，
则存在唯一 ，使得 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ， ，则 在 上单调递增，
则 ，则存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，可得 ，
在 上单调递增， ， ，
综上可得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
要使得 与 的图像有三个交点，
则 ，
，则 ，又因为 ，则 ，则 ，
所以 ，得证.
考点8 导数数列交汇问题
1．（2026·吉林长春·一模）已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 ，使 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解；
（2）设 ，即 在 上恒成立，利用导数分 、 、
三种情况分析即可；
（3）利用放缩公式 ，代入 ，累加即可计算求解.
【详解】（1） ，所以 且 ，
则 在 处的切线方程为 ；
（2） 即 .
设 ，则 ，
令 ，则 且 ， .
（i）当 ， 时，显然 中的 ， ，则 恒成立.（ii） ， 时， ，则 单调递增.
，则 在 上单调递增， ，所以 恒成立.
（iii）当 ， 时， ，则 单调递增，
，又 ，则存在唯一的 ，
使得 ，且当 时， ， 单调递减，此时 不满足恒成立条件，
综上所述， ；
（3）证明：由（2）得 ，即 ，
取 ， ，所以 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
……
当 时， .
累加可得， ，即 .
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知函数 ， ，记 的零点为 .
(1)求 ；
(2)求数列 中的最小项；
(3)证明： .【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对 求导，确定单调性即可求解；
（2）由 通过作差得到 ，构造函数
利用其单调性，确定数列单调性即可求解；
（3）令 ，求导确定单调性，得到 ，再通过 ，分别令
和 ，即可证 .
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 有唯一零点1，即 ；
（2）由 的零点为 ，
得 ，
两式相减得： ，
即 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以由 ，得到 ，
所以 ，所以数列 是递增数列，
所以数列 中的最小项是 ；
（3）令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，即 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以
在 中，令 ，得 当且仅当 时，等号成立，
当 时， ，
所以当且仅当 时， ， 中等号成立，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
当 时，在 中，令 ，
得 ，所以 ，
所以当 时，
，
当 时， 成立，
所以 ，综上得证.
