专题 03 函数与导数
9大考点概览
考点01指对幂函数
考点02函数的性质
考点03函数的根与零点
考点04函数的应用
考点05导数的几何意义
考点06极值与最值零点
考点07恒成立问题
考点08导数综合问题
考点09导数与三角函数
考点1 指对幂函数
1．（2026·哈尔滨三中·二模）若函数 f(x)= { 2x+1,x<2 )，则 f (f (2))= （ ）
log x,x≥2
2
A．−3 B．2 C．3 D．4
2x
2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）函数f (x)=lgx+ ，若f (a)+f (b)=2,a>0,b>0，则
x+1
的最小值为（ ）
(a+b) 2
A．❑√2 B．2 C．4 D．16
{
|log
2
x)(0<x≤2)
)
3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设f (x)=
sin (
πx
) (2<x<10)
，若存在实数 x
1
， x
2
， x
3
，
4
满足 ，且 ，则(x −2)(x −2)的范围是（ ）
x x <x <x <x f(x )=f(x )=f(x )=f(x ) 3 4
4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x
1 2
A．(0,12) B．(4,16) C．(9,21) D．(15,25)
f(x)={ 3x+1,x≤1 )
4．（2026·内蒙古包头·二模）设函数 log (x−1),x>1 ，若f(x)=−3，则f(x−8)=
1
2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．410
5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知实数m>n>1，若log n+log m= 且mn=nm，则
m n 3
m2+n2=（ ）
A．9 B．21 C．27 D．30
6．（2026·辽宁大连·二模）已知 ，则 的最大
m+n=log (4m+4n),m+n+p=log (4m+4n+4p) p
4 4
值是（ ）
A．1 B．1−log 3 C．log 3 D．log 4
4 4 3
考点2 函数的性质
1．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (x+1)是偶函数，当
时， ，则 （ ）
x∈[0,1) f (x)=x2+x f (2024)+f (2025)+f (2026)=
A．4 B．2 C．0 D．−2
2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数f (x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f (x)=x，则
(7)的值为（ ）
f
2
1 1 7 3
A．− B． C． D．
2 2 2 2
3．（2026·吉林白山·二模）已知函数
f(x)=
{x2+4x,x≥0)，若
f(4−a)>f(a)
，则实数
a
的取值
4x−x2,x<0
范围是（ ）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
4．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)=−f (2−x)，若函数
( 2)与函数 的图象的交点为 ， ， ， ，则
g(x)=ln 1− y=f (x) (x ,y ) (x ,y ) ⋯ (x ,y )
x 1 1 2 2 8 88
（ ）
∑(x + y )=
i i
i=1
19 25
A．8 B． C．12 D．
2 2
5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数f (x)的图象关于直线x=m对称，且f (x)在[m,+∞)上
单调递减，若∀x∈(0,+∞)，f (1+x)>f (1−x)，则m的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(−∞,1) C．(−∞,0) D．(1,+∞)
6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知f (x), g(x)是定义在R上的函数，若h(x)=¿，则
（ ）
A．当函数f (x), g(x)均有零点时，h(x)也有零点
B．当函数f (x), g(x)均为增函数时，h(x)也为增函数
C．当函数f (x), g(x)均为偶函数时，h(x)也为偶函数
D．当函数f (x), g(x)均为周期函数且有相同周期时，h(x)也为周期函数
7．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）定义在R上的奇函数f (x)满足f (2+x)=f (−x)，当
x∈[0,1)时，f (x)=❑√x，则下列结论正确的有（ ）
A．当x∈[2,3)时，f (x)=−❑√3−x
3
B．f (x)的图象在x= 处的切线方程为2x+2❑√2y−5=0
2
C．f (x)的图象与g(x)=lg|x−1)的图象所有交点的横坐标之和为10
D． 的图象与直线 恰有一个公共点，则实数 ( 15 1)
f (x) y=x+b b∈ 4k− ,4k− (k∈Z)
4 4
8．（2026·内蒙古包头·二模）已知 xe2x 是偶函数，则 __________.
f (x)= a=
eax−1
9．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，
，则 _______.
f (x)=x2+x f (−3)=
10．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知函数 ，若 ，则 的取值范
f (x)=2x−2−x f (2a)+f (−4)>0 a
围是___________．考点3 函数的根与零点
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
f (x)=3x+x+a f (a)=0 a
A．(−3,−2) B．(−2,−1) C．(−1,0) D．(0,1)
2．（2026·辽宁大连·二模）若关于x的方程x2−ax+4=0有两相异实根x ,x ，且0<x <x <4，则
1 2 1 2
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)∪(4,+∞) B．(0,5) C．(4,5) D．(4,8)
1
3．（2026·辽宁辽阳·二模）已知[x)表示不超过x的最大整数，f (x)=x−[x)− ，若f (x)在区间
2
(t,3t)恰有两个零点，则t的取值范围是______．
考点4 函数的应用
1．（2026·吉林G35联合体·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单
100
位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为h(t)= +k（k为参数）.已知刚开始退潮时水
2t+1
面高度为100cm，若从t=a到t=a+10，水面高度下降了16cm，则a=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2026·东北三省三校·二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规
1
律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.σ(x)= 是
1+e−x
最常用的激活函数,下面关于σ(x)表述错误的是（ ）
2
A．σ(ln2)= B．0<σ(x)<1
3
7
C．σ'(x)=σ(x)[1−σ(x)) D．σ(2)<
8
考点5 导数的几何意义
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模） 在点 处的切线方程是
f (x)=ax3+bx+c(a≠0) (0,f (0))
x−y+1=0，则b+c=（ ）A．−2 B．0 C．1 D．2
2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数 2在 x=0 处的切线方程是（ ）
y=(x+8)3
A．x−3 y+12=0B．x+3 y−12=0 C．4x−3 y+12=0 D．x−3 y+4=0
x
3．（2026·吉林白山·二模）已知m>0，n>0，直线y= +m+1与曲线y=lnx−n+3相切，则
e
1 9
+ 的最小值为（ ）
m n
A．16 B．12 C．9 D．8
4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知直线y=ax+b与函数y=lnx+❑√x的图象相切，若
1
a∈(0, ]，则实数b的最小值为（ ）
2
1 ❑√2 ❑√e
A．− B．ln2+ −1 C． D．2ln2
2 2 2
x
5．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知函数f (x)= ，则下列说法正确的是（ ）
ex
A．曲线f (x)在x=0处的切线与直线y=−x垂直
B．若点P是曲线y=f (x)上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为❑√2
C．曲线 f (x) 的切线的倾斜角取值范围是[ 0, π ) ∪ [5π ,π )
2 6
4
D．若过点A(0,a)可以作曲线y=f (x)的三条切线，则0<a<
e2
6．（2026·黑龙江大庆·二检）已知a,b∈R，若直线y=x−b与曲线y=ex+a相切，则a+b=
___________.
7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）若曲线f (x)=ax+lnx在x=1处的切线与直线x+2y−1=0垂
直，则实数a=_____.
8．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线l：y=ax 与曲线y=lnx和 y=ex+b都相切，则
ab=_______.
9．（2026·哈尔滨三中·二模）若直线y=kx+b是曲线y=ex−1和曲线y=ln(x+1)的公切线，则实
数k=______．
10．（2026·吉林G35联合体·二模）若曲线y=x2−x与曲线y=ln(ax)在它们的公共点处有相同的
切线，则a=_______．考点6 极值与最值零点
1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）函数 的极小值点是（ ）
f (x)=(x2−x−1)ex
A． B． C． D．
−2 (−2,5e−2 ) 1 (1,−e)
1
2．（2026·东北三省三校·二模）若函数f(x)= x3−x+m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为
3
（ ）
1 1
A．− B．−1 C． D．1
3 3
3．（2026·辽宁大连·二模）已知函数 ，若 ，
f (x)=xex,g(x)=ex(1+lnx) f (x )=g(x )=m,m>0
1 2
lnm
则 的最大值为（ ）
x x
1 2
1
A． B．1 C．2 D．e2
e2
4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知函数 ，则（ ）
f (x)=x3−x2−x+1
1
A．− 是函数y=f (x)的一个极值点
3
1
B． 是函数y=f (x)的一个极值点
3
C．直线 是曲线 在 处的切线
x+ y=1 y=f (x) (0, f (0))
D．直线 是曲线 在 处的切线
x−y=1 y=f (x) (0, f (0))
5．（2026·东北三省三校·二模）函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围
f (x)=axex−x−1
是__________.
考点7 恒成立问题
2lnx 2b
1．（2026·吉林白山·二模）函数f (x)=alnx− + −ab，若f (x)≥0恒成立，则a(b+1)的
x x取值范围是（ ）
A．(−∞,e) B．(0,2e) C．[2,+∞) D．(−∞,2)
2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知函数f (x)=(2a−x)lnx，其中a∈R．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
a=1 f (x) (1，f (1))
(2)若函数f (x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(3)若a>0,b∈R，对任意的x>0，f (x)≤a+b恒成立，求b−5a的最小值．
3．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数 ．
f(x)=ex−ax
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
x>0 f(x)≥x2−x+1 a
4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数f (x)=lnx−ax+x(a∈R)有两个不同的零点，分别记为
m,n，且m<n.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若k>0，不等式k+1<(a−1)(m+kn)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)有两组正实数 ，且 .证明：
(x ,x ,x ),(y ,y ,y ) x >y (i=1,2,3),x +x +x + y + y + y =m+n
1 2 3 1 2 3 i i 1 2 3 1 2 3
1 1 1
(√ x ) (√ x ) (√ x ) m+n+9
❑ 1 x 1 −y 1 ❑ 2 x 2 −y 2 ❑ 3 x 3 −y 3> .
y y y m+n
1 2 3
考点8 导数综合问题1．（2026·哈尔滨三中·二模）已知函数 ， ．
f (x)=(m+1)lnx+mx2 (m∈R)
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若函数 在定义域内单调递减，并且对任意正数 都有 ，求实
f (x) x ,x |f (x )−f (x ))≥4|x −x )
1 2 1 2 1 2
数m的取值范围．
1
2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知函数f (x)=lnx− x2+ax,g(x)=sinx.
2
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (1,f (1))
(2)讨论f (x)的单调性；
( tx )
(3)当x≥0时，g(x)≥x 1− ，求实数t的取值范围.
π
3．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数 ， ．
f (x)=3x2ex+2 g(x)=x3+3x2+6
(1)求f (x)，g(x)的单调区间；
(2)已知a≥1，函数h(x)=f (x)−ag(x)，讨论h(x)的极值点的个数；
(3)若 ， ，求t的取值范围．
∀x ,x ∈[t,t+2) |f (x )−f (x ))≥g(x )−g(x )
1 2 1 2 1 24．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在 ， ，使得曲线 在点 和点
x x (x ≠x ) y=f (x) (x ,f (x ))
1 2 1 2 1 1
(x ,f (x ))
处有相同的切线l，则称切线l为曲线
y=f (x)
的“自公切线”.已知函数
f (x)=e|x)−ax2
．
2 2
(1)若函数f (x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：当x>0时，曲线y=f (x)不存在“自公切线”；
(3)若曲线y=f (x)有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围．
5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知f (x)=−1+alnx（x>0）
(1)设函数g(x)=f (x)+x,讨论函数g(x)的单调性；
lnx
(2)当a=1,0<x<e时,证明：1−x≥ .
f (x)
lnx
(3)当0<x≤1时,1−x≤ ,求实数a的取值范围.
f (x)
b
6．（2026·吉林长春六中·二模）已知函数f (x)=alnx+ 在点(1, f (1))处的切线方程为
x
x+ y−3=0．
(1)求实数a, b的值；
(2)设 ．
g(x)=f (x)−xex+3ex
（i）证明：g(x)存在唯一极小值；7
（ii）设g(x)的极小值点为x ，证明： <g(x )<2e+2．
1 2 1
考点9 导数与三角函数
1．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知函数 ，其中 .
f (x)=3x2−8sin(x+φ) |φ)≤π
(1)若函数f (x)是偶函数，求φ；
(2)当φ=0时，讨论函数f (x)在[0,+∞)上的零点个数；
(3)若∀x≥0，f (x)≥0，求φ的取值范围.
2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数f(x)=lnx−sinx+1.
(1)讨论f(x)在x∈(0,π)上的单调性；
(2)已知
f′ (x)
为
f(x)
的导数，若两个不相等的实数
x ,x ∈(0,π)
满足
f′ (x )=f′ (x )
，求证：
1 2 1 2
.
f (x )+f (x )>0
1 2
π π
( )
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知f (x)为定义在 − , 上的奇函数且连续可导，令
2 2
π
g(x)=f (x)cosx.当x∈ ( 0, ) 时，有f′(x)−f (x)tanx>ex.
2π π
(1)讨论g(x)在区间 ( − ,0 ) 上的单调性，并证明：当x∈ ( 0, ) 时，g(x)>1−ex；
2 2
(2)当 x∈ ( − π ,0 )时，解不等式： f ( π +x ) sinx+f (−x)cosx<e π 2 +x −e−x ；
2 2
(3)我们可以找到满足题意的一个函数
f (x)=
ex−e−x
( −
π
<x<
π ).现在利用这个函数，重新构造
cosx 2 2
函数 ，记 ，若实 满足 ，证明：
h(x) h(x)=(f (x)+1)cosx+x+e−x x ,x (x <x ) h(x )+h(x )=4
1 2 1 2 1 2
x +x <0.
1 2
4．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波
动量 （单位：千只）与时间 （单位：月），满足函数 ，其波动呈现
y=f (x) x f (x)=e−xcosx(x>0)
“往复波动，逐渐稳定”的特征．
定义：若函数 在 上满足：1．震荡性： 在 上无限次正负交替；2．衰减性：
g(x) (a,+∞) g′(x) (a,+∞)
任意给定正实数 ，存在实数 ，使得当 时， ．则称 为震荡衰减函数．
m n x>n |g(x))<m g(x)
(1)求f (x)在(0,2π)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必
证明）．
(2)根据定义判断函数f (x)在(0,+∞)上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明
理由．
(3)设 ．求证： 无最大值．
h(x)=|f (x))+|f′(x))(x>0) h(x)5．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知函数 ．
f (x)=e−x+sinx−cosx
(1)证明：当x<0时，f (x)>0；
(2)设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 ．
f (x) [0, 2026π) {x )
n
（i）求数列 的项数 ；
{x ) n
n 0
n
（ii）求证： 0 2025π．
∑[x −(k−1)π)>
k 4
k=1
