专题 01 集合、常用逻辑用语与不等式
4大考点概览
考点01集合的定义
考点02集合的运算
考点03充分必要条件
考点04不等式
考点1 集合的定义
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合A={x|x>2))，B={x|x>0),x∈N)，则(∁ A)∩B=（ ）
R
A．{x|0<x<2)) B．{x|0<x≤2)) C．{1) D．{1,2)
【答案】D
【分析】先求出∁ A，再根据交集的概念求解.
R
【详解】 ，故 .
∁ R A={x|x≤2)) (∁ R A)∩B={x|0<x≤2),x∈N)={1,2)
故选：D．
2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知集合U={1,2,3,4,5,6)，A={1,3,5)，B={4,6)，则B∪(∁ A)=
U
（ ）
A．{2} B．{4,6) C．{2,4,6) D．{1,3,4,5,6)
【答案】C
【详解】由题意可知，∁ A={2,4,6)，B={4,6)，
U
所以B∪(∁ A)={2,4,6).
U
故选：C．
3．（2026·内蒙古包头·二模）已知集合A={x∣−1< x≤1},B={x∣0<x<2}，则A∪B=（ ）
A．{x∣0<x≤1} B．{x∣−1< x<2} C．{x∣0<x<1} D．
{x∣−1< x<0}
【答案】B
【详解】因为集合A={x∣−1< x≤1},B={x∣0<x<2}，所以A∪B={x∣−1< x<2}．
故选：B．
4．（2026·内蒙古包头·二模）已知集合A={1,2)，B={1,3,log m)，若A⊆B，则m的值为
2
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C【详解】因为A={1,2)，B={1,3,log m)，A⊆B，
2
所以2∈B，可得log m=2，解得m=4.
2
故选：C．
5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知集合A={x|−1< x<1}，B={x|0<x≤1}，则A∪B=
（ ）
A．(0,1) B．(−∞,1 ) C．(−1,1 ) D．(−1,1 )
【答案】D
【分析】根据并集运算的定义，即可得答案.
【详解】因为A={x|−1< x<1}，B={x|0<x≤1}，
所以A∪B={x)−1< x≤1}=(−1,1] .
故选：D．
6．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知集合A={x∈N|x<7)),B={x|x=2k+1,k∈Z)),则A∩B=
（ ）
A．{1,3) B．{1,3,5) C．{1,3,5,7) D．{3,5,7)
【答案】B
【详解】由集合A={x∈N|x<7))={0,1,2,3,4,5,6),B={x|x=2k+1,k∈Z)),则A∩B={1,3,5)
故选：B．
7．（2026·辽宁大连·二模）集合A={x∣2≤x≤5,x∈Z),B={1,2,3,6)，则图中阴影部分所表
示的集合为（ ）
A．{2,3) B．{4,5) C．{1,2,3,6) D．{2,3,4,5)
【答案】B
【详解】设全集为 ，由图可知阴影部分可表示为 ，
U A∩(∁ B)={x|x∈A,x∉B))
U
可知A={2,3,4,5)，则A∩(∁ B)={4,5)
U
故选：B．
8．（2026·吉林白山·二模）设集合A={2,3,a2 −2a−3),B={0,3),C={2,a)，若
A∪B=A,A∩C={2)，则a=（ ）
A．-3 B．−1 C．1 D．3【答案】B
【详解】A∪B=A则B⊆A，因为 B={0,3}，所以 0∈A，
所以a2 −2a−3=0，解得：a=3或a=−1.
当a=3时，A={2,3,0}，C={2,3}，A∩C={2,3}≠{2}，不符合条件.
当a=−1时，A={2,3,0}，C={2,−1} ，A∩C={2}，符合条件.
综上，a=−1.
故选：B．
9．（2026·内蒙古兴安盟·二模）设全集U={− ，2,集−合1, 0,A1=,2{x}∣x2 −x−2=0 )，则∁ A
U
的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】因A={x∣x2 −x−2=0 )={−1,2} ，又U={− ，2,−1,0,1,2}
故∁ A={−2,0,1} ，故其子集个数为23=8.
U
故选：B．
考点2 集合的运算
1．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知全集 ，集合 ，则
U={x∈Z|(x+1)(x−2)≤0)) A={1) ∁ A
U
的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【详解】易知 ；
U={x∈Z|(x+1)(x−2)≤0))={x∈Z|−1≤ x≤2))={−1,0,1,2 )
又A={1)，所以∁ A={−1,0,2 )，
U
因此∁ A的子集个数为23=8个.
U
故选：C．
2．(2026高三下·辽宁朝阳·二模)已知集合A=¿，B={x|2x<1))，则A∩B=（ ）
A．
{x|x>1))
B．{
x
|
x<
1 )) C．{
x
|
0<x<
1 )) D．{
x
|1 <x<1))
2 2 2
【答案】C
1
【详解】由❑√x>x，解得x∈(0,1)，由2x<1，解得x∈( −∞, ) ，
2则
A∩B=
{
x
|
0<x<
1 )).
2
故选：C．
3．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知全集U=Z，集合A={x∈Z∣(x+2)(x−1)≥0 )，则
∁ A=（ ）
U
A．(−1,0 ) B．(−2,1 ) C．{0) D．{−1,0 )
【答案】D
【详解】因为A={x∈Z∣(x+2)(x−1)≥0 )，
故∁ A={x∈Z∣(x+2)(x−1)<0 )={x∈Z∣−2< x<1)={−1,0} ，
U
故选：D．
4．(2026高三·辽宁鞍山普通高中·二模)已知集合 ，则
A={1, 2, 3, 4, 5),B={x|x2 −4x−5<0 ))
A∩B=（ ）
A．{2, 3, 4, 5) B．{1, 2, 3) C．{1, 2, 3, 4) D．{2, 3, 4)
【答案】C
【详解】x2 −4x− 5<0(⇔x−5)(x+1)<0，解得−1< x<5，即B={x|−1< x<5))，
又A={1,2,3,4,5)，所以A∩B= {1, 2, 3, 4)
故选：C．
5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知集合A={−2,0,1,3 )，集合B={x∣x2<4)，则A∩B=
（ ）
A．{−2,0,1 ) B．{0,1) C．{0) D．{−2,3 )
【答案】B
【详解】因为A={−2,0,1,3 ),B={x|x2<4)={x|−2< x<2)，
所以A∩B={0,1)
故选：B．
6．（2026·哈尔滨三中·二模）已知集合 ， ，则
A={x|x2 −x−6≤0 )) B={x∈N|x≥1)) A∩B=
（ ）
A．{x∈Z|x≥−2 )) B．{1,2) C．{1,2,3) D．
{1,2,3,4,5,6)
【答案】C【分析】通过一元二次不等式确定集合A，再结合交集运算即可求解.
【详解】由 x2 −x−6≤0 ，解得 −2≤ x≤3，即 A={x∣−2≤ x≤3}，
又B={x∈N∣x≥1}，
因此 A∩B={1,2,3}.
故选：C．
7．（2026·辽宁大连·二模）已知集合U=R，A={x|y=lg(x−2))，则∁ A=（ ）
U
A．(−∞,2 ) B．(−∞,2 ) C．(0,2) D．(−∞,3 )
【答案】A
【分析】由对数函数的性质及补集的定义可得.
【详解】因为集合A是函数y=lg(x−2)的定义域，根据对数函数性质，得x− 2>0x⇒>2，即
A=(2,+∞).
因为全集U=R，由补集的定义得∁ A=(−∞,2]
U
故选：A．
8．（2026·黑龙江大庆·二检）已知 ，则
A={x∣−1≤ x≤4),B={x∣y=log (x−1)) A∩B=
2
（ ）
A．(1,4) B．(−1,2 ) C．[1,4) D．[−1,+∞ )
【答案】A
【分析】化简集合B，根据交集的定义求解.
【详解】因为y=log (x−1)的定义域为{x∣x>1)，所以B={x|x>1)，
2
所以A∩B={x∣1<x≤4}.
故选：A.
考点3 充分必要条件
π
1．（2026·辽宁辽阳·二模）已知f(x)=sin(2x+φ) ，把f(x) 的图象向右平移 个单位得到g(x) 的
6
π
图象，则“φ=− +2kπ(k∈Z)”是“g(x) 为偶函数”的（ ）
6
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】应用三角函数平移及奇偶性结合充分必要条件定义判断.【详解】把 f(x) 的图象向右平移π个单位得到 g(x)=sin [ 2(x− π )+φ ) =sin(2x− π +φ)，
6 6 3
π π 5π
当g(x) 为偶函数，则− +φ= +kπ,k∈Z，即得φ= +kπ(k∈Z)，不能得出
3 2 6
π
φ=− +2kπ(k∈Z)，
6
π π
当φ=− +2kπ(k∈Z)时，则g(x)=sin(2x− +2kπ)=−cos2 x为偶函数，
6 2
π
所以“φ=− +2kπ(k∈Z)”是“g(x) 为偶函数”的充分不必要条件.
6
故选：A．
π
2．(2026·辽宁朝阳·二模)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)，设甲：|f(x))≤f( )，乙：曲线
3
π
y=f(x) 关于直线x= 对称，则（ ）
3
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
π π ωπ ωπ
【详解】对于充分性，由|f(x))≤f( ) 可得f( )=2sin =2，即sin =1，可得
3 3 3 3
ωπ π 3
= +2kπ,k∈Z，此时ω= +6k,k∈Z，
3 2 2
于是
f( 2π −x)=2sin [( 3 +6k)( 2π −x)) =2sin [ π+4kπ− ( 3 +6k)x ) =2sin( 3 +6k)x=f(x) ，
3 2 3 2 2
π
所以曲线y=f(x) 关于直线x= 对称，充分性成立；
3
π ωπ π
对于必要性，若曲线y=f(x) 关于直线x= 对称，则 = +kπ,k∈Z，此时
3 3 2
3
ω= +3k,k∈Z，
29 9x π π
若取k=1，则ω= ，此时f(x)=2sin ，因f( )=−2，不满足|f(x))≤f( ) ，必要性不成
2 2 3 3
立.
故甲是乙的充分不必要条件.
故选：A．
3．（2026·吉林G35联合体·二模）已知圆O：(x−1) 2+y2=r2，则“点M(2,1)在圆O外”是“点
N(0,2)在圆O外”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若点M(2,1)在圆O外，则(2−1) 2+12>r2，所以0<r2<2.
若点N(0,2)在圆O外，则(0−1) 2+22>r2，所以0<r2<5.
显然{r20<r2<2)是{r20<r2<5)的真子集，
故“点M(2,1)在圆O外”是“点N(0,2)在圆O外”的充分不必要条件.
故选：B．
4．（2026·东北三省三校·二模）“x2+x−2<0”是“|x)<2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】∵x2+x−2<0，∴(x+2)(x−1)<0，解得−2< x<1，
∵|x)<2，∴−2< x<2，
∵当x满足−2< x<1，则其一定满足−2< x<2，
即由x2+x−2<0可以推出|x)<2，
∴“x2+x−2<0”是“|x)<2”的充分条件;
∵若x=1.5时，其满足−2< x<2，不满足−2< x<1，
即由|x)<2不能推出x2+x−2<0;
∴“x2+x−2<0”不是“|x)<2”的必要条件，
∴“x2+x−2<0”是“|x)<2”的充分不必要条件.
故选：A．
5．（2026·黑龙江大庆·二检）“x>y>0”是“2x>2y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性结合充分、必要条件的概念进行判断.
【详解】因为函数f(t)=2t在R上单调递增，所以2x>2y ⇔x>y，
所以“x>y>0”是“2x>2y”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2026·辽宁大连·二模）“a>❑√a”是“a>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解.
【详解】由a>❑√a，得a−❑√a=❑√a(❑√a−1)>0，则❑√a>1，所以a>1，即由a>❑√a可以推出a>1，
由a>1，得a−❑√a=❑√a(❑√a−1)>0，即a>❑√a，所以由a>1可以推出a>❑√a，
所以“a>❑√a”是“a>1”的充要条件.
故选：C.
7．（2026·辽宁省名校协作体·二模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“
sinα+sinβ=0”是“β=kπ+(−1) k+1α (k∈Z)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】验证必要性：若β=kπ+(−1)k+1α(k∈Z)，代入sinβ，利用三角函数诱导公式化
简，结合k的奇偶性判断.
验证充分性：若sinα+sinβ=0，利用三角函数的诱导公式，推导β与α的关系.
【详解】必要性证明：
已知β=kπ+(−1)k+1α(k∈Z)，
若k为偶数，设k=2n(n∈Z)，则β=2nπ− α，sinβ=sin(− α)=−sin α，
故sinα+sinβ=0；
若k为奇数，设k=2n+1(n∈Z)，则β=(2n+1)π+α，sinβ=sin(π+α)=−sin α，
故sinα+sinβ=0，因此右边可以推出左边，必要性成立.
充分性证明：
由sinα+sinβ=0得sinβ=−sin α=sin(− α)，
根据sinx=siny的通解：x=kπ+(−1)ky(k∈Z)，代入y=− α得：β=kπ+(−1)k(− α)=kπ+(−1)k+1α(k∈Z)，
因此充分性也成立，
综上，“sinα+sinβ=0”是“β=kπ+(−1) k+1α(k∈Z)”的充分必要条件.
故选：C．
8．（2026·哈尔滨三中·二模）（多选）若a,b∈R，则a>b成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．a>|b) B．a2>b2 C．log a>log b D．2a>2b
2 2
【答案】AC
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论
【详解】A选项，若a>|b)，则a>|b)≥0，
若b≥0，则a>b≥0，若b<0，则a>− b>b，所以a>b，充分性成立，
若a>b，不妨设a=−2, b=−3，但不满足a>|b)，必要性不成立，A正确；
B选项，若a2>b2，不妨设a=−3, b=−2，此时a<b，充分性不成立，B错误；
C选项，若log a>log b，则a>b>0，充分性成立，
2 2
当0≥a>b时，log a,log b无意义，必要性不成立，C正确；
2 2
D选项，若2a>2b，则a>b，当a>b时，2a>2b，
故2a>2b为a>b成立的充分必要条件，D错误.
故选：AC．
考点4 不等式
1．（2026·内蒙古包头·二模）已知lna>lnb>0，c>0，则（ ）
b+c b
A．2a<2b B． <
a+c a
a+b
C． <❑√ab D．ab+1>a+b
2
【答案】D
【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD.
【详解】由lna>lnb>0可得a>b>1，
对于A，由于a>b>1，函数y=2x为单调递增函数，故 2a>2b，故A错误，
b+c b c(a−b)
对于B， − = ，由于a>b>1， c>0，故c(a−b)>0, a(a+c)>0，
a+c a a(a+c)
c(a−b) b+c b
故 >0，则 > ，故B错误，
a(a+c) a+c aa+b
对于C，由于a>b>1，故 >❑√ab，故C错误，
2
对于D， ab+1− (a+b)=(a−1)(b−1)，由于a>b>1，得(a−1)(b−1)>0，故ab+1>a+b.
故选：D．
(2− x) 2
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式 ≥1的解集是（ ）
x
A．(−∞,1 )∪[4,+∞) B．[1,4)
C．[1,2)∪(2,4) D．(0,1)∪[4,+∞)
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
(2− x) 2 x2 −4x+4− x x2 −5x+4 (x−1)(x−4)
【详解】 −1= = = ≥0，
x x x x
{x(x−1)(x−4)≥0)
故 ，解得x≥4或0<x≤1，
x≠0
故该不等式的解集为(0,1)∪[4,+∞).
故选：D．
3．（2026·黑龙江大庆·二检）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b,c<d，则a−c>b−d
C．若a>b>0，则√ 3a>√ 3 b
1 1
D．若a>b，则 <
a2 b2
【答案】BC
【分析】对A，取c=0可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取a=1,b=−3可判断.
【详解】对A，当c=0时，ac2>bc2不成立，故A错误；
对B，若c<d，则−c>− d，由不等式的性质a−c>b−d，故B正确；
对C，若a>b>0，则√ 3a>√ 3 b，C正确；
1 1 1 1 1
对D，若a>b，不妨取a=1,b=−3，则 =1, = , > ，D错误.
a2 b2 9 a2 b2
故选：BC.
x+3
4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知f(x)= ，则（ ）
x+2
A．f(x)>0的解集为{x|x<−3或 x>−2))
B．(x+2) 2f(x)<2的解集为{x|−4< x<−1))C．当x>−2时，g(x)=f(x)+x的最小值为1
3
D． ∀x>0，f(x)> 恒成立
2
【答案】AC
【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正
误.
x+3
【详解】对于A：f(x)= >0等价于(x+3)(x+2)>0，解得x<−3或x>−2，故A正确，
x+2
对于B：(x+2)2f(x)<2等价于
{(x+3)(x+2)<2
)，即
{x2+5x+4<0)
，
x+2≠0 x+2≠0
整理得
{(x+1)(x+4)<0
)，解得−4< x<−1，且x≠−2，故B错误；
x+2≠0
x+2+1 1 √1
对于C：当x>−2时，g(x)=f(x)+x= +x= +(x+2)−1≥2 ❑ ×(x+2)−1=1，
x+2 x+2 x+2
当且仅当x=−1时取等号，故C正确；
x+3 3 −x 3
对于D： ∀x>0， − = <0，即f(x)< ，故D错误.
x+2 2 2(x+2) 2
故选：AC．
