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专题 01 集合、常用逻辑用语与不等式
5大考点概览
考点01集合的运算
考点02集合新定义
考点03常用逻辑用语
考点04一元二次不等式与分式不等式
考点05基本不等式
考点1 集合的运算
1．（2026·吉林长春·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接根据交集的定义及利用数轴求两集合的交集可得.
【详解】因为集合 ， ，
如图：
所以 .
故选：B.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合 是绝对值小于 的整数 ， ，则 的元素
个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 是绝对值小于 的整数，即满足 （ 为整数），可得 ，
已知 ，根据并集定义，得：因此， 共 个元素.
3．（2026·辽宁大连·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由集合的并集运算求解．
【详解】 ，则 ，
故选：A
4．（2026·三省三校·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由全集 和集合 可求出 ，再由交集运算性质即可求解.
【详解】由题意得， ，又 则 ，
因为 ，所以 ，
故选：A.
6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据集合的描述法化简集合 ，再结合集合的交集运算即可.
【详解】因为集合 ，所以由 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
7．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知集合 ， ,则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 的补集，再求两集合的交集.
【详解】由 可得 ，
则 .
故选：B.
8．（2026·吉林白山·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合 具体化，再根据集合的运算法则可得答案.
【详解】要使 有意义，只需 ，
即 ，所以 ；
又因为 ，
所以 .
故选：C
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，解得 ，所以
又 ，所以
考点2 集合的新定义
1．（2026·辽宁大连·一模）（多选）已知集合 ，其中 .定
义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使 ，称集合 具有性质 ，
则（ ）
A．集合 具有性质
B．当 时，具有性质 的集合 有无数个
C．若集合 具有性质 ，且 ，则
D．已知集合 具有性质 ，且 ，若 ，则有穷数列 的通项公式为
【答案】ABD
【分析】利用列举法来配对两两数量积为 ，即可判断A，利用 总满足性质 ，即可判断B，
利用分类列举，并通过数量积为 ，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配
对数量积为 ，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，故A正确；当 时，令 ， ，
则 ，
因为 ，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，
因为正数 有无数个，所以具有性质 的集合 有无数个，故B正确；
若集合 具有性质 ，
则取 ，则 只可能是
根据 ，依次解得： ，
因为 ，且要满足集合 中元素互异性，所以 ,
检验：当 时，
，
因为
，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，
当 时，
，
因为，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，故C错误；
由C选项可知： 满足，此时
假设 满足题意，则取 ，要使其存在正交向量 ，
即 ，因为 ，所以 必须为负数，即 ，此时 ，
由 ，逐一检验可知，只有 时， ，符合 ，
以此类推可得：有穷数列 的通项公式为 ，
下证明充分性：
对于任意 且
不妨假设 ，总存在 满足 ，
有穷数列 的通项公式为 ,故D正确；
故选：ABD
考点3 常用逻辑用语
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若l，m是两条不同的直线， 平行于平面 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案.
【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足： ， ，此时 不垂直平面 ，故不满足充分性.
必要性： 可推出 ，满足必要性.
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
2．（2026·三省三校·一模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
则命题“ ”的否定为“ ”，
故选：A.
考点4 一元二次不等式与分式不等式
1．（2026黑龙江哈九中·一模）若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】D
【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】关于 的不等式 的解集为 ，
则 是方程 的两个根，
根据韦达定理可知 ，解得 ，
故选：D.
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可.
【详解】因为集合 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
3．（2026·黑龙江·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求得集合 ，进而求得 .
【详解】 ，解得 ，
所以 ，所以 .
4．（2026·辽宁辽阳·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果.
【详解】由 ，
又 ，则 .
故选：D
5．（2026·辽宁沈阳·一模）不等式 的解集（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简不等式为 ，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，
即 ，即 ，且 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B.
6．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）若集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式得到集合 ，集合 ，所以由交集的运算得到
.
【详解】由 得到 ,则 ，由 ，则
所以集合 ，集合 ，所以
故选B
考点5 基本不等式
1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以
及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ， ，结合基本不等式可得 ，化简 可得
，转化为求关于 的二次函数在区间 上的最小值即可.
【详解】不妨设 ， ，则 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以
，（ ）
所以当 时， 取得最小值 ，
故选：D．
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得 ，再根据对数的运算即可求得最小值.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，当且仅当 时取
等号，
.
故选：D.3．（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为3
B．若 ，则 的最小值为
C．函数 的最小值为
D．若 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式求解判断选项ABD，利用“1”的代换技巧求解最值判断C.
【详解】对于A，∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，取得最大值 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ， 时， 取到最小值为 ，故B正确；
对于C，
.
当且仅当 时，取等号，故C正确；
对于D，当 ，且 时， ，∴ ，
当且仅当 ， 取最大值 ，故D正确.
故选：BCD
