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2025 年高考押题预测卷
高三数学（上海卷 03）·参考答案
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
1-6题每个空题填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 2. / 3. 4. 5. 6. 5
7. 8. 9. 32 10. / 11. 12． /
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13 14 15 16
B C B C
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在试卷得相应编号规定区域内写出必
要得步骤.
17.（14分）
【解析】（1）函数 定义域为R，若 是奇函数，则 ，解得 ，（3
分）
此时 ， ，符合题意，
故 .（7分）
（2）当 时， ，
由 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，（12分）
又不等式 恒成立，得 ，则实数 的取值范围为 .（14分）
18.（14分）
【解析】（1） ，
，且 ，
又
面PBD 又 是平行四边形 面PBD.（7分）
（2） 设 与BD交点为O，
则 为 中点， ，
面 面 ，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，（11分）
设二面角 的平面角为
二面角 的余弦值为 ．（14分）
法二：即求 直接找角：作 面PBD，面 ，作 ，连 即为所求角（11分）
二面角 的余弦值为 ．（14分）
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角 的平面角为
二面角 的余弦值为 ．（14分）
19.（14分）
【解析】（1）完善 列联表，如下：
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人
合计
数 数
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人
5 15 20
数
合计 19 21 40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为 .（4分）
（2）由（1）得 ，（6分）
所以有 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.（8分）
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，，
，
所以 的分布为：
0 1 2 3
( )
91 35 5 1
228 76 38 114
（12分）
期望 .（14分）
20（18分）
【解析】（1）对于双曲线 ，其标准方程为 ，其中 .
双曲线的焦距 ，则 .
根据双曲线的性质 ，已知 ， ，代入可得 ，即 ，解得 ，则
.
对于双曲线 ，其渐近线方程为 .
已知 ， ，则双曲线 的渐近线方程为 .
设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
因为倾斜角 ，所以 .
设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
因为倾斜角 ，所以 .
两条直线夹角的范围是 .两条渐近线倾斜角相差 ，所以两条渐近线的夹角为 .（4分）
（2）对于双曲线 ，则 .
已知 ，则双曲线方程为 .
分情况讨论 为等腰三角形时 点的坐标：
情况一：当 时，
已知 ， ，则 .
设 （ ， ），因为 ，根据两点间距离公式可得 .
又因为点 在双曲线上，所以 ，联立方程组 ，解方程组：
由 可得 ，即 .
将 代入 中得： ，
解得 或 （舍去）.
当 时， ， （ ），所以 . （6分）
情况二：当 时
，则 ，即 ， .
联立方程组 ，将 代入 中得：，解得 或 （舍去）.
当 时， ， （不满足 在第一象限，舍去）. （8分）
情况三：当 时
，两边同时平方可得 ，即 ，展开得
，移项可得 ，解得 （不满足 在第一象限，舍去）.
综上所得，点 的坐标为 .（10分）
（3）设 ，直线 的方程为 （ 为参数），其中 .
直线 的方程为 （ 为参数），其中 .
将直线 的方程代入双曲线方程
把 代入双曲线方程，可得：
展开并整理得：
设 、 对应的参数分别为 、 ，根据韦达定理， .
由直线方程中参数的几何意义可知 .
因为 ，则 ， ，代入上式可得： .同理将直线 的方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得 . （15分）
因为 ，所以 .
由于 ，则 ，即 .
又因为 ，而 （因为 ）.
由 可得 ，即 .
因为 ，所以 .（18分）
21（18分）
【解析】（1）由题意直线 是函数 和函数 在 上的一条分界线，
则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，
综上所述， ，
所以满足题意的直线可以是 ；（答案不唯一，满足 的均可）（4分）
（2）由题意，设 是函数 和函数 在 上过坐标原点的分界线，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，（7分）
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
综上所述 ，
所以函数 和函数 在 上过坐标原点的分界线有且只有一条；（10分）
（3）若存在，则 恒成立，
令 ，则 ，所以 ，
因此， 恒成立，即 恒成立，
由 得， ，
现在只要判断 是否恒成立，（14分）
设 ，则 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ，
所以 ，即 恒成立
所以函数 和函数 在 上存在分界线，其方程为 ．（18分）
