文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
数学（上海卷03）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（（1-6 题，每小题4 分，7-12 题，每小题5 分，共54 分））
1．已知全集
，集合
，则
.
1.【答案】
【解析】因为
，
，
所以
.故答案为：
.
2．已知向量
，
，若
与
垂直，则
的值为 ．
2.【答案】
/
【解析】因向量
，
，则
，
则
，解得：
.故答案为：
.
3．直线
被圆
截得的弦长为 ．
3.【答案】
【解析】圆
的圆心为
，半径
，
则圆心
到直线
的距离
，
所以所求弦长为
. 故答案为：
.
4．若
，则
的值为 .
4.【答案】
【解析】
.
故答案为：
5．复数
在复平面内对应的点
的坐标为 ．
5.【答案】
【解析】依题意，
，所以点
的坐标为
.
故答案为：
6．记
为正项等比数列
的公比，若
，则
.
6.【答案】5
【解析】由题意，
，则
，因为
，所以
，
由
可知
，则有
，即
，解得
或
.
因为数列
是正项等比数列，则
，所以
. 故答案为：5.
7．在
的展开式中，
项的系数为60，则
的值为 .
7.【答案】
【解析】展开式的通项公式
，
令
，可得
，则
项的系数为
，可得
.故答案为：
8．已知双曲线
（
，
）的上、下焦点分别为
，
，过
的直线l 与双曲线C 的
上、下两支分别交于点P，Q.若
，
，则双曲线C 的离心率为 .
8.【答案】
【解析】因为
，
，
所以设
所以
，
则
，所以
，
所以
，又因为
，所以
，
则双曲线C 的离心率为
.
故答案为：
.
9．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组
数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 .
9.【答案】32
【解析】设丢失的数据为
，
则平均数为
，众数是8，
若
，则中位数为8，此时
，解得
舍去）；
若
，则中位数为
，此时
，解得
；
若
，则中位数为10，此时
，解得
；
所有可能的值为9，23，其和为32. 故答案为：32.
10．如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为
，底面边长为
，若将此棱锥放在一球内可任意转动，
则该球表面积的最小值为 .
10. 【答案】
/
【解析】如图，设该香包挂件的直观图为正四棱锥
，其底面的中
心为
，则
为正四棱锥
的高，所以
，由题可知在正
方形
中，
，所以
，所以
.由题可知正四棱锥
的外接球即为所
求，易知正四棱锥
外接球的球心在直线
上，设其外接球的直径为
，因为点
在正
四棱锥外接球的球面上，所以
，
又
，所以由几何性质可得
，则
，
所以
，故外接球的表面积为
，即所求球的表面积的最小值为
.
故答案为：
.
11．棱长为1 的正方体
中，点
在棱
上运动，点
在侧面
上运动，满足
平面
，则线段
的最小值为 .
11.【答案】
【解析】以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
，设
，
，
所以
，
，
因为
平面
，
所以
，
故
，
，故
，
其中
，
故
，
故当
时，
，此时
满足要求，
所以线段PQ 的最小值为
.
故答案为：
12．项数为
的数列
满足
，当且仅当
时
（其中
），称
为“好数列”．在项数为6 且
的所有
中，随机选取一个数列，该数列
是“好数列”的概率为 ．
12. 【答案】
/
【解析】由题意，因为项数为6 且
，
所以每一项
都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列
个数为
个，
由题意，若
为“好数列”，则意味着若
，其前一项与后一项相等，
①则若
中没有0，则数列为
，不符合题意，
②若
中有1 个0，不论0 在那个位置，都会出现3 个1 相邻，不符合题意，
③若
中有2 个0，则
，
，符合“好数列”定义；
④若
中有3 个及以上0，若0 相邻，根据定义，数列只能为
，
若0 不相邻，只能1 和0 间隔出现，会出现两个0 中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4 个，
所以数列是“好数列”的概率为
.
故答案为：
二、选择题（13-14 题，每小题4 分，15-16 题，每小题5 分，共18 分）
13．“
”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
13.【答案】B
【解析】同向不等式可以相加，所以“
且
”
“
”，必要性满足；
若
时，取
，此时
且
不成立，即充分性不成立；
则“
”是“
且
”的必要不充分条件.
故选：B
14．下列函数在区间
上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14.【答案】C
【解析】对于A 选项，函数
在区间
上为减函数；
对于B 选项，函数
在区间
上为减函数；
对于C 选项，函数
在区间
上为增函数；
对于D 选项，函数
在区间
上为减函数.
故选：C.
15．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m 处的直径）越大，树就越高.在研究树高y 与胸
径x 之间的关系时，某同学收集了某种树的5 组观测数据（如下表）：假设树高y 与胸径x 满足的经验回
归方程为
，则（ ）
胸径x/cm
8
9
10
11
12
树高y/m
8.2
10
11
12
13.8
A．当胸径
时，树高y 的预测值为14 B．
C．表中的树高观测数据y 的40%分位数为10
D．当胸径
时，树高y 的离差为0.32
15.【答案】B
【解析】由题意可知，
，
，
经验回归方程
过点
，
，解
，故B 正确；
对于A，由B 可知
，当胸径
时，树高y 的预测值为
，A 错误；
对于C，
，
表中的树高观测数据y 的40%分位数为
，C 错误；
对于D，由B 可知
，当胸径
时，树高y 的预测值为
，
树高y 离差为
，D 错误.
故选：B.
16．在平面直角坐标系中，定义
为两点
，
的“切比雪夫距
离”，又设点
与直线上任意一点
，称
的最小值为点
与直线间的“切比雪夫距离”，记作
，给定下列两个命题：
①已知点
，直线
，则
；
②定点
、
，动点
满足
则点
的轨迹与直线
（
为常数）有且仅有2 个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立
B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立
D．命题①②都不成立
16.【答案】C
【解析】对于①，设点Q 是直线
上一点，且
，可得
，
由
，解得
，即有
，
当
时，取得最小值
；
由
，解得
或
，即有
，
的范围是
，无最值，
综上可得，P，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为
，故①正确；
对于②，定点
、
，动点
，
满足
，
则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设
，
.
当
时，有
，得：
；
当
时，有
，此时无解；
当
时，有
，
；
则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图像可知，点
的轨迹与直线
（
为常数）有且仅有2 个公共点，因此②正确，
故选：C.
三、解答题（本大题共有5 题，满分78 分）
17．已知函数
，其中
．
(1)是否存在实数
，使函数
是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当
时，若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
17.【答案】(1)
，证明见解析；(2)
【解析】（1）函数
定义域为R，若
是奇函数，则
，解得
，
此时
，
，符合题意，
故
.
（2）当
时，
，
由
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，又不等式
恒成立，得
，
则实数
的取值范围为
.
18．如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
18. 【答案】(1)证明见解析；(2)
．
【解析】（1）
，
，且
，
又
面PBD 又
是平行四边形
面PBD
（2）
设
与BD 交点为O，
则
为
中点，
，
面
面
，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，
设二面角
的平面角为
二面角
的余弦值为
．
法二：即求
直接找角：作
面PBD，
面
，作
，连
即为所求角
二面角
的余弦值为
．
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角
的平面角为
二面角
的余弦值为
．
19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采
用随机抽样的方法抽取了40 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数
据如下：
数学成绩总评优秀人
数
数学成绩总评非优秀人
数
合计
每天都整理数学错题人数
14
不是每天都整理数学错题人
数
15
20
合计
40
(1)完成上述样本数据的
列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有
的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：
；
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3 名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀
的人数为
，求
的分布和期望.
19.【答案】(1)列联表见解析，0.35；(2)有；(3)分布见解析，期望为
.
【解析】（1）完善
列联表，如下：
数学成绩总评优秀人
数
数学成绩总评非优秀人
数
合计
每天都整理数学错题人数
14
6
20
不是每天都整理数学错题人
数
5
15
20
合计
19
21
40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为
.
（2）由（1）得
，
所以有
的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20 人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以
的分布为：
(
0 1 2 3
91
228 35
76 5
38 1
114 )
期望
.
20．设双曲线
的方程为
(常数
.
(1)若双曲线
的焦距为4，求
两条渐近线的夹角；
(2)设
是第一象限内双曲线上一点，
是双曲线右顶点，当
为等腰三角形时，
求点
的坐标；
(3)设
是直线
上一点.已知过点
的直线
、
的斜率分别为
，
分别与
交于
和
，当
时，求
的值.
20.【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】（1）对于双曲线
，其标准方程为
，其中
.
双曲线的焦距
，则
.
根据双曲线的性质
，已知
，
，代入可得
，即
，解得
，则
.
对于双曲线
，其渐近线方程为
.
已知
，
，则双曲线
的渐近线方程为
.
设渐近线
的倾斜角为
，则
，
因为倾斜角
，所以
.
设渐近线
的倾斜角为
，则
，
因为倾斜角
，所以
.
两条直线夹角的范围是
.
两条渐近线倾斜角相差
，所以两条渐近线的夹角为
.
（2）对于双曲线
，则
.
已知
，则双曲线方程为
.
分情况讨论
为等腰三角形时
点的坐标：
情况一：当
时，
已知
，
，则
.
设
（
，
），因为
，根据两点间距离公式可得
.
又因为点
在双曲线上，所以
，联立方程组
，解方程组：
由
可得
，即
.
将
代入
中得：
，
解得
或
（舍去）.
当
时，
，
（
），所以
.
情况二：当
时
，则
，即
，
.
联立方程组
，将
代入
中得：
，解得
或
（舍去）.
当
时，
，
（不满足
在第一象限，舍去）.
情况三：当
时
，两边同时平方可得
，即
，展开得
，移项可得
，解得
（不满足
在第一象限，舍去）.
综上所得，点
的坐标为
.
（3）设
，直线
的方程为
（
为参数），其中
.
直线
的方程为
（
为参数），其中
.
将直线
的方程代入双曲线方程
把
代入双曲线方程，可得：
展开并整理得：
设
、
对应的参数分别为
、
，根据韦达定理，
.
由直线方程中参数的几何意义可知
.
因为
，则
，
，代入上式可得：
.
同理将直线
的方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得
.
因为
，所以
.
由于
，则
，即
.
又因为
，而
（因为
）.
由
可得
，即
.
因为
，所以
.
21．若存在实数常数k，m，对任意
，不等式
恒成立，则称直线
是函数
和函数
在
上的分界线．
(1)请写出函数
和函数
在
上的一条斜率为1 的分界线；（不必证明）
(2)求证：函数
和函数
在
上过坐标原点的分界线有且只有一条；
(3)试探究函数
（e 为自然对数的底数）和函数
在
上是否存在分界线．若存在，
求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
21．【答案】(1)
；（答案不唯一，满足
的均可）；(2)证明见解析；
(3)存在，
【解析】（1）由题意直线
是函数
和函数
在
上的一条分界线，
则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因为
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
综上所述，
，
所以满足题意的直线可以是
；（答案不唯一，满足
的均可）
（2）由题意，设
是函数
和函数
在
上过坐标原点的分界线，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
综上所述
，
所以函数
和函数
在
上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）若存在，则
恒成立，
令
，则
，所以
，
因此，
恒成立，即
恒成立，
由
得，
，
现在只要判断
是否恒成立，
设
，则
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
所以
，即
恒成立
所以函数
和函数
在
上存在分界线，
其方程为
．
