数学（上海卷03）（参考答案）_高考一二三轮复习_数学_三轮冲刺_三模攻略·品牌力荐2025年高考数学三模考前高效复习_押题预测卷_数学（上海卷03）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

2025 年高考押题预测卷
高三数学（上海卷03）·参考答案
一、填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
1-6 题每个空题填对得4 分，7-12 题每个空格填对得5 分，否则一律得零分.
1. 
    2. 
/ 
     3. 
      4. 
          5. 
      6. 5 
7. 
      8. 
           9. 32         10. 
/
  11. 
        12．
/
 
二、选择题（本大题满分18 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14 题每题选对得4 分，15-16 题每题选对得5 分，否则一律得零分.
13
14
15
16
B
C
B
C
三、解答题（本大题满分78 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在试卷得相应编号规定区域内写出必
要得步骤.
17.（14 分） 
【解析】（1）函数
定义域为R，若
是奇函数，则
，解得
，（3
分）
此时
，
，符合题意，
故
.（7 分）
（2）当
时，
，
由
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
，（12 分）
又不等式
恒成立，得
，
则实数
的取值范围为
.（14 分）
18.（14 分）
【解析】（1）
，
，且
，
又
面PBD   又
是平行四边形
  
面PBD.（7 分）
（2）
   设
与BD 交点为O，
则
为
中点，
，
面
面
，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，（11 分）
设二面角
的平面角为
二面角
的余弦值为
．（14 分）
法二：即求
直接找角：作
面PBD，
面
，作
，连
即为所求角（11 分）
二面角
的余弦值为
．（14 分）
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角
的平面角为
二面角
的余弦值为
．（14 分）
19.（14 分）
【解析】（1）完善
列联表，如下：
数学成绩总评优秀人
数
数学成绩总评非优秀人
数
合计
每天都整理数学错题人数
14
6
20
不是每天都整理数学错题人
数
5
15
20
合计
19
21
40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为
.（4 分）
（2）由（1）得
，（6 分）
所以有
的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.（8 分）
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20 人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以
的分布为：
(
     0                 1                2                 3  
        91
228           35
76              5
38              1
114    )
（12 分）
期望
.（14 分）
20（18 分）
【解析】（1）对于双曲线
，其标准方程为
，其中
. 
双曲线的焦距
，则
. 
根据双曲线的性质
，已知
，
，代入可得
，即
，解得
，则
. 
对于双曲线
，其渐近线方程为
. 
已知
，
，则双曲线
的渐近线方程为
. 
设渐近线
的倾斜角为
，则
，
因为倾斜角
，所以
. 
设渐近线
的倾斜角为
，则
，
因为倾斜角
，所以
. 
两条直线夹角的范围是
. 
两条渐近线倾斜角相差
，所以两条渐近线的夹角为
.（4 分）
（2）对于双曲线
，则
.
已知
，则双曲线方程为
. 
分情况讨论
为等腰三角形时
点的坐标：
情况一：当
时，
已知
，
，则
.
设
（
，
），因为
，根据两点间距离公式可得
.
又因为点
在双曲线上，所以
，联立方程组
，解方程组：
由
可得
，即
.
将
代入
中得：
，
解得
或
（舍去）.
当
时，
，
（
），所以
. （6 分）
情况二：当
时
，则
，即
，
.
联立方程组
，将
代入
中得：
，解得
或
（舍去）.
当
时，
，
（不满足
在第一象限，舍去）. （8 分）
情况三：当
时
，两边同时平方可得
，即
，展开得
，移项可得
，解得
（不满足
在第一象限，舍去）. 
综上所得，点
的坐标为
.（10 分）
（3）设
，直线
的方程为
（
为参数），其中
.
直线
的方程为
（
为参数），其中
. 
将直线
的方程代入双曲线方程
把
代入双曲线方程，可得：
展开并整理得：
设
、
对应的参数分别为
、
，根据韦达定理，
.
由直线方程中参数的几何意义可知
.
因为
，则
，
，代入上式可得：
. 
同理将直线
的方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得
. （15 分）
因为
，所以
.
由于
，则
，即
.
又因为
，而
（因为
）.
由
可得
，即
.
因为
，所以
.（18 分）
21（18 分）
【解析】（1）由题意直线
是函数
和函数
在
上的一条分界线，
则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因为
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
综上所述，
，
所以满足题意的直线可以是
；（答案不唯一，满足
的均可）（4 分）
（2）由题意，设
是函数
和函数
在
上过坐标原点的分界线，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，（7 分）
因为
，所以
，
因为
，所以
，
综上所述
，
所以函数
和函数
在
上过坐标原点的分界线有且只有一条；（10 分）
（3）若存在，则
恒成立，
令
，则
，所以
，
因此，
恒成立，即
恒成立，
由
得，
，
现在只要判断
是否恒成立，（14 分）
设
，则
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
所以
，即
恒成立
所以函数
和函数
在
上存在分界线，
其方程为
．（18 分）