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2023 年高考押题预测卷02【上海卷】
数学·参考答案
1．
/
2．
3．
4．
5．
/
6．
7．
8．
/
9．112
10．
11．
12．
13．C
14．C
15．C
16．B
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用
与
关系即可求出
的通项公式；
1
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（2）根据对数运算即可求出结果.
【详解】（1）
，
，
两式相减可得
，
等比数列
的各项均为正数，
；（4 分）
设公比为
，则
，
解得
，即
，
当
时，
，
解得
，
.（8 分）
（2）若存在正整数
，使得
，
即
，
，
解得
，
存在
，使得
.（14 分）
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定
，根据中点得到
，
得到
平面
，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面
的一个法向量为
，
是
2
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平面
的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）由
是底面的直径，点
是底面圆周上的点，得
.
又因
，
分别为
，
的中点，所以
，故
.
因
是圆锥的轴，所以
底面
，又
平面
，故
.
于是
与平面
内的两条相交直线
，
都垂直，从而
平面
；
而
平面
，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面
平面
.（6 分）
（2）在圆锥底面，过圆心
作直径
的垂线，交圆周于点
，则直线
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，直线
，
，
分别为
，
，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则
，
，
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，得
. （10 分）
又
是平面
的一个法向量，
故
.
3
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平面
与平面
所成的二面角是锐角，故二面角
的余弦值为
.（14 分）
19．(1)分布列见解析， 1
(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【分析】（1）由题可知
可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算
，比较其与
大小即可判断长时间使用
手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【详解】（1）第一次训练时所取的球是从6 个球（3 新，3 旧）中不放回取出2 个球，所以
可取的值为
0，1，2.
.
则分布列如下
0
1
2
则期望为
.（6 分）
（2）由题目条件可得列联表如下：
习惯固定在左侧接听电
话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
14
28
42
脑瘤部位在右侧的病人
19
27
46
总计
33
55
88
则
=
，
故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系. （14 分）
20．(1)
4
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(2)
(3)可能是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标以及
，可得
的值，从而得到半椭圆方程；
（2）设
，分为
三种情况分别表示出
的周长，得到关
于
的函数，从而得到周长的取值范围；
（3）分情况讨论可知
不可能是直角；设
，则
，可得
，从而
，①若
在半椭圆
上，得
，令
，结合零点存在定理求解；②若
在圆弧
上，得
，令
，利用导数求解，综合可得结论.
【详解】（1）由
，令
，可得
以及
，
再由椭圆的方程及题意可得
，
由
，可得
，
由
可得
，则
，所以
，
所以“曲圆”
中的半椭圆的方程为
.（4 分）
（2）由（1）知，“曲圆”的方程为：
，
，
可得
，
为椭圆的左焦点，圆的半径
，
设
的周长为
，
5
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当
时，
在圆上，
在椭圆上，
，
；（6 分）
当
时，P、Q 都在椭圆上，
，
，
当
时，
在圆上，
在椭圆上，
，
；
综上，
的周长的取值范围为：
．（9 分）
（3）若
都在半椭圆上，则
都在
轴右侧，也在
的下方，
，
当直线
是
时，显然
不可能是直角三角形，
当直线
不是
时，设直线
与“曲圆”相交于
，
若
中有一点在圆弧上，另一点在半椭圆上（圆内），
过圆心
，
不可能是直角；
设
，则
，
则
，
，
即
，
，从而
，
①若
在半椭圆
上，
则
，即
，
6
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令
，
，且函数
在
上的图象连续不断，
函数
在
上至少有一个零点
，此时
.（12 分）
②若
在圆弧
上，
直线
的斜率
时，
，则
，
于是
，即
，
令
，
在
上严格递增，
在
上无解.
综上，当
都在半椭圆上时，
可能是以
或
为直角的直角三角形. （16 分）
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假
设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问
题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程
组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
21．(1)
(2)1
(3)
7
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【分析】（1）求出函数的导数，计算
，
的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论
的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于
的不等
式，解出即可求出答案；
（3）根据条件进行恒等转化，构造函数
，问题转化为
在
上恒成立，
利用不等式的性质求出范围即可.
【详解】（1）当
时，
，
∴
，
，
，
∴
在
处的切线方程为
.（3 分）
（2）函数
的定义域为
，
当
时，
.
令
，解得
或
.（5 分）
①当
，即
时，
在
上单调递增.
所以
在
上的最小值为
，符合题意；（7 分）
②当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上的最小值为
，不符合题意；
当
，即
，
在
上单调递增，
所以
在
上的最小值为
，不符合题意；
综上，实数a 的取值范围是
.
故
的最小值为1. （10 分）
（3）设
，则
，
8
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因为
，
所以对任意
，
，
，且
恒成立，
等价于
在
上单调递增.而
，（14 分）
当
时，
，此时
在
单调递增；
当
时，只需
在
恒成立，
因为
，只要
，则需要
，
对于函数
，过定点
，对称轴
只需
，即
，
综上可得：
.（18 分）
【点睛】（1）经过函数上的
一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数
，求出
在此点出的切线斜率
，利用直线的点斜式方程
，求出切线方程即可;
（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的
正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件
得出结果；
（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造
，研究
函数单调性，转化为导数
在
的恒成立问题.
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