文档内容
数论-整除-整除的判定-2 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
整除的判定 C 1、理解并掌握整除的一些基本性 少考
质。
2、熟练运用整除的基本性质解决基
本的整除问题。
3、能够结合数论的相关知识综合应
用。
知识提要
整除的判定
整除的判定
1、末位判定法
一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2、数字求和法
一个数个位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；
3、奇偶位求差法
如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数
能被11整除；
简称：奇位和与偶位和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
4、截断作和
如果一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能
被99整除，那么这个数就能被99整除。
5、截断作差
对于位数较小数的数：如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整 除，
那么这个数能被7、11或13整除；
对于位数较大
数的数：如果一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或
13整 除，那么这个数能被7、11或13整除。
整除的性质
性质1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。
性质2：如果 b 与 c 的积能整除 a ，那么b与c都能整除 a 。
性质3：如果 b 、 c 都能整除 a ，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c
的积能整除 a 。
性质4：如果 c 能整除 b ， b 能整除 a ，那么 c 能整除 a 。
精选例题
整除的判定
1. 在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、8、9 整除．那么这三个数字的和是
．
【答案】 17 或 8
【分析】 这个数能被 7,8,9 整除，相当于能被 [7,8,9]=7×8×9=504 整除，
523999÷504=1039⋯⋯343，所以所得六位数是 523999-343=523656，或
523656-504=523152，因此三个数字的和是 17 或 8．
2. 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位数
的前两位的最大值是 ．
【答案】 75
【分析】 5 个数字分别为 a、b、c、d、e，
a×b×c×d×e=25(a+b+c+d+e),
a、b、c、d、e 中有两个 5，设 d=e=5，则
a×b×c=a+b+c+10.（1）如果 a=9，则 9bc=b+c+19，即 b+c+19 是 9 的倍数，b+c 可以为 8 或 17，
若 b+c=8，则 bc=3，若 b+c=17，则 bc=4，这两种情况下都没有满足条件的整数 b、
c；
（2）如果 a=8，则 8bc=b+c+18，即 b+c+18 是 8 的倍数，b+c 可以为 6 或 14，
若 b+c=6，则 bc=3，若 b+c=14，则 bc=4，这两种情况下也没有满足条件的整数 b、
c；
（3）如果 a=7，则 7bc=b+c+17，即 b+c+17 是 7 的倍数，b+c 可以为4或11或
18，若 b+c=4，则 bc=3，若 b+c=11，则 bc=4，若 b+c=18，则 bc=5，只有第一
种情况下有满足条件的整数 b、c，此时 b=1，c=3，组成五位数的 5 个数字分别为 7，5，
5，3，1，所以这个五位数的前两位的最大值是 75．
3. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有
个．
【答案】 18
【分析】 按照位数分类讨论，如下：
（1）一位数：0 个；
（2）两位数：11、22⋯⋯99；0 个；
（3）三位数：设这个三位数为 abc，有 a+b+c=13 和 a+c-b=11，则 a+c=12,b=1，
所以符合的有 913,814,715,616,517,418,319，共 7 个；
（4）四位数：设这个四位数为 abcd，
① a+b+c+d=13 和 (a+c)-(b+d)=11 有
a+c=12,b+d=1,
则 a=3 或 a=4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种．共 4 个；
② a+b+c+d=13 和 (b+d)-(a+c)=11，有
a+c=1,b+d=12,
则只能 a=1，c=0，b 和 d 有 7 种组合，
综上所述，这样的数有 7+4+7=18 个．
4. 若六位数 201ab7 能被 11 和 13 整除，则两位数 ab= ．
【答案】 48
【分析】 由 11 的整除特征可知：
(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0或11,
若
a+4-b=11,
a-b=7,
只有
8-1=9-2=7,
六位数 201817、201927 都不能被 13 整除．
若
a+4-b=0,
则a+4=b,
只有 0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9 等情况，构成的六位数
201047，201157，201267，201377，201487，201597 中只有 201487 能被 13 整除，
则 ab=48．
5. 把三位数 3ab 接连重复写下去，共写 1993 个 3ab，所得的数 3ab3ab⋯3ab 恰是
¿
91 的倍数，试求 ab= ．
【答案】 64
【分析】 因为 91=7×13，所以 ¿，由截断法，最后转化成 3ab 能被 7 和 13 都
整除，即能被 91 整除即满足题意，因为 91 的倍数中小于 1000 的只有 91×4=364 的百
位数字是 3，所以，ab=64．
6. 若六位数 a2016b 能被 12 整除，则这样的六位数有 个．
【答案】 9
【分析】
12=3×4.
先考虑能被 4 整除，则 b=0,4,8，再考虑能被三整除
① b=0 时，要使各位数字之和能被 3 整除 a=3,6,9 故有 3 种；
② b=4 时，要使各位数字之和能被 3 整除 a=2,5,8 故有 3 种；
③ b=8 时，要使各位数字之和能被 3 整除 a=1,4,7 故有 3 种；
综上符合题意的六位数有：320160，620160，920160，220164，520164，820164，
120168，420168，720168．共 9 个
7. 将从 1 开始到 25 的连续的自然数相乘，得到 1×2×3×⋯×25．记为 25!（读作 25
的阶乘）．用 3 除 25!，显然，25! 被 3 整除，得到一个商：再用 3 除这个商，⋯⋯，
这样一直用除下去，直到所得的商不能被 3 整除为止，那么，在这个过程中用 3 整除了
次．
【答案】 10
【分析】 求 1×2×3×⋯×25 中因数的个数，25÷3=8⋯⋯1，8÷3=2⋯⋯2，
整除了 8+2=10 次．
8. 对于自然数 N，如果在 1∼9 这九个自然数中至少有六个数是 N 的因数，则称 N 是一
个“六合数”，则在大于 2000 的自然数中，最小的“六合数”是 ．
【答案】 2016
【分析】 N 为奇数，则 2、4、6、8 不是 N 的因数，所以 N 为偶数．当 N 不为 3 的倍数，则 N 不为 6 的倍数，N 不为 9 的倍数，所以，必须满足其他条
件，是 8、7、5 的倍数，N>2000，最小是 2240．
当 N 为 3 的倍数．那么 N 为 6 的倍数．N>2000，当 N=2004 时，5 不能整除
2004，7 不能整除 2004，8 不能整除 2004，9 不能整除 2004，不满足题意；
当 N=2010 时，4 不能整除 2010，7 不能整除 2010，8 不能整除 2010，9 不能整除
2010，不满足题意；则 N 最小为 2016．
9. 在算式：2×▫▫▫=▫▫▫ 的六个方框中，分别填入 2，3，4，5，6，7 这六个数字，使算式
成立，并且算式的积能被 13 整除，那么这个乘积是 ．
【答案】 546
【分析】 先从个位数考虑，有 2×2=4、2×3=6、2×6=12、2×7=14 四种可能；
再考虑乘数的百位只能是 2 或 3，因此只有三种可能的填法：2×273=546，2×327=654，
2×267=534，其中只有 546 能被 13 整除，所以这个积是 546．
10. 一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是 ．
【答案】 36126 或 54189
【分析】 设这个五位数为 abcde，由题意 abcde=2007(a+b+c+d+e)，由于
9∣2007，可得 9∣abcde，则有 9∣(a+b+c+d+e)，所以 (2007×9)∣abcde
2007×9=18063，这个五位数是 18063 的倍数，只可能为：
18063,36126,54189,72252,90315．经检验，36126 和 54189 符合题意．
11. 若四位数 2AB7 能被 13 整除，则两位数 AB 的最大值是 ．
【答案】 97
【分析】
13∣2AB7⇒13∣AB0+2007,
2007÷13⋯⋯5,
所以
AB0÷13⋯⋯8,
13∣AB5,
利用数字谜或倒除法，可确定 AB=97．数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因
数的个位为 5，因为构造最大值，所以十位为最大为 7，积为 975．12. 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行．从左向右 1 至 11 报数，报
数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数
为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数，报到 11
的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是
．
【答案】 1331
【分析】 第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是 11 的倍数；第二次报数后留
下的同学，他们最初编号都是 112=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都
是 113=1331 的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是
1331．
13. 将最小的 10 个合数填到图中所示表格的 10 个空格中，要求满足以下条件：
（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除；
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大．
那么，最后一行中 5 个数的和最小是 ．
【答案】 66
【分析】 最小的 10 个合数分别是 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．这
10 个合数当中 10 和 15 一定是在 5 的下面，其中 15 在最后一行；4、8、14、16 一定
是在 2 和 4 下面，其中 14 一定在 2 的下面；剩下的 6、9、12、18 在 3 或 6 下面，
其中 9 一定在 3 的下面，对 2 和 4 所在的列和 3 和 6 所在的列分别讨论．4、8、14、
16，这四个数中最大的数 16 一定在最后一行，最小的数 4 一定在第二行，所以 2 和 4所在的列中最后一行的数的和最小是 16+8=24，当 14、16 在 2 下面，4 和 8 在 4 下
面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数 18 一定在最后一行，最小的数 6 一定在
第二行，所以 3 和 6 所在的列中最后一行的数的和最小是 18+9=27，当 12 和 18 在 6
下面，6 和 9 在 3 下面时成立．所以最后一行的 5 个数的和最小是 24+15+27=66．
14. 能被 5 和 6 整除，并且数字中至少有一个 6 的三位数有 个．
【答案】 6
【分析】 能被 5 和 6 整除，也就是能被 5、2、3 整除，因此个位必须是 0，且数
字和是 3 的倍数，故这个三位数有：600，630，660，690，360，960，共 6 个．
15. 若四位数 2ABC 能被 13 整除，则 A+B+C 的最大值是 ．
【答案】 26
【分析】 因
1001=7×11×13,
能被 13 整除的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被
13 整除；ABC-2 是 13 的倍数，ABC-2 最大为 988，ABC 可以是 990，977，964，
⋯⋯ 数字和比 9+7+7 大的有：9、7、8 与 9、8、8 与 9、8、9 和 9、9、9，百位是
9 的排除，百位是 8 有 899，
(899-2)÷13=897÷13=69,
则
8+9+9=26.
16. 222⋯2 除以 13 所得余数是 ．
¿
【答案】 9
【分析】 我们发现 222222 整除 13，2000÷6 余 2，所以答案为 22÷13 余 9．
17. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 ．
【答案】 102
【分析】 a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0．又要求为 3 的倍数，则
a+b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=2．
18. 有一个三位数，百位数字是最小的质数，十位数字是算式 (0.3+π×13) 的结果中的小数
点后第 1 位数字，个位数字是三位数中能被 17 整除的最小数的个位数字，则这个三位数是
．（π 取 3.14）【答案】 212
【分析】 百位数字是最小的质数即 2；
0.3+π×13=41.12,
即十位数字是 1；
能被 17 整除的最小三位数 102，个位数字是 2，所以这个三位数是 212．
19. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足
被除数=除数×商+余数
其中，0⩽余数<除数 。这就是带余数的除法。当余数为 0 时，也称除数整除被除数，或
者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）．
请写出所有不超过 88 并且能够被 6 整除的大于 1 的自然数有 ．
【答案】 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．
【分析】 能被 6 整除的数一定为 6 的倍数，并且要求不超过 88．
所以有 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．
20. 下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被 7 整除？哪些能
被 11 整除？哪些能被 13 整除？
【答案】 被 7 整除：128114,6139；被 11 整除：64152,491678；被 13 整除：
94146．
【分析】 因为 128-114=14，146-94=52，152-64=88，139-6=133，
678-491=187，所以能被 7 整除的有：128114,6139；能被 11 整除的有：
64152,491678；能被 13 整除的有：94146．
21. 已知数 29832983⋯298302 能被 18 整除，那么 n 的最小值是多少？
¿
【答案】 4
【分析】 29832983⋯298302 能被 2 和 9 整除，其各位数字之和 22n+2 是 9
¿
的倍数，所以 n 的最小值是 4．
22. 张经理给 45 名员工发完工资，将总钱数记在一张纸上，后来记账的这张纸破了两个洞，
只剩下 67▫8▫ 元，张经理只记得每位员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这 45 名
员工的总工资可能是多少钱呢？【答案】 67680 或 67185
【分析】 由于该数为 45 的倍数，则末位为 5 的倍数，所以末位能为 0 或者 5．
若末位为 0，则令该五位数为：67a80，则数字和应为 9 的倍数，有：21+a 应为 9 的倍
数，所以 a=6，这时的五位数为 67680；若末位为 5，则令该五位数为：67a85，则数字
和应为 9 的倍数，有：26+a 应为 9 的倍数，所以 a=1 这时的五位数为 67185．
23. 在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除，
哪些数能被 3 整除，哪些数能被 11 整除？
【答案】 能被 4 整除的数有 3124、312、5588；能被 3 整除的数 有 312、5289、
7314；能被 11 整除的数有 3124、5588．
24. 173▫ 是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，所得到的 3
个四位数：依次可被 9,11,6 整除．”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？
【答案】 19
【分析】 173▫，设填入的数为 a，由能被 9 整除知，1+7+3+a=11+a 是 9 的
倍数，由于 a 是一位数，所以 a=7，即第一次填入的数是 7；由能被 11 整除知，
(7+a)-(1+3)=3+a 是 11 的倍数，a=8，即第二次填入的数是 8；由能被 6 整除知，这
个数能被 2、3 同时整除，所以 a 是偶数且 1+7+3+a=11+a 是 3 的倍数，所以 a=4，
即第三次填入的数是 4．三个数的和是 7+8+4=19．
25. 已知道六位数 20▫279 是 13 的倍数，求 ▫ 中的数字是几？
【答案】 1
【分析】 本题为基础题型，利用 13 的整除判定特征 279-20▫＝13×6 即可知道
方格中填 1．
26. a 是一个三位数．它的百位数字是 4，a+9 能被 7 整除，a-7 能被 9 整除，问 a 是
多少？
【答案】 439
【分析】 a+9 能被 7 整除，说明 a+9-7=a+2 能被 7 整除；
a-7 能被 9 整除，说明 a-7+9=a+2 能被 9 整除；
7×9=63，则 63-2=61 符合上述两个条件．
因 63-2=61，则 a 可以写成这样的形式：a=63×?+61．
又 a 是一个百位数字是 4 的三位数，估算知，a=63×6+61=439．27. 有如下 9 个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837．这些数中哪些能被 3 整
除？哪些能被 9 整除？哪些能被 2 整除？哪些能被 5 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被
25 整除？
【答案】 见解析．
【分析】 能被 3 整除的数应为数字和为 3 的倍数，有：387,228,975,525,882,837；
能被 9 整除的数应为数字和 9 的倍数，有：387,882,837；能被 2 整除的数应该末位能被
2 整除，有：452,228,882；能被 5 整除的数应该末位能被 5 整除，有：975,525,715,775；
能被 4 整除的数应该末两位能被 4 整除，有：452,228；能被 25 整除的数应该末两位能
被 25 整除，有：975,525,775．
28. 有一个四位数 3aa1，它能被 3 整除，则 a 代表几？
【答案】 1，4，7
【分析】 根据被 3 整除的数的性质：
3∣3aa1⇒3∣(3+a+a+1)⇒3∣(2a+4)}
⇒a=1,4,7.
0⩽a⩽9
29. 将 2009 除以一个两位数，所得的余数为 7，则满足条件的两位数共有多少个？
【答案】 7
【分析】
2009-7=2002=2×7×11×13.
两位数有 14111322267791 共 7 个．
30. 六位数 257a38 能被 3 整除，数字 a=？
【答案】 2，5 或 8．
【分析】 2+5+7+a+3+8=25+a，要使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，
5 或 8．即符合题意的 a 是 2，5 或 8．
31. 下面有 9 个自然数 48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100．其中能被 4
整除的有哪些？能被 25 整除的有哪些？
【答案】 48，7836，4100；75，650，4100
【分析】 简答：能被 4 或 25 整除，只需看末两位．32. 应当在 ▫ 中填上哪一个数码，才能使得所得的 101 位整数 66⋯6▫55⋯5 可以被 7
¿ ¿
整除？
【答案】 2 或 9
【分析】 由于 111111=111×1001 可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各
去掉 48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“66▫55”．从中减去 63035，
并除以 10，即得“3▫2”可被 7 整除．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有
322 和 392 可被 7 整除．所以 ▫ 处应填 2 或 9．
33. 有一组密码有 7 个数字组成，它们不是 2 就是 1，并且数字 2 比数字 1 的数量多，已
知这个密码能被 3 和 4 整除，试求出这个密码．
【答案】 2122212
【分析】 密码中 2 比 1 多，所以 2 可能有 4、5、6、或 7 个，经试验 2 有 5
个的时候，数字和为 12，且末两位只能为 12，所以这个密码可能是 2122212（答案不唯
一）．
34. 对于一个自然数 N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数
的右端，形成的新数都不能被 N+1 整除，那么在 1 至 9 这 9 个自然数中有多少个“破
坏数”？
【答案】 6
【分析】 很明显奇数一定是“破坏数”，4 也是“破坏数”．0、2、6、8 都不是
“破坏数”，其中 0 添加到任何一个自然数的右端都能被 1 整除，2 添加到自然数 1 的右
端能被 3 整除，6 添加到自然数 5 的右端能被 7 整除，8 添加到自然数 1 的右端能被 9
整除．所以所求“破坏数”只有 1、3、4、5、7、9 这 6 个．
35. 试求 6 个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．
【答案】 27720，55440，83160，110880，138600 及 166320
【分析】 取六个数 1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到 15 个和：
1+2，1+3，⋯，5+6．
这 15 个和的最小公倍数是：
23×32××5×7×11=27720.
把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600 及 166320．这六
个数就满足题目的要求．36. 在所有各位数字之和等于 34，且能被 11 整除的四位数中最大的一个是多少？最小的一
个是多少？
【答案】 9988；8899
【分析】 最大 9988，最小 8899；abcd 四位数，根据能被 11 整除的特征
(d+b)-(c+a) 能被 11 整除包括 0．假设
d+b=xc+a= yx+ y=34,
因为 x 跟 y 都是 2 个个位数之和，所以 x 跟 y 都是小于 20 的数．能够看出 x 跟 y
都是 17，既 x- y=0 可以假设 x- y=11 或者更大（比如 22、33、44）结果得出都是不
行的．自己可以算算看．17=8+9 其他都不符．
37. 如果 abcde 能被 6 整除，那么 2(a+b+c+d)-e 也能被 6 整除．
【答案】 见解析．
【分析】 因为 6=2×3，所以 2∣abcde，所以 2∣e，所以 6∣3e．
因为 3∣abcde，所以 3∣a+b+c+d+e，所以 6∣2(a+b+c+d+e)，所以
6∣2(a+b+c+d+e)-3e，所以 6∣2(a+b+c+d)-e．
38. 用 1,2,3,4 各一次组成四位数，使得它是 11 的倍数．有多少种不同的方法？
【答案】 8．
【分析】 用 1,2,3,4 各一次组成四位数，四个数字的和为 10，若为 11 的倍数，则
奇位和与偶位和的差只能为 0，奇位填 1,4，偶位填 2,3，考虑到 1,4 可以互换，2,3 可以
互换，故共有 2×2=4 种填法，同理奇位填 2,3，偶位填 1,4，也有 4 种填法，共 8 种填
法．
39. 判断下列数中哪些能被 7 整除？能被 8 整除？能被 9 整除？能被 11 整除？能被 13
整除？
674152325868585757929922009
【答案】 能被 7 整除的有：6741，2009；
能被 8 整除的有：5232，2992；
能被 9 整除的有：6741，5868，585；
能被 11 整除的有：7579，2992；
能被 7 整除的有：585，7579
【分析】 略
40. 已知整数 1a2a3a4a5a 能被 11 整除，求所有满足着个条件的整数．
【答案】 1323334353【分析】 因为 11 整除 1a2a3a4a5a，所以根据能被 11 整除的数的特征可知：
1+2+3+4+5 的和与 5a 之差应是 11 的倍数，5a-15 是 11 的倍数，可以是 0，
11，- 11，22，-22⋯ 只有当 a=3 时，11∣15-5a．符合题意的整数只有 1323334353．
41. 一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的
总数烧去两个数字，帐本是这样的：72 本笔记本，共 ▫67.9▫ 元（▫ 为被烧掉的数字），请
把 ▫ 处数字补上，并求笔记本的单价．
【答案】 3；2；5.11 元
【分析】 把 ▫67.9▫ 元作为整数 ▫679▫ 分，既然是 72 本笔记本的总线数，那就一
定能被 72 整除，又因为 72=8×9，(8,9)=1，所以 8∣▫679▫，9∣▫679▫，根据能被 8
整除的数的特征，8∣79▫，通过计算个位的 ▫=2，又 9∣▫6792，根据能被 9 整除的数的特
征，9∣(▫+6+7+9+2)，显然前面的 ▫ 应是 3，所以这笔帐笔记本的单价是：
367.92÷72=5.11(元)．
42. 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．
【答案】 135、315、175、735
【分析】 依题意，组成这个三位奇数的数字是 1、3、5、7、9 中的三个不同的数字．
因为除 9 以外的任意 2 个奇数之和都不是 9 的倍数，所以 9 不能在这个 3 位数中出现．
那么，只有可能是 135、137、157、357 这 4 种数字组合，分别尝试得到四个满足题意的
数为 135、315、175、735．
43. 用 1,2,3,4,5,8,9 组成不重复的七位数，其中有多少个能被 11 整除？
【答案】 432．
【分析】 能被 11 整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是 11 的倍
数，而奇数位之和与偶数位之和的和是 1+2+3+4+5+8+9=32，那么奇数位之和与偶数位
之和可以都是 16，或者是 27 和 5，后面这种情况不可能，偶数位有 3 个数字，和为 16
可能是 9+5+2,9+4+3,8+5+3，那么一共可以组成 A4×A3×3=432 个能被 11 整除的
4 3
七位数．
44. 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数．已知这两个 4 位数的和
是以下五个数中的一个：① 9864；② 9866；③ 9867；④ 9868；⑤ 9870．这两个 4 位
数的和到底是多少？【答案】 9867
【分析】 设这个 4 位数是 abcd，最新的 4 位数是 bcda，两个数的和为
abcd+bcda=1001a+1100b+110c+11d，右边是 11 的倍数，所以两个 4 位数之和为
11 的倍数．
题目中的五个数只有 9867 能被 11 整除，这两个四位数的和为 9867．
45. 用 0、3、4、5 四个数字，按要求排列成一个没有重复数字的四位数．
既能被 2 整除，又能被 5 整除；
能被 2 整除，但不能被 5 整除；
能同时被 3 和 5 整除．
【答案】 3450，3540，4350（答案不唯一）；
3504，3054，5304（答案不唯一）；
3450，3540，4350（答案不唯一）．
【分析】 能同时被 2、5 整除的数必须具备：个位上的数是 0．
能被 2 整除，但不能被 5 整除的数必须具备：个位上的数是 2，4，6，8．
能同时被 3、5 整除的数必须具备：个位上的数是 0 或 5，各个数位上的数的和能够被 3
整除．
46. 六位数 356a29 能被 3 整除，数字 a=？
【答案】 2，5 或 8．
【分析】 3+5+6+a+2+9=25+a 使 25+a 能被 3 整除，数字 a 只能是 2，5
或 8．即符合题意的 a 是 2，5 或 8．
47. 有如下 5 个自然数：12345、189、72457821、333666、54289．其中能被 9 整除的
有哪些？
【答案】 189，72457821，333666
【分析】 简答：判断能除否被 9 整数，看数字和．
48. 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也
能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？
【答案】 495
【分析】 本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个
奇数的倍数．任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的
一半后所得的商为一个奇数．证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子：我们可以令连续 9 个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和
为 9a，即为 9 的倍数．
对于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5，则
它们的和为 10a+5=5(2a+1)，即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数．
所以本题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495．
49. 有八个连续三位数，第 1 个数被 1 整除、第 2 个数被 2 整除、第 3 个数被 3 整除、
⋯⋯ 依此类推；那么第 7 个数字是多少？
【答案】 847
【分析】 设第 7 个数也就是 7 的倍数的为 N；N 的前一个数 N-1 应是 6 的倍
数，即必须是能被 3 整除的偶数，所以应考察的 7 的倍数为奇数；
N 的前面第二个数 N-2 应是被 5 整除的数，故 N 应是以 7 结尾的数；
综上，应从以 7 为结尾的 7 的倍数的三位数中找 N，并且，由于 N-1 被 6 整除，而 N
以 7 结尾，故 N 的百位和十位数字组成的两位数应被 3 整除；
所以，所求的 N 应是 217、427、637、847 中的一个；
而 N+1 被 8 整除，则排除 218、428、638，只有 848 满足；
所以第七个数字是 847．
50. 一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被 17 整除，则这个数最小是多少？
【答案】 102357
【分析】 最值思想，先找到最小的六位数 102345，然后试除 102345÷17⋯⋯5，
即最小的六位数为 102345+(17-5)=102357．
51. 用 1,9,8,8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
【答案】 4 个，1988,1889,8918,8819
【分析】 现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被
11 整除了．所以我们得到“一个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，
再将奇位数字相加再加 3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被 11 整除，那么这个数
是被 11 除余 8 的数；否则就不是．要把 1,9,8,8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以
把这 4 个数分成两组，每组 2 个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作 A；另
外一组作为百位和个位数，它们之和加上 3 记作 B．我们要适当分组，使得能被 11 整除．
现在只有下面 4 种分组法：
偶位 奇位
9,8¿(2)¿1,9¿8,8¿(3)¿9,8¿1,8¿(4)¿8,8¿1,9¿
(1) ¿
经过验证，只有第（1）种分组法满足前面的要求：A=1+8=9，B=9+8+3=20，
B-A=11 能被 11 整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个
数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被 11 除也余 8．于是，上面第（1）种分组中，1 和 8 任一个可以作为千位数，9 和
8 中任一个可以作为百位数．这样共有 4 种可能的排法：1988,1889,8918,8819．
52. 一个四位数 38a4，能够被 4 整除，那么 a 可以是多少？如果这个数能够被 8 整除，
那么 a 可以是多少？
【答案】 2 或 8．
【分析】 被 4 整除，末两位 a4 能够被 4 整除．a 可以是 0，2，4，6，8．
被 8 整除，末三位 8a4 能被 8 整除，a 可以是 2，或者 8．
53. 一个三位数 5▫2 的十位数字未知．请分别根据下列要求找出“▫”中合适的取值：
（1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“▫”可能等于多少？
（2）如果要求这个三位数能被 4 整除，“▫”可能等于多少？
（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能，“▫”可能等于多少？
【答案】 （1）2,5,8；（2）1,3,5,7,9；（3）5．
【分析】 （1）数字和保证是 3 的倍数，则可填写 2,5,8；
（2）能被 4 整除，则末两位能被 4 整除，则可填写 1,3,5,7,9；
（3）既能被 3 又能被 4 整除，则两者均需符合，应填 5．
54. 有如下 5 个自然数：3124、3823、45235、5289、5588．其中能被 11 整除的有哪些？
【答案】 3124，5588
【分析】 简答：判断能否被 11 整除，看奇位和偶位和的差．
55. 六位数 2009▫▫ 能被 99 整除，它的最后两位数是多少？
【答案】 70
【分析】 方法一：试除法
200999 被 99 除商 2020 余 29，所以这个六位数最后两位是 99-29=70 时，它
能被 99 整除；
方法二：99=9×11，2009▫▫ 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以
方框中数字的和只能为 7 或 16；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 7，所
以它的最后两位数是 70．
56. 20092009⋯200909 能被 11 整除，那么 n 的最小值是多少？
¿
【答案】 5【分析】 20092009⋯200909 中奇位数减偶位数的差为 (9-2)×n+9=7n+9，
¿
当 n=5 时，(7n+9) 是 11 的倍数，所以 n 的最小值是 5．
57. 下面是两个 1989 位整数相乘： 111⋯11×111⋯11 ．问：乘积的各位数字之和是多少？
¿ ¿
【答案】 17901
【分析】 在算式中乘以 9，再除以 9，则结果不变．因为 111⋯11 能被 9 整除，
¿
所以将一个 111⋯11 乘以 9，另一个除以 9，使原算式变成：
¿
999⋯⋯99×123456790⋯⋯012345679
(1000⋯⋯00-1)×123456790⋯⋯012345679¿=¿123456790⋯⋯012345679000⋯⋯00-123456790⋯⋯012345679¿=¿123456790⋯⋯012345679123456789876543209⋯⋯987654320987654321¿
¿ ¿
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
得到的结果中有 1980÷9=220(个)“123456790”和“987654320”及一个“12345678
”和一个“987654321”，所以各位数之和为：
(1+2+3+4+5+6+7+9)×220+(9+8+7+6+5+4+3+2)×220+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
17901¿
¿
58. 判断下列各数是否能被 3 整除：2574,38974,587931.
【答案】 2574 能被 3 整除；38974 不能被 3 整除；587931 能被 3 整除．
【分析】 因为
2+5+7+4=18,
18 能被 3 整除，所以 2574 能被 3 整除；
因为
3+8+9+7+4=31,
31 不能被 3 整除，所以 38974 不能被 3 整除；
因为
5+8+7+9+3+1=33,
33 能被 3 整除，所以 587931 能被 3 整除．
59. 一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别
划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24）．已知这些两位
数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数．原来的三位数多少？
【答案】 656
【分析】 设这个三位数为 abc，则得到的三个两位数为 bc、ac 和 ab，由于 a、b
和 c 均不为 0，且三个两位数中有一个是 5 的倍数，则 b 或 c 为 5．考虑到能被 8 整
除，因此 c 不为 5，这样 b 一定为 5．考虑到 bc 为 4 的倍数，则 bc 只能为 52 或56．其中 52 既不是 6 的倍数，也不是 7 的倍数，舍去．因此 bc 只能为 56．再考虑 ac
为 6 的倍数只能为 66．因此这个三位数为 656．
60. 用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除，这个六位数是多少？
【答案】 768768
【分析】 因为 168＝8×3×7，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除，能够被
8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数定是 4 的倍数，末
位为偶数，在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或
768，而又要求是 7 的倍数，abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768
一定是 7 的倍数，▫▫▫688 的 ▫ 不管怎么填都得不到 7 的倍数．至于能否被 3 整除可以不
验证，因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数
字和都是定值，所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数．
61. 若 4b+2c+d=32，试问 abcd 能否被 8 整除？请说明理由．
【答案】 见解析．
【分析】 由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可．
bcd=100b+10c+d，有 bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c) 能被 8 整除，而
4b+2c+d=32 也能被 8 整除，所以 abcd 能被 8 整除．
62. 在 7315、58674、325702、96723、360360 中，7 的倍数有哪些？13 的倍数有哪些？
【答案】 7 的倍数有 7315，58674，360360；13 的倍数有 325702，360360．
【分析】 简答：牢记被 7 和 13 的整除的数的判断方法．
63. 如果 (a+2b) 是 7 的倍数，求证：(3a-b) 也是 7 的倍数．（a、b 都是自然数）．
【答案】 见解析
【分析】 法一：由于 (a+2b) 是 7 的倍数，所以 3(a+2b)＝3a+6b 也是 7
的倍数，
所以 3a-b＝3a+6b-7b 是 7 的倍数．
法二：设 a+2b＝7k，则 a＝7k-2b，3a-b＝3(7k-2b)-b＝21k-7b＝7(3k-b)，
所以 (3a-b) 也是 7 的倍数．
64. 某个七位数 1993▫▫▫ 能够同时被 2,3,4,5,6,7,8,9 整除，那么它的最后三位数字依次是多
少？
【答案】 3,2,0【分析】 一个数能同时被 2,3,4,5,6,7,8,9 整除，相当于能被
[2,3,4,5,6,7,8,9]=5×7×8×9=2520 整除，1993999÷2520=791⋯⋯679，所以
1993999-679=1993320 能被 2520 整除，即 1993320 为所求的这个数．
65. 判断下面 11 个数的整除性：
23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407．
（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？
（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？
（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？
（4）哪些数能被 11 整除？
【答案】 见解析．
【分析】 （1）末两位能被 4 整除，该数即能被 4 整除；
末三位能被 8 整除，该数即能被 8 整除．
所以，能被 4 整除的数有：3568,5880,6512,864；
能被 8 整除的数有：3568,5880,6512,864；
（2）末两位是 25 的倍数，该数就能被 25 整除；
末三位是 125 的倍数，该数就能被 125 整除．
所以能被 25 整除的数有：8875,93625；
能被 125 整除的数有：8875,93625；
（3）数字和是 3 的倍数即能被 3 整除，数字和为 9 的倍数即能被 9 整除．所以，能被 3
整除的数有：23487,6765,5880,198954,864；
能被 9 整除的数有：198954,864；
（4）从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果为 11 的倍数，即为 11 的倍
数．则为 11 的倍数的有：6765,6512,407．
66. 23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407．
（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？
（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？
（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？
【答案】 见解析．
【分析】 （1）能被 4 整除的数有：3568,5880,6512,864；能被 8 整除的数有：
3568,5880,6512,864；
（2）能被 25 整除的数有：8875,93625；能被 125 整除的数有：8875,93625；
（3）能被 3 整除的数有：23487,6765,5880,198954,864；能被 9 整除的数有：
198954,864．
67. 四位数 1▫2▫ 既是 3 的倍数，还是 5 倍数，则这个四位数有几种可能？【答案】 7
【分析】 这个四位数为 5 的倍数，因此末位为 0 或 5．末位数字是 0 时，1▫20，
要是 3 的倍数，方框内为 3，6，9 或 0，即 1020，1320，1620，1920；末位是 5 时，
1▫25，要是 3 的倍数，方框内 1，4，7，也就是有 1125，1425，1725．总共有七种可能．
68. 有 7 张卡片，上面分别写着 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字，从这七张卡片中选出
若干张卡片，排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，求这
个多位数．
【答案】 73416
【分析】 要想这个多位数尽可能大，选出的数要尽可能多．
如果这个数是七位数，选出的数中肯定有 5，那么这个数要能被 5 整除，个位只能是 5，那
么 这个数肯定不能被 2、4、6 整除，所以不能选 2、4、6，矛盾．
如果这个数是六位数，除了 5 之外都要选出来，但是 1+2+3+4+6+7=23，这个六位 数
肯定不能被 3 整除，所以 3 也不能选，矛盾．
如果这个数是五位数，5 不能选，如果没有选 3，那么 6 也不能选，所以肯走选了 3，由能
被 3 整除的判定．只有 1+3+4+6+7=21 满足条件，所以这个五位数是由 1、3、4、6、
7 构成．
五位数能被 4 整除，那么末两位能被 4 整除，只能是 16、36 或 64．
如果末两位是 16；最大的 74316 不能被 7 整除，次大的 73416 能被 7 整除．
如果末两位是 36；最大的 74136 不能被 7 整除，之后的数小于 73416．
如果末两位是 64；最大的 73164 小于 73416．
综上所述，这个多位数是 73416．
69. 请求出最大的七位数，使得它能被 3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个
七位数是多少？
【答案】 7402395
【分析】 假设这个七位数是 abcdefg，满足 abcd-efg=n00n，很容易得出 c=0，
f =9，b 和 e 相差 1，如果 g=0，那么 a=d，所以 g=5．假设 a=8，那么 d=3，b 和
e 就是 2，1 或者 7，6，经检验都不符合要求．假设 a=7，那么 d=2，b 和 e 就是 4，
3，经检验刚好可以．这个七位数是 7402395．
70. 把三位数 5ab 接连重复的写下去，共写 2011 个 5ab，所得的数 5ab5ab⋯5ab 恰
¿
是 77 的倍数，试求 ab=？
【答案】 39
【分析】 因为 77=7×11，且 (7,11)=1．
¿，¿
根据一个数能被 7 或 11 整除的特征可知：原数 5ab5ab⋯5ab 能被 7 及 11 整除；
¿
当且仅当
5ab5ab⋯5ab-5ab
能被 7 及 11 整除；
¿
也就是 5ab5ab⋯5ab000 能被 7 及 11 整除；
¿
也就是 5ab5ab⋯5ab 能被 7 及 11 整除．
¿
每次减两组，依次下去，最终 5ab 能被 7 及 11 整除，也就是被 77 整除．
77×7=539,
所以可能的就是 ab=39．
71. 在所有的五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？
【答案】 97999,99979,98989
【分析】 设这个五位数为 abcde，由题意
{(a+c+e)-(b+d)=11
a+b+c+d+e=43
解得
{a+c+e=27
,
b+d=16
所以 a=c=e=9，b+d 为 7+9 或者 8+8，abcde 有三种可能：97999,99979,98989．
72. 判断 123456789 这九位数能否被 11 整除，13574 是否能被 11 整除？
【答案】 不能，能．
【分析】 123456789 这个数奇数位上的数字之和是
9+7+5+3+1=25,
偶数位上的数字之和是
8+6+4+2=20.
因为 25-20=5，又因为 $11\not{|} 5$，所以 $11\not{|}123456789$．
13574 这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：
(4+5+1)-(7+3)=0.
因为 0 是任何整数的倍数，所以 11∣0．因此 13574 是 11 的倍数．
73. （1）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数能被 4 整除？
（2）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？
【答案】 （1）999 个，（2）999 个．
【分析】 （1）由于每连续 4 个自然数中必有一个被 4 整除，
3998÷4=999⋯⋯2．因此从 1 到 3998 这 3998 个自然数中能被 4 整除的一共有 999
个．（2）为了方便，将 0 到 3999 这 4000 个整数都看成四位数 abcd（不足四位则在前面补
零，如 12=0012）．由于 b、c、d 各有 10 种数字可任意选择，而且当 b、c、d 选定后，
为满足 a+b+c+d 能被 4 整除，千位数字 a 必唯一确定．
事实上，若 b+c+d=4K 时，则 a=0；若 b+c+d=4K+1 时，则 a=3；若
b+c+d=4K+2 时，则 a=2；若 b+c+d=4K+3，则 a=1．（K 为整数）
综上所述，在 0 到 3999 这 4000 个整数中有 1×10×10×10=1000(个) 数的各位数字
之和能被 4 整除．因此，从 1 到 3998 这 3998 个自然数中有 1000-1=999(个) 数的
各位数字之和能被 4 整除．
74. 由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被 5 整除？
【答案】 350，530，305
【分析】 因为个位数为 0 或 5 的数才能被 5 整除，所以由 0，3，5 写成的没有
重复数字的三位数中，只有 350，530，305 三个数能被 5 整除．
75. 多位数 20092009⋯2009736 ，能被 11 整除，n 最小值为多少？
¿
【答案】 3
【分析】 奇数位数字之和为 6+7+2n，偶数位数字之和为 3+9n，这个多位数整除
11，即 (3+9n)-(6+7+2n)=7n-10 能整除 11，n 最小取 3．
76. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号．1 号同学写了一个自然数，2
号说：“这个数能被 2 整除”，3号说：“这个数能被 3 整除”⋯⋯ 依次下去，每位同学
都说，这个数能被他的编号数整数，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，
其余同学都对，问：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1 号同学写的数是五位数，请求出这个数．（写出解题过程）
【答案】 （1）编号为 8 和 9；（2）60060
【分析】 （1）首先可以断定编号是 2、3、4、5、6、7 号的同学说的一定都对．不
然，其中说得不 对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位
同学说得不对”不符合．因此，这个数能被 2、3、4、5、6、7 都整除．
其次利用整除性质可知这个数也能被 2×5、3×4、2×7 都整除，即编号为 10、12、14 的
同 学说得也对，从中断定编号 11、13、15 的同学说得也对，不然，说得不对的编号不是连
续的两个自然数．
现在我们可以断定说得不对的两个同学的编号只能是 8 和 9．
（2）这个数是 2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15 的公倍数，由于上述十二个
数的最小公倍数是 [2,3,4,5,6,7,10,l1,12,13,14,15]=22×3×5×7×11×13=60060．
因为 60060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 号同学写的数
就是 60060．77. 有一个四位数 3aa1，它能被 9 整除，则 a 代表几？
【答案】 7
【分析】 根据被 9 整除的数的性质：
9∣3aa1⇒9∣(3+a+a+1)⇒9∣(2a+4)}
⇒a=7.
0⩽a⩽9
78. 如果六位数 2010▫▫ 能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？
【答案】 75
【分析】 采用试除法
用 201000 试除，
201000÷105=1914⋯⋯30,
余 30 可以看成不足 (105-30)=75．所以补上 75，即在末两位的方格内填入 75 即可．
79. 四个学生各任意写一个六位数且个位不为 0．把个位数字移到首位，其它位数字依次向后
移一位．把得到的新的六位数与原六位数做和，得到以下结果：172536、568741、620708、
845267．哪个结果有可能是正确的？
【答案】 620708
【分析】 设原六位数是 abcdef，那么转换后得到的新六位数是 fabcde，
abcdef +fabcde=110000a+11000b+1100c+110d+11e+100001f 是 11 的倍数，因此
只有 620708 有可能是正确的．
80. 找出 4 个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．
如果要求这 4 个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这 4 个数里中间两个数的
和是多少？
【答案】 7
【分析】 我们设这四个数中最小的一个数为 a，要求 4 个最大的数与最小的数的和
尽可能小，则先尽量让 a 最小．
b+1
当 a=1，设 4 个数中另外三个数中某个数为 b，有 等必须为整数，而
b-1
b+1 2
=1+ ，则 2 能被 (b-1) 整除，显然 (b-1) 只能为 2 或 1，对应 b 只能是 3
b-1 b-1
或 2，但是题中要求 a 至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足．c+2 c+2 4
当 a=2，设 4 个数中另外三个数中某个数为 c，有 必须为整数，而 =1+ ，
c-2 c-2 c-2
则 4 能被 (c-2) 整除，有 (c-2) 可以为 4、2、1，对应 c 可以为 6、4 或 3．
验证 6、4、3、2 是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为 4+3=7 即为题中条件下的
和．
81. 一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别
划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24）．已知这些两位
数分别能被 5、6、7 整除，那么原来的三位数是多少？
【答案】 656
【分析】 由于尾数不可能是 5，所以只能中间数是 5，那么个位就是 2 或 6，但
52 不能被 6、7 整除，则只能是 56，被 7 整除，再结合百位和个位能被 6 整除判断出三
位数为 656．
82. 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方
【答案】 7744
【分析】 设所求的四位数为 x=aabb，则
x=1000a+100a+10b+b=11(100a+b),
其中 029× =31 ,
11 11
即 b⩾32．
分别验证 b=32，33，34，35，36 各种情况，可知只有当 b=32 和 b=36 时符合条件．
107. 由 1，3，5，7 这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被 3 整除？
【答案】 12
【分析】 在 1，3，5，7 这四个数中，任取三个，共有 4 组：
1,3,5;
1,3,7;
1,5,7;
3,5,7.其中，1+3+5 和 3+5+7 能被 3 整除，所以，由 1，3，5 或 3，5，7 写成的没
有重复数字的三位数能被 3 整除．由 1，3，5 可写成 135，153，315，351，513，531
六个三位数；同理，由 3，5，7 也能写成 6 个三位数．
所以，符合题意的三位数有
6×2=12(个).
108. 如果六位数 1992▫▫ 能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？
【答案】 90
【分析】 方法一：利用整除特征．因为 105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能
被 3、7、5 整除的数的特征即可．末位只能为 0 或 5．
① 如果末位填入 0，那么数字和为 1+9+9+2+▫+0=21+▫，要求数字和是 3 的倍数，所
以 ▫ 可以为 0，3，6，9，验证 200-199=1，230-199=31，260-199=61，
290-199=91，有 91 是 7 的倍数，即 199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为
90．
② 如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征．所以，题
中数的末两位只能是 90．
方法二：采用试除法
用 199200 试除，199200÷105=1897⋯⋯15，余 15 可以看成不足，105-15 =90．所
以补上 90，即在末两位的方格内填入 90 即可．
109. 从自然数 1，2，3，⋯，1000 中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数
之和能被 18 整除？
【答案】 56
【分析】 设 a，b，c，d 是所取出的数中的任意 4 个数，则
a+b+c=18m,
a+b+d=18n,
其中 m，n 是自然数．于是 c-d=18(m-n)．上式说明所取出的数中任意 2 个数之差是
18 的倍数，即所取出的每个数除以 18 所得的余数均相同．设这个余数为 r，则
a=18a +r,
1
b=18b +r,
1
c=18c +r,
1
其中 a ，b ，c 是整数．于是
1 1 1
a+b+c=18(a +b +c )+3r.
1 1 1
因为
18∣(a+b+c),
所以 18∣3r，即 6∣r，推知 r=0，6，12．因为
1000=55×18+10,所以，从 1，2，⋯，1000 中可取 6，24，42，⋯，996 共 56 个数，它们中的任意 3
个数之和能被 18 整除．
110. 在六位数 11▫▫11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么
方框中的两位数是多少？
【答案】 53
【分析】 采用试除法．设六位数为 11ab11，则
11ab11=11×10000+ab00+11=110011+ab00
如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除．
110011÷323=340⋯⋯191,
余 191 也可以看成不足 323-191=132．
所以当 ab00=132+323n 时，即 ab00 是 100 的倍数时，六位数才是 323 的倍数．所
以有 323n 的末位只能是 10-2=8，所以 n 只能是 6，16，26，⋯ 验证有 n=16 时，
132+323×16=5300，所以原题的方框中填入 5，3 得到的 115311 满足题意．
111. 以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数
字之和的差能否被 11 整除．
【答案】 见解析．
【分析】
142857 =1×100000+4×10000+2×1000+8×100+5×10+7×1
¿ =(1×100001+4×9999+2×1001+8×99+5×11)+(4-1+8-2+7-5)
因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质
1，要判断 142857 能否被 11 整除，只需判断 4-1+8-2+7-5=(4+8+7)-(1+2+5)
能否被 11 整除．
112. 在 ▫ 内填上合适的数字，使 ▫679▫ 能同时被 8、9 整除．
【答案】 3；2
【分析】 由被 8 整除的特征知最后一个 ▫ 填 2，由被 9 整除的特征知第一个 ▫ 填
3．
113. 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数．再将新的 4 位数的千位
数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5
个数的一个：
① 9865；② 9867；③ 9462；④ 9696；⑤ 9869．
这两个 4 位数的和到底是多少？【答案】 9696
【分析】 设这个 4 位数是 abcd，则最新的 4 位数是 cdab．两个数的和为
abcd+cdab=1010a+101b+1010c+101d,
是 101 的倍数．在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍数，故正确的答案为 9696．
114. 有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 4 个连续自然数的和；还能表示
成 5 个连续自然数的和．请你找出 700 至 1000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理
由．
【答案】 750、810、870、930、960
【分析】 3 个连续自然数的和，一定能够被 3 整除；4 个连续自然数的和，一定能
够被 2 整除，且除以 2 所得的商是奇数，也就是说它不能被 4 整除，除以 4 所得余数为
2；5 个连续自然数的和，一定能够被 5 整除．
3、2、5 的最小公倍数是 30，所以满足上述三个条件的最小的数是 30．
3、4、5 的最小公倍数是 60，所以 60 的整数倍加上 30 就可以满足条件．
700=60×11+40，所以第一个符合题意的数是 750=60×12+30，最大的一个数是
990=60×16+30，共计 16-12+1=5 个数，分别为 750、810、870、930、960．
115. 试说明一个 5 位数，原序数与反序数的差一定是 99 的倍数（如：12367 为原序数，
那么它对应的反序数为 76321，它们的差 63954=99×646 是 99 的倍数．）
【答案】 略
【分析】 设原序数为 abcde，则反序数为 edcba，其中 a⩾e，则
abcde-edcba
(10000a+1000b+100c+10d+e)-(10000e+1000d+100c+10b+a)¿=¿9999a+990b-990d-9999e¿=¿99(101a+10b-10d-101e)¿
¿
因为等式的右边能被 99 整除，所以 abcde-edcba 能被 99 整除
116. 六位自然数 1082▫▫ 能被 23 整除，末两位数有多少种情况．
【答案】 4
【分析】 试除法．因为 108200÷23=4704⋯⋯8，把余 8 看做不足 15．所以，
方框中的数为 15、38、61、84 四种情况时，六位数能被 23 整除．所以末两位数有 4 种
情况．
117. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，
使它能被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？
【答案】 94185【分析】 本题采用试除法．因为 3，5，7，13 的最小公倍数为 1365，
100000÷1365=73⋯⋯355,100000-355=99645,
所以在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 99645 但是不符合数字各不相同的条件，于是
继续减 1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可．有
99645-1365=98280,98280-1365=9691,96915-1365=95550,95550-1365=94185.
所以，满足题意的 5 位数最大为 94185．
118. 已知四十一位数 55⋯5▫99⋯9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间
方格内的数字是多少？
【答案】 6
【分析】 我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除 7、11、13，原 41 位数中从
高位数起共有 20 个 5，从低位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出
555555，和 999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：
555555×10⋯00(35个0)+555555×10⋯00(29个0)+⋯+55▫99+999999×10⋯00(，12个0)+⋯+999999
这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现每一组含有 555555 或 999999 因数的部
分都已经是 7 的倍数，唯独剩余 55▫99 待定，那么只要令 55▫99 是 7 的倍数即可，即
只要 ▫44 是 7 的倍数即可，▫ 应为 6．
119. （1）1 到 100（包含 100）能被 3 整除或 5 整除的和是多少？
（2）一个数列是 2、6、12、20，⋯，求第 10 项．
【答案】 （1）2418；（2）110
【分析】 （1）1 至 100 内能被 3 整除的数是 3，6，9，12，⋯，99，他们的和
是
3+6+9+⋯+99
(3+99)×[(99-3)÷3+1]÷2¿=¿102×33÷2¿=¿1683;¿
¿
1 至 200 内能被 5 整除的数是 5，10，15，20，⋯，100，他们的和是
5+10+15+⋯+100
(5+100)×[(100-5)÷5+1]÷2¿=¿105×20÷2¿=¿1050.¿
¿
能同时被 3 和 5 整除的数有 15，30，45，60，75，90．它们的和是
15+30+45+⋯+90
(15+90)×6÷2¿=¿105×6÷2¿=¿105×3¿=¿315.¿
¿
能被 3 或 5 整除的和：
1683+1050-315=2418.
（2）观察题目发现 第一项是 2，第二项是 2+4=6，第三项是 2+4+6=12，第四项是
2+4+6+8=20，⋯．由此可见，它是由从 2 起的连续偶数组成的数列，因而，第 10 项就
是2+4+6+⋯+20
(2+20)×10÷2¿=¿110.¿
¿
120. 1-100 中，7 的倍数有多少个？除以 7 余 2 的数有多少个？
【答案】 14,15．
【分析】 100÷7=14⋯⋯2,7 的倍数有 14 个；100-2=98,98÷7=14,14+1=15．
除以 7 余 2 的有 15 个．
121. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4▫32▫ 是 9 的倍数，（1）请随便填
出一种，并检查自己填的是否正确；（2）一共有多少种满足条件的填法？
【答案】 （1）43326（答案不唯一）；（2）12
【分析】 一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即
4+▫+3+2+▫ 是 9 的倍数，而 4+3+2=9，所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数，
（1）依次填入 3、6，因为 4+3+3+2+6=18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数；
（2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9，那么可以是（9，0
）；（8，1）；（7，2）；（6，3）；（5，4）；（4，5）；（3，6）；（2，7）；（1，
8）；（0，9），共 10 种情况，还有（0，0）和（9，9），所以一共有 12 种不同的填法．
122. 恰好能被 6，7，8，9 整除的五位数有多少个？
【答案】 179
【分析】 6、7、8、9 的最小公倍数是 504，五位数中，最小的是 10000，最大为
99999．
因为 10000÷504=19⋯⋯424，99999÷504=198⋯⋯207．
所以，五位数中，能被 504 整除的数有 198-19=179(个)．
所以恰好能被 6，7，8，9 整除的五位数有 179 个．
123. 有一个长长的纸条，里面有 37 个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从 1 到
37，既不重复，也不遗漏．但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第 1 个数能被第 2 个
数整除，第 1 个数与第 2 个数之和能被第 3 个数整除；第 1、2、3 个数之和能被第 4
个数整除，⋯ 这个规律一直要保持下去，直到前面 36 个数的和能被最后一个数整除为止．
37 ¿ ¿⋯ ?
如果第一个方格内已填入 37，那么最后一个方格中填几？【答案】 19
【分析】 因为题目要求前面 36 个数的和能被最后一个数整除，而
1+2+⋯+36+37=1×19×37.
假设最后一个数填 n，那么，前面 36 个数的和等于：1×19×37-n，所以，为了让前面
36 个数的和 1×19×37-n 能被最后一个数整除，就要求 1×19×37 中含有 n，这样，最
后一格可填 1 或 19 或 37．
但第一个数已经填了 37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填 1．
所以，最后一个方格中的可填的数是只能是 19．
124. 由 0，1，3，5 写成的没有重复数字的四位数中，有哪些能被 5 整除？
【答案】 见解析．
【分析】 个位数是 0 的有：
135015303150351053105130;
个位数是 5 的有：
1305103530153105.
125. 如果 (a+2b) 被 5 除余数为 2，(3a-b) 被 5 除所得的余数为 3，求证：(a-b) 能被
5 整除．（a、b 都是自然数）．
【答案】 证明见解析
【分析】 方法一：设 a+2b=5k+2，3a-b=5l+3，
解方程组 $\left\{ \begin{gathered}
a + 2b = 5k +2 \hfill \\
3a - b = 5l +3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ 得到 $\left\{ \begin{gathered}
a = \dfrac{{10l+ 5k + 8}}{7} \hfill \\
b = \dfrac{{3 +15k - 5l}}{7} \hfill \\
15l-10k+5
\end{gathered} \right.$，所以 a-b= 能被 5 整除．
7
方法二：由题目条件 2(3a-b)-3(a+2b) 能被 5 整除，即 3a-8b 能被 5 整除，继而得
到 3a-3b 能被 5 整除，所以 a-b 能被 5 整除．
126. 如果 (3a+b) 是 7 的倍数，求证 (2b-a) 也是 7 的倍数．（a、b 都是自然数）．
【答案】 见解析
【分析】 方法一：因为 (3a+b) 是 7 的倍数，所以 (6a+2b) 也是 7 的倍数，
所以 (6a+2b-7a) 即 (2b-a)，也是 7 的倍数．7k-b 7b-7k
方法二：设 3a+b=7k，那么 a= ，所以 2b-a= 也是 7 的倍数．
3 3
127. 12+22+32+⋯+20012+20022 除以 7 的余数是多少？
【答案】 0
【分析】 由于
12+22+32+⋯+20012+200222002×2003×4005
¿=¿1001×2003×1335¿
¿ 6
而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12+22+32+⋯+20012+20022 除
以 7 的余数是 0；
128. 已知 ABABAB 是 154 的倍数，求 AB 的最小值．
【答案】 22
【分析】 事实上
ABABAB=AB×10101,
而
10101=3×7×13×37,
所以只要保证 AB 能被 22 整除即可，又 AB 不能为 0，所以 AB 的最小值为 22．
129. 是否存在着 5 个正整数，使得其中任一数都不是另一数的整倍数，但每个数的平方都能
被其它数整除？
【答案】 见解析
【分析】 令 A=2×3×5×7×11，则对于 2A，3A，5A，7A，11A 这 5 个数
来说，其中的任一数都不是另一数的整倍数．但是，由于每个数的平方都能被 A2 整除，而
这些数又都能整除 A2，所以每个数的平方都能被其它数整除，所以这样的 5 个正整数是存
在的．
130. 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数可能是多少？
【答案】 4,6,12
【分析】 （法 1）39-3=36，147-3=144，(36,144)=12，12 的约数是
1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；
（法 2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说
它是任意两数差的公约数．51-39=12，147-39=108，(12,108)=12，所以这个数是
4,6,12．131. 在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被
7 整除，最大的能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【答案】 258；259；260
【分析】 先找出两个连续自然数，第一个被 3 整除，第二个被 7 整除．例如，找
出 6 和 7，下一个连续自然数是 8．3 和 7 的最小公倍数是 21，考虑 8 加上 21 的整数
倍，使加得的数能被 13 整除．
8+21×12=260,
能被 13 整除，那么 258，259，260 这三个连续自然数，依次分别能被 3，7，13 整除，
又恰好在 200 至 300 之间．由于 3，7，13 的最小公倍数为 273，所以在 200 至 300
之间只有 258，259，260 这三个数满足条件．
132. 1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别
按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是
193426857 和 758624391）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那
么剪开处左右两个数字的乘积是多少？
【答案】 27，8，12，48，35，9
【分析】 互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除．而 396=99×4，所以我
们只用考察它能否能被 4 整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4
整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有（3，4
）处、（8，5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性
相同，有可能满足．进一步验证，有（9，3）处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，（4，
2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）处剪开的末两位数字之差为
62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以从（
9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处剪开，所得的两个互为
反序的九位数的差才是 396 的倍数．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7
），（1，9）处左右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，9．
133. 以多位数 142857314275 为例，说明被 7、11、13 整除的规律．【答案】 见解析．
【分析】
142857314275= 142×1000000000+857×1000000+314×1000+275
= 142×(1000000001-1)+857×(999999+1)+314×(1001-1)+275
= 142×1000000001-142+857×999999+857+314×1001-314+275
= (142×1000000001+857×999999+314×1001)+(857-142+275-314).
因为根据整除性质知，等式右边第一个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性质，
要判断 142857314275 能否被 7、11、13 整除，只需判断 857-142+275-314 能否被
7、11、13 整除，因此结论得到说明．142857314275 能被 13 整除，不能被 7 和 11 整
除．
134. 六位自然数 1082▫▫ 能被 12 整除，末两位数最大是多少？
【答案】 88
【分析】 试除法，因为 108299÷12=9024⋯11，所以 108299-11=108288 能
被 12 整除，且符合末两位是最大的．
135. 六位数 20▫▫08 能被 99 整除，▫▫ 是多少？
【答案】 71
【分析】 方法一：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以 ▫▫00+28 能被 99 整
除，商 72 时，99×72=7128，末两位是 28，所以 ▫▫ 为 71；
方法二：99=9×11，20▫▫08 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以方框中
数字的和只能为 8 或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6 或 5，可得
▫▫ 是 71．
136. 请将 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 按合适的顺序写成一行，使得这一行的数
中的任意一个数都能整除它前面所有数之和．
【答案】 6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11
【分析】 构造方式不唯一，从最后思考，总和 66，把 11 放到最后，剩 55，放个
5，剩 50⋯ 找规律可得．
137. 用 1、2、3、4、5、7 这 6 个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是 11 的倍
数．有多少种不同的方法？
【答案】 72．【分析】 用 1,2,3,4,5,7 各一次组成六位数，六个数字的和为 22，若为 11 的倍数，
则奇位和与偶位和的差只能为 0，奇位填 1,3,7，偶位填 2,4,5，考虑到 1,3,7 可以互换，
2,4,5 可以互换，故共有 A3×A3=36 种填法，同理奇位填 2,4,5，偶位填 1,3,7，也有 36
3 3
种填法，共 72 种填法．
138. 大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 π 的值在 3.1415926 和
3.1415927 之间，成为世界上第一个把 π 的值精确到 7 位小数的人．现代人利用计算机已
经将 π 的值计算到了小数点后 515 亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同
学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是质数，但 314 不是质数，那么在 3141，
31415，314159，3141592，31415926，31415927 中，哪些是质数？
【答案】 314159
【分析】 注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927 依次能被 3，5，
2，2，31 整除，所以，质数是 314159．
139. 在 11∼45 这 35 个数中，所有不被 3 整除的数的和是多少？
【答案】 638
【分析】 先求被 3 整除的数的和；11∼45 中能被 3 整除的数有 12，15，⋯，
45，和为：
12+15+⋯+42+45=(12+45)×12÷2=342；
于是，满足要求的数的和为：
(11+⋯+45)-342=980-342=638．
140. 多位数 A 由数字 1、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而
且 A 可以被 A 中任意一个数字整除，求这样的 A 的最小值．
【答案】 1117935
【分析】 1+3+5+7+9＝25，被 9 整除，少 2，需要增加 2 个 1．被 5 整除，
5 放在个位，求最小，从小到大尝试，验证被 7 整除：1113795、1113975、1117395 不能
被 7 整除，1117935 能被 7 整除．
141. 如果 a+b+c 是 5 的倍数，2a+3b+4c 也是 5 的倍数，求证 a-c 是 5 的倍数．
（a、b、c 都是自然数）
【答案】 见解析
【分析】 a-c=3(a+b+c)-(2a+3b+4c)，所以 a-c 能被 5 整除．142. 设 a＠b=[a,b]+(a,b)，其中，[a,b] 表示 a 与 b 的最小公倍数，(a,b) 表示 a
与 b 的最大公约数．比如，6 和 9，最小公倍数是 18，最大公约数是 3，则
6＠9=18+3=21．
（1）求 14＠4；
（2）说明，如果 c∣a，且 c∣b，则 c∣a＠b；（|表示整除）
（3）已知 6＠x=33，求 x．
【答案】 （1）30；（2）c∣a＠b；（3）15；
【分析】 （1）根据“＠”的定义，先求出 14 与 4 的最小公倍数为 28，最大公约
数为 2，则：
14＠4=[14,4]+(14,4)=28+2=30.
（2）如果 c∣a 且 c∣b，则有：
c∣[a,b],c∣(a,b),
因此
c∣[a,b]＋(a,b),
即 c∣a＠b．
（3）由“＠”的定义，有：
[6,x]+(6,x)=33,
而 (6,x) 只能是 1，2，3，6；
所以 [6,x] 只能是 32，31，30，27，这其中只有 30 是 6 的倍数，故有：
[6,x]＝30,(6,x)=3.
利用公式
[a,b]⋅(a,b)=ab,
得：30×3=6x，即 x=15．
143. 如果一个非零自然数能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如
16=52-32，16 就是一个“智慧数”．在自然数列中从 1 开始数起，试问第 1990 个“智
慧数”是哪个数？并请你说明理由．
【答案】 2656
【分析】 显然 1 不是“智慧数”，而大于 1 的奇数
2k+1=(k+1) 2-k2,
都是“智慧数”．4k=(k+1) 2-(k-1) 2,
可见大于 4 且能 4 被整除的数都是“智慧数”而 4 不是“智慧数”，由于
x2- y2=(x+ y)(x- y)
当 x，y 奇偶性相同时，(x+ y)(x- y) 被 4 整除．
当 x，y 奇偶性相异时，(x+ y)(x- y) 为奇数，剩下的形如 4k+2 的数不是“智慧数”．
所以在自然数列中前四个自然数中只有 3 是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧
数”，由于 1989=3×663，所以 2656=4×664 是第 1990 个“智慧数”．
