线性方程组解的存在性定理

对  元线性方程组 , (1) 无解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})

(2) 有唯一解的充分必要条件是 ;

(3) 有无穷多解的充分必要条件是 .

这个定理是线性代数课程中基础且重要的结论之一。然而，国内多数教材在给出定理及其简要证明后便止步于此，对定理的内涵及证明过程中的细节往往着墨不多。本文就此做一些补充说明。

一、就这些情况吗？

看到定理后，初学者最容易想到的一个问题是：

就这些吗？

换句话说， 元线性方程组解的情况是否只有无解、唯一解和无穷多解这三种情形？有没有可能存在恰好两个解或三个解的情况？

答案是：线性方程组的解的确只有这三种情况。

在学完“线性方程组解的性质”后，这一结论的证明是较为简单的，但在多数教材中，该部分内容位于较后的章节。下面，我们用逻辑推理的方法，先行说明为什么“线性方程组只可能是无解、唯一解和无穷多解这三种情况之一”。

事实上，由矩阵秩的性质

可知，必有 。因此，当线性方程组有解时，只可能有两种情形：

，即方程组有唯一解；

，即方程组有无穷多解。

换句话说，在承认“线性方程组解的存在性定理”的前提下，便可自然推得：线性方程组不可能有且仅有  个解。当然，更严谨的证明过程还需在学习“线性方程组解的性质”之后才能给出。

二、如果系数矩阵的行最简形不是那样呢？

在定理的证明过程中，几乎所有教材都会“不妨假设”系数矩阵  的行阶梯形为：

但读者很容易发现，实际得到的行阶梯形未必都是这种整齐的形式。例如，线性方程组

其增广矩阵的行阶梯形为：

这是否说明教材的证明不够严谨呢？当然不是。只是教材通常略去了一个重要的前提说明：在讨论解的存在性与唯一性时，我们关心的仅是方程组是否有解以及有多少个解，而并不关注具体的解是什么。

针对这一研究目的，线性方程组

与前面的方程组  就完全是等价的。也就是说，在讨论线性方程组解的存在性与唯一性问题时，我们是允许对增广矩阵中的系数列进行列交换的。需要注意，这里的列交换仅限于系数列之间。