夜雨聆风
用AI大模型完成2026年广州二模高三数学试卷,能拿多少分?
试题回放
考试名称：2026年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学科
考试时间：2026年4月20日15:00至17:00
豆包的答卷
隆重请出今天的主角，国内目前最家喻户晓的AI大模型——豆包．让我们掌声欢迎豆老师登场！
笔者特地在考试结束后的第一时间对豆包进行考试，此时官方参考答案还未发布，无法通过联网搜索直接获取答案，只能根据已有模型进行思考．考试日当天17:30至18:00期间，笔者在将试题内容逐题截图上传，并采用快速模式．下面是豆包的答卷，一起来看看吧！
注：为使公众号排版美观，笔者在不改变原意的情况下，对部分文字进行了修改．限于篇幅，非解答题的作答过程在文末“阅读原文”链接中展示．
一、单项选择题
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二、多项选择题
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三、填空题
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13. 14.
四、解答题
15.(1) 根据正弦定理，，，，代入已知条件
可得
因为 ，所以
代入上式，得
两边消去 ，得
在中，，两边同除以，得
因此
(2) 已知 ，，且 ，可得
由三角形面积公式
代入，，得
再由余弦定理
代入，，，得
故（边长为正）． 因此，的周长为
16.(1) 当 时，函数为
计算 ，得
求导，得
在 处的导数为
由于切线过点 ，斜率为 ，故切线方程为
求与坐标轴的交点．令 ，得 （ 轴截距）；令 ，得 （ 轴截距）．计算三角形面积，得
(2) 已知 是的极值点，故且．写出并代入，即
得关系式由此可知 ．化简 ，得
由式得 ，代入上式得
故只需证明
分析 的单调性．对 求导，得
令 ，求导得
当 时，，故 在 上单调递增．又
故当 时，，单调递减；当时，，单调递增．因此，在 处取得最小值
又当 时，；当 时，由式，，矛盾，故 ．综上，，即 ．
17.(1) 计算矩形 中相关线段长度．矩形 中，，，则对角线
由 ，利用面积法，得
即 ，解得
同理，（矩形中与为对应高）．翻折后，，且，，故与的夹角为．设到平面的距离为，因为，，所以平面．则（ 与平面夹角的正弦值），即
由于底面 的面积为
因此三棱锥体积为
(2) 建立空间直角坐标系．以 为原点，为轴，为轴，过作垂直平面的直线为轴．，方向为 轴，由
故 ，．由
故，．因与夹角，故分量为，分量为，故
求向量 与 ，得
计算夹角余弦值
点积为，绝对值为 ．由于
． 代入得
18.(1) 已知椭圆 ，离心率，故．由，得．直线被椭圆截得的线段长为，将 代入椭圆方程，得
线段长为 ，故 ，即
代入 ，得
解得 ，则 ．故椭圆 的方程为
(2) (i) 设过点 的直线 的方程为 （），设 ，（）．联立
消去 ，得
由韦达定理
直线 过点 和 ，其方程为
令 ，得 的纵坐标
因 ，代入得
由于，，且 ，，故 ，．计算 ，得
通分并代入 ，结合韦达定理化简，可得
故 为定值，定值为．
(ii) 由(i)知 ，即，说明直线与关于直线对称．设直线与轴交于点，则直线的方程为，直线的方程为．点在上，故；点在上，故．两式相除得，即．代入，，得
将韦达定理 ， 代入，得
两边同乘 （），得
解得 ．故直线 恒过定点．
19.(1) 当 时，从 中取3个数构成等差数列．可能的数列：、，故 ．所有项之和为
当 时，从 中取3个数构成等差数列．可能的数列：、、、，故 ．所有项之和为
(2) 设三个数成等差数列，为 （），则需满足．公差的取值范围：，且，故有种选择．的最大值：．分两种情况讨论．为偶数：设（），则，此时
为奇数：设 （），则 ，此时
综上，
(3) 设等差数列 的和为 ，所有数列的和为
其中 ，代入得
而 ，故 ．当 为偶数时，，则
当 为奇数时，，则
综上，
丢分点评析
一、第11题漏选C选项，扣2分．
来看一下豆包对C选项的解题思路．由于，，故
平面与正方体的交线分别为，，，该平面会与交于点．设，平面的方程为，代入得，即，说明平面与无交点，而是与交于，代入平面方程得，解得．计算下方部分四棱锥的体积为
错在哪里呢？第一步计算线段的长度并没有错，而第二步中将平面与正方体的截面求错了．如图所示，正确的截面应为梯形，随后判断出多面体为三棱台，根据棱台的体积公式求得其体积恰为．豆包给出的解析中，“平面与正方体的交线分别为，，”这句话是有问题的，因为并不在正方体的表面上．尝试求平面与直线或的交点，也是南辕北辙．由于豆包在给出解析时并没有附图，我们无从得知其是否理解了该几何体中各几何要素之间的相对关系．
二、第17题第(2)问，扣5分．
错误的原因是误将点的坐标计算为，正确的坐标应为．此外，用坐标法完成立体几何解答题时，一般要求建立右手坐标系，而豆包作答时建立的是左手坐标系，虽然不影响最终结果，但也是不符合规范的．
三、第18题第(2)问，扣9分．
其中第(i)小问结论错误，并非为定值．错误的原因是没有写出通分和化简运算的步骤，想当然地认为应当恒等于，然而命题者命制该小问时进行了反套路设计，它并非常见的定值问题，这也是学生学习时容易犯的错误．第(ii)小问在第(i)小问的基础上进行设问，豆包没能做对第(i)小问，自然也没法做对第(ii)小问．此外，以点的纵坐标为参数，足以求出直线恒过的定点，而引入直线与轴的交点实属画蛇添足，反而增加了计算量．
综上所述，满分150的试卷，豆包得分134分．屏幕前的各位读者，比比看，你能考得过豆包吗？
一些总结
笔者将“丢分点评析”中的内容发送给豆包后，豆包是如何回复的呢？一起来看看豆包的自我评价．
这份答卷体现了我在标准化数学测试中的 “上限”：对常规题型、套路化知识的掌握十分扎实，但在需要具象化空间想象、严谨逻辑推导和反套路设计的题目中，容易暴露短板．其失分并非源于知识空白，而是源于对几何结构的理解偏差、对细节和规范的忽视，以及对 “套路” 的依赖，这也是学生在高中数学学习中同样容易出现的典型问题．
笔者在研读豆包的解题过程时，也发现一些闪光点．例如第8题，豆包没有使用传统的求导法，而是抓住三次函数特有的性质，将题目所给的函数转化为以下形式
随后采用比较系数的方法，将表示成关于的单变量函数．另外，第19题的思维量较大，但豆包能用简洁的符号和清晰的逻辑将解题过程呈现出来．相较于官方参考答案提供的4种解法，豆包的解法更新颖，能为学有余力的学生提供破解难题的新思路．
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查看豆包非解答题的作答过程