西电开学考第5题·20种解法(上)

第 5 题。这道题的坑不在展开，在系数前面挂的是什么。
题目：(x²−x+1)^2026 = a₀ + a₁x + … + a₄₀₅₂x⁴⁰⁵²，求 2a₀ + 3a₁ + … + 4054·a₄₀₅₂。
答案：2028。
多数人第一反应是「求导再代 x=1」，方向没错，但先要看清：
系数 aₖ 前面挂的是 k+2，不是 k。
这一字之差，决定了你算的是 Σk·aₖ 还是 Σ(k+2)·aₖ。
上篇 7 种：
解法一 求导赋值法 —— 把求和翻译成求值
解法二 辅助函数法 —— 要什么权重，就把指数造成什么
解法三 算子法 —— θ 保住 x^k 的形状
解法四 对数求导法 —— 先取对数，再算 P′(1)/P(1)
解法五 因式分解法 —— 先把 P(x) 拆开再代
解法六 二项展开法 —— 硬展开，看系数规律
解法七 泰勒展开法 —— 在 x=1 处展开，只取前两项
另一句「求系数加权和」，可以被读成求导、可以被读成造辅助函数、也可以被读成两个单位根的幂和。