西电开学考第10题·20种解法(上)

第 10 题。这道题难的不是找解，是筛掉伪解。
题目：{sinθ, sin2θ, sin3θ} = {cosθ, cos2θ, cos3θ}，求 θ。
答案：θ = π/8 + kπ/2（k ∈ Z）。
两个最自然的必要条件 —— 「和相等」与「平方和相等」——
各自都会多给候选：一个给 6 个，一个给 12 个，合计 18 个。
但代回原式，只剩 4 个。必要条件不等于充分条件。
上篇 7 种：
解法一 角对应法 —— 从「集合相等」直接得到配对关系
解法二 配对穷举法 —— 六个数的配对方式有限，一种种试
解法三 特殊值试探法 —— 先猜 π/8，再验证
解法四 和相等法 —— 两集合相等 ⟹ 和相等
解法五 伪解验证 —— 必要条件给的解，必须代回筛
解法六 平方和法 —— 两集合相等 ⟹ 平方和相等
解法七 积相等法 —— 两集合相等 ⟹ 积相等
同一句「集合相等」，可以被读成配对、可以被读成对称、也可以被读成两个多项式恒等。