西电开学考第10题·20种解法(中)

第 10 题。这道题难的不是找解，是筛掉伪解。
题目：{sinθ, sin2θ, sin3θ} = {cosθ, cos2θ, cos3θ}，求 θ。
答案：θ = π/8 + kπ/2（k ∈ Z）。
两个最自然的必要条件 —— 「和相等」与「平方和相等」——
各自都会多给候选：一个给 6 个，一个给 12 个，合计 18 个。
但代回原式，只剩 4 个。必要条件不等于充分条件。
中篇 9 种：
解法八 次序统计法 —— 把六个数排序后逐个比对
解法九 极值对齐法 —— 用最大最小值先框定范围
解法十 差集配对法 —— 把 sin 与 cos 的差当线索
解法十一 复数法 —— 把三角化成单位根
解法十二 单位圆几何法 —— 在圆上看三个点的对称关系
解法十三 对称性分析 —— 关于 45° 轴的镜像对称
解法十四 有理化法 —— 用 t = tanθ 把三角变成代数
解法十五 稠密扫描法 —— 先扫一遍，看清解在哪
解法十六 二分法定位 —— 先粗定位，再逐步逼近
同一句「集合相等」，可以被读成配对、可以被读成对称、也可以被读成两个多项式恒等。