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【一等奖初中数学论文】基于纽结理论的跨学科主题式学习实践与探究——以“绳机妙算·结系乾坤”为例
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【摘要】初中数学的系统化主题式学习实践应紧扣《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“加强学科关联，推进跨学科主题学习”的核心要求，借助课堂实操、小组合作等多形式，为初中阶段跨学科教学提供兼具科学性与可操作性的教学方案。研究聚焦“纽结”这一兼具生活性、科学性与文化性的核心问题，整合数学、历史、物理等多学科知识点，从学生日常可见的“鞋带绳结松紧差异”这一真实生活问题切入，通过“历史溯源—数学探理—应用拓展”的递进式学习活动，开展系统化的主题式学习实践研究。
【关键词】纽结理论；跨学科；主题式学习；初中数学
驳船结 和 外科结
1 引言
1.1 理论背景：纽结理论的发展历史
绳结早已深刻烙印在人类生活中，早至古时的绳结记事，再到服饰中的盘扣纽结等，凸显着人类对绳结的运用与探索。然而数学中的纽结研究发展并不算漫长和顺利，纽结理论真正发展成为拓扑学的一个分支，可追溯到200多年前。1771年，法国数学家范德蒙德在研究几何时就注意到了纽结的特性，但此时未有系统的理论。高斯在1833年引进了环绕数，这成为研究纽结理论的基本工具之一。一直到20世纪初，拓扑学高速发展，纽结理论随之取得了重大突破。美国数学家亚历山大发现并提出了纽结不变量，但这并不能完美地将纽结进行区分，直到1984年新西兰数学家琼斯发现的琼斯多项式才令这一问题得以解决，使纽结理论成为世界数学界关注的焦点之一，并由此进入了全新的发展阶段，开辟了同其他数学分支的联系。
1.2 现实背景：新型命题趋势的适配性探索
从各类不断更新的政策法规来看，跨学科被认为是推动教育创新和发展的重要手段。2021年，我国原先的13大学科门类正式变更为14大学科门类，增设了“交叉学科”这一门类[4]。教育部发布并出台的新版课程标准和一系列政策文件更进一步强调跨学科的重要性与必要性，同时提倡各学校开展跨学科课程建设和实践活动，鼓励各市、区内整合相关资源开发并打磨地方性跨学科课程。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中就强调需要以核心素养为导向，明确指出需“加强学科间相互关联”“推进跨学科主题学习”，要求每学期此类学习占比不低于10%，同时强调数学教学需“衔接高中学习需求，培养学生迁移能力”。
2025年高考综合改革适应性演练数学试卷（简称“八省联考”）选择题第11题，是一道以三叶结为核心的拓扑纽结题，其以直观的平面图形呈现纽结结构，引发全网热烈讨论。这一趋势体现了“生活数学”与“高阶思维”的有机融合，在一定程度上为初中拓展教学提供了衔接方向。
问题 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图1中的绳结的有（ ）。
1.3 现实困境：纽结理论相关主题教学的稀缺
从学校层面来看，愈来愈多的高校乃至中小学开始重视跨学科。部分学校通过构建跨学科课程体系，如开展“STEM课程”等数学科教活动，推动跨学科教育的实施。但目前国内跨学科主题式教学案例多集中于“黄金分割”“汽车盲区”或各地相关地标建筑研究，聚焦在“纽结理论”的相关实践较少。即便偶有涉及纽结，也多停留在“中国结编织”“绳结制作”等浅层活动，鲜少涉及数理本质。
虽然在义务教育初中阶段并未涉及有关拓扑学的系统知识，但纽结理论难以直接应用到初中数学教学中，但纽结直观易操作，学生可借助实物绳子进行一系列实验，聚焦初中学生可直观感知的“交叉数观察”“分隔区域数观察”“三染色性实验”“同余”等内容，既符合新课标中的“图形与几何”领域的空间想象、逻辑推理素养要求，又能实现从生活到数学结论的迁移。
2 教学过程设计与实施
2.1 选题依据
以“鞋带绳结松紧差异”这一学生生活中高频接触的真实问题为切入点，这种源于日常的探究驱动具有天然的探究吸引力，能够直接激发学生自主探究欲望，契合新课标“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界”的实践导向，在课堂上让学生感知“高阶数学问题源于日常”，建立“生活即课堂”的认知。
2.2 教学设计
环节1 课题导入。
首先引导学生透过数学的眼光观察世界，以生活现象为线索，接着以纽结历史文化为载体进行展开。具体教学环节、驱动问题、主要内容见表1。
环节2 概念辨析。
在简单了解纽结研究历史后，需进一步实现“生活绳结”到“数学纽结”的概念转化，明确数学中纽结的定义、分类及特点。本环节以“定义—区分—分类”为脉络，其具体问题链设计与建构路径见表2。
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