【真题】2021年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2021年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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函数

在  处 ?

(A) 连续且取得极大值

(B) 连续且取得极小值

(C) 可导且导数等于零

(D) 可导且导数不为零

根据定义判断即可，选 D。

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设函数  可微，且 ，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。两个方程都对  求导并赋值，得到方程组求解即可。

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设函数  在  处的  次泰勒多项式为 ，则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 A。泰勒的简单应用。

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设函数  在区间  上连续，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 B，深刻考察定积分的定义“分割、近似、求和，取极限”。首先在考场上的最优解是直接取  排除 ACD 选 B 走人。

下面介绍常规方法，一共分三步走：

1. 整理和式，提出  并找到 ；
2. 确定积分上下限，即确定  时变化量  的范围 ；
3. 确定步长（调整  的系数）：，也就是 .

过程如下：

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设二次型  的正惯性指数与负惯性指数依次为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 B。直接三个括号分别换元并不是可逆线性变换，因此只能使用常规方法。

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已知

若  两两相交，则  依次为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 A。直接考察  正交化。

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设  为  阶实矩阵，下列结论不成立的是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。考察分块初等变换。

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设  为随机事件，且 0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是 ?

(A) 若 ，则 

(B) 若 ，则 

(C) 若 ，则 

(D) 若 ，则 

选 D。前三个选项根据定义推导即可，过程如下：

而 D 选项只能得到 ，并不能推出 .

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设  为来自总体  的简单随机样本，令 ，则 ?

(A)  是  的无偏估计，

(B)  不是  的无偏估计，

(C)  是  的无偏估计，

(D)  不是  的无偏估计，

选 C。首先根据无偏性的定义验证无偏性；然后根据方程的性质求解，注意计算  的时候拆开进行计算，利用不同样本之间相互独立（），以及二维正态  即可得到结论。

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设  是来自总体  的简单随机样本，考虑假设检验问题：

， 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 ，其中 ，则  时，该检验犯第二类错误的概率为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 B。假设检验，第一类错误为“弃真”，即 ，也被称为“显著性水平”；第二类错误为“取伪”，即 。题目求的是在  也就是  成立的情况下，接受  的概率，注意这里的  并不是题目给的 ，是拒绝域的对立事件。

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 ?

配方套公式。

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设函数  由参数方程

所确定，则  ?

参数方程求导。

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欧拉方程  满足条件  的解为  ?

2004 年数一第 4 题首次考察欧拉方程，纯套路题。

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设  为空间区域  表面的外侧，则曲面积分

直接运用高斯公式，注意对称性的运用。

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设  为 3 阶矩阵， 为代数余子式，若  的每行元素之和均为 2，且 ，则  ?

都加到第一列上，然后按照第一列展开即可。

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甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令  分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则  与  的相关系数为 ?

除了相关系数的公式外均为高中知识。

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求极限

21 年为新大纲的第一年，高数缩减到了 4 到大题，在这种情况下还专门拿出一道大题来考察极限，可见命题人对极限是很重视的。

本题通分之后时间泰勒展开即可，当然一直洛也是能做出来的。

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设 ，求级数  的收敛域及和函数。

拆成三个幂级数求和，后两个直接运用泰勒；注意  处的情况。

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已知曲线 

求  上的点到  坐标面距离的最大值。

高中题，和 2008 年数一第 17 题完全一致，直接柯西。

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设  是有界单连通闭区域， 取得最大值的积分区域为 .

(1) 求  的值;

(2) 计算 ，其中  是  的正向边界。

第一问使用极坐标计算一个简单的二重积分。

第二问，挖洞法。

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已知

(1) 求正交矩阵 ，使得  为对角矩阵;

(2) 求正定矩阵 ，使得 .

第一问，常规题。

第二问，代入第一问得到的  得到  合同于对角阵，从而得到特征值，开方得到  的特征值，于是 。在计算过程中将  列分块后计算会极大减少计算量，避免求 。

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在区间  上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 ，较长一段的长度为 ，令 .

(1) 求  的概率密度;

(2) 求  的概率密度;

(3) 求 .

第一问，考察  服从的分布，我们将随机取点的位置设为 ，据此证明即可。事实上 ；。

第二问，化为  计算。

第三问，送分题。

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