1989数学三真题答案解析（试卷四）_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解_1987-2004年数三真题解析

1989 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷四）
一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)
 
(1) 曲线yxsin2 x在点 ( ,1 ) 处的切线方程是 yx1 .
2 2
 xn
(2) 幂级数 的收敛域是 [1,1) .
n1
n1
x x x 0
1 2 3

(3) 齐次线性方程组 x x x 0 只有零解，则应满足的条件是 1 .
1 2 3


x x x 0
1 2 3
 0 若x0
(4) 设随机变量X 的分布函数为F(x)  Asinx 若0x/2 ,则A = 1 ；

 1 若x/2

P{|x|< }= 1/2 .
6
(5) 设随机变量 X 的数学期望 EX=μ ,方差 DX=2，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，
有P{ X  3} 1/9 .
二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)
(1) 设 f(x)2x 3x 2, 则当x→0时， (B)
(A) f(x)与x是等价无穷小量 (B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小量
(C) f(x)是比x较高阶的无穷小量 (D) f(x)是比x较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中，正确的结果是 (C)
(A)  f(x)dx f(x) (B) df(x) f(x)
d
(C)  f(x)dx f(x) (D) d f(x)dx f(x)
dx
(3)设.A 是(cid:1)4 阶矩阵，且(cid:1)A 的行列式 A (C)
(A) 必有一列元素全为(cid:1)0；
(B) 必有两列元素对应成比例；(cid:1)
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.
(4)设.A 和(cid:1)B 均为(cid:1)n n 矩阵 , 则必有
(C)
(A) AB  A  B ( B) ABBA
(C) AB  BA (D) (AB)1  A1 B1(5) 以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件A为 (D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”
(C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题 (本题满分15分，每小题5分)
1 1
(1) 求极限lim(sin cos )x
x x x
1
解：设u  ，则当x时，u 0.
x
1 ln(sinucosu)
lim
原式lim(sinucosu)u ｅｕ0 u . „„ 1分
ｕ0
ln(sinucosu) cosusinu
而lim lim 1 „„ 4分
ｕ0 u ｕ0sinucosu
于是原式＝e. „„ 5分
2z
(2) 已知z  f(u,v)u  x y,v xy，且 f(u,v)的二阶偏导数都连续, 求 .
xy
z f u f v f f
解：       y „„ 2分
x u x v x u v
2z 2f u 2f v  2f u 2f v f
     y     „„ 4分
xy u2 y uv y vu y v2 y v
2f 2f 2f 2f f
 x  y xy 
u2 uv vu v2 v
2f 2f 2f f
 (x y) xy  . „„ 5分
u2 uv v2 v
(3) 求微分方程 y5y6y 2ex 的通解.
解：由特征方程为r25r6(r2)(r3)0，知特征根为2,3. „„ 1分
于是对应齐次微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x . „„ 2分
1 2
其中C ,C 为任意常数.设所给非齐次方程的特解为y*(x) Aex . „„ 3分
1 2
将 y*(x)代入原方程，可得A1，故所给非齐次微分方程的特解为y*(x)ex . „„ 4分
从而，所给微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x ex . „„ 5分
1 2
四、（本题满分9分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
x

p p(x)10e 2 且最大需求量为6，其中x表示需求量，p表示价格.
（1）求该商品的边际收益函数；（2分）
（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4分）
（3）画出收益函数的图形.（3分）x

解：(1) 收益函数为R(x) px10xe 2, 0 x6; „„ 1分
dR  x
边际收益函数为MR 5(2x)e 2. „„ 2分
dx
x

(2) 由R5(2x)e 2 0，得驻点x  2.
0
5 x
由于R|  (x4)e 2 5e1 0. „„ 4分
x0
2
x0
x

可见R(x)在点x2处达到极大值，亦即最大值R(2)10xe 2 20e1.
x2
于是当产量为２时，收益取最大值20e1，而相应的价格为10e1. „„ 6分
(3) 由上面的计算结果，易得下表
x [0,2] 2 [2,4] 4 [4,6]
R  0  
R    0 
20 40
R 单增，凸 极大值 单减，凸 (4, ) 单减，凹
e e2
„„ 9分
收益函数的图形为
五、（本题满分9分）
 x 若0 x 1
已知函数 f(x)   ，试计算下列各题：
2x 若1 x  2
2 4
(1) S  f(x)exdx ，（4分）； (2) S  f(x2)exdx，（2分）；
0 1
0 2
(3) S 
2n2
f(x2n)exdx （n=2,3,„）（1分）； (4) S 

S .（2分）
n n
2n
n0
1 2
解：(1) S  xexdx (2x)exdx. „„ 1分
0
0 1其中 1 xexdx xex1  1 exdx12e1， „„ 2分
0 0 0
 2 (2x)exdx(2x)ex 2  2 exdxe2. „„ 3分
1 1 1
从而S 12e1e2 (1e1)2. „„ 4分
0
4 2
(2) 令t  x2，则S  f(x2)exdx f(t)et2dt S e2. „„ 6分
1 0
2 0
2
(3) 令t  x2n，则S  f(t)et2ndt S e2n . „„ 7分
n 0
0
  
(4) S S S e2n S  (e2)n „„ 8分
n 0 0
n0 n0 n0
S e1
 0  . „„ 9分
1e2 e1
六、（本题满分6分）
假设函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f (x)0，记
x
1
F(x)   f(t)dt，证明在(a,b)内F(x)0.
xa
a
证： 由于 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，因此
1 1 x 1  1 x 
F(x) f(x)  f(t)dt   f(x)  f(t)dt . „„ 2分
xa (xa)2 a xa xa a 
1 x
由积分中值定理知，存在, a x，使 f()  f(t)dt.
xa a
1
因此F(x) f(x) f() . „„ 4分
xa
又由于 f(x)0，知 f(x)在(a,b)上非增函数，所以当x时， f(x) f  .
1
因 0，故由此可知F(x)0. „„ 6分
xa
七、（本题满分5分）
 0 1 0  1 1
   
已知X=AX+B,其中A 1 1 1 ,B  2 0 ,求矩阵X..
   
   
 1 0 1 5 3
解： 以E表示3阶单位矩阵，由X=AX+B，有(E-A)XB. „„ 1分
1 1 0 
 
其中EA 1 0 1 . „„ 2分
 
 
1 0 2  0 2/3 1/3
 
其逆矩阵为(EA)1  1 2/3 1/3 ； „„ 4分
 
 
 0 1/3 1/3
 0 2/3 1/31 1 3 1
    
于是X(EA)1B 1 2/3 1/3 2 0  2 0 . „„ 5分
    
    
 0 1/3 1/35 3 1 1
八、（本题满分6分）
设   1,1,1  ，   1, 2,3  ，   1, 3, t  ，
1 2 3
(1) 问当t为何值时，向量组,,线性无关？（3分）
1 2 3
(2) 问当t为何值时，向量组,,线性相关？（1分）
1 2 3
(3) 当向量组 ,, 线性相关时，将表示为和 的线性组合.（2分）
1 2 3 3 1 2
解：设有实数k ,k ,k ，使ka k a k a 0，则得方程组：
1 2 3 1 1 2 2 3 3
k k k 0 1 1 1
1 2 3

k 2k 3k 0 （*）， 其系数行列式为 D 1 2 3 t5. „„ 2分
1 2 3

 k 3k tk 0 1 3 t
1 2 3
(1) 当t 5时，D 0，方程组（*）只有零解：k k k 0.这时，向量组a ,a a
1 2 3 1 2, 3
线性无关. „„ 3分
(2) 当t 5时，D 0，方程组（*）有非零解，即不存在不全为0的常数k ,k ,k ，
1 2 3
使ka k a k a 0，这时，向量a ,a a 线性相关. „„ 4分
1 1 2 2 3 3 1 2, 3
1 1 1 1 1 1
   
k k 0
(3) 设t 5.由 1 2 3  0 1 2 知方程组（*）可化为 1 3 .
   
 1 3 5    0 0 0   
k
2
2k
3
0
令k 1，得k 1,k 2.因此，有a 2a a 0.从而a 可以通过a 和a 表示为
3 1 2 1 2 3 3 1 2,
a a 2a . „„ 6分
3 1 2
九、（本题满分5分）
1 2 2 
 
设A 2 1 2 ，
 
 
 2 2 1
(1) 试求A矩阵的特征值.（2分）
(2) 利用(1)小题的结果，求矩阵E A1的特征值.其中E是三阶单位矩阵（3分）1 2 2
解：（1）矩阵A的特征方程为|EA| 2 1 2 (1)2(5)0，
2 2 1
由此得矩阵A的特征值1,1,5. „„ 2分
1
（2）由于矩阵A的特征值1,1,5，可知A1的特征值为1,1, . „„ 3分
5
1
因此，有|EA1|0， ( )EA1 0.由此可见|(11)E(EA1)|0，
5
1 4
|( 1)E(EA1)|0，即|2E(EA1)|0，| E(EA1)|0.
5 5
4
于是，矩阵EA1的特征值2,2, . „„ 5分
5
十、(本题满分7分)
e(xy) 若0 x ,0 y  
已知随机变量X和Y的联合密度为 f(x,y)   ，
 0 其他
试求：(1) P{X Y} (5 分) ； （2）E(XY) (2分)
解：(1) P{X Y}  f(x,y)dxdy „„ 2分
XY
 y  y  1
  e(xy)dxdy eydy exdy ey(1ey)dy . „„ 5分
0 0 0 0 0 2
   
(2) E(XY)  xye(xy)dxdy  xexdx yeydy 1. „„ 7分
0 0 0 0
十一、(本题满分8分)
设随机变量在 [2,5]上服从均匀分布.现在对X进行三次独立观
测.试求至少有两次观测值大于3的概率.
解：以A表示事件“对X 的观测值大于3”，即A{X 3}，由条件知，X 的密度函
1
数为 f(x)  3 若2 x5 ，P(A)P{X 3} 51 dx 2 . „„ 4分
3 3 3
 0 其他
以u 表示三次观测值大于3的次数（即在三次独立观测中事件A出现的次数）.
3
2
显然，u 服从参数为n3， p  的二项分布，
3
3
2 1 2 20
因此，所求概率为P{u 2}C2( )2 C3( )3  . „„ 8分
3 3 3 3 3 3 27