1993年数学三真题答案解析_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解_1987-2004年数三真题解析

1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
6
(1)【答案】
5
2
sin
3x2 5 2 3x2 5 x
【解析】 lim sin 2lim lim ,
x 5x3 x x5x23x x 2
x
2
sin
x sint 3x2 5 6x 3
极限 lim lim 1, 而 lim 洛lim  ,
x 2 t0 t x5x2 3x x10x 5
x
3x2 5 2 3 6
所以 lim sin 2 1 .
x 5x3 x 5 5
3
(2)【答案】
4
3x2 12
【解析】令g  x  ,则有g  0 1, g x  ,则 g 0 3,
3x2  3x2 2
由复合函数求导法则知
dy 3
 f g  0  g 0 3f1 3arctan1 .
dx 4
x0
2
(3)【答案】
2ln3
 1 ln3
【解析】利用几何级数求和公式xn  (x 1),令x ,即得
1x 2
n0
 (ln3)n 1 2
   .
2n ln3 2ln3
n0 1
2
(4)【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于r  A 2,说明A中3阶子式全为0,于是 A 的代数余子式A 0,故A* 0.
ij
 
所以秩 r A* 0.
若熟悉伴随矩阵A*秩的关系式
1n, r  A n,

r  A*  1, r  A n1,

0, r

A
n1,

 
易知 r A* 0.
注：按定义
A A  A 
11 21 n1
 
A A  A
A*   12 22 n2 ,
    
 
A A  A 
1n 2n nn
伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式 A 的代数余子式,是n1阶子式.
(5)【答案】(4.804,5.196)
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
X 
因X 的方差为1,设X 的期望为,则U  N(0,1).
/ n
当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知u u 1.96.因此用公式：
 0.025
2
 
I (x u ,x u ) .
 
n n
2 2
将x5,1,n100,u 1.96 代入上式,得到所求的置信区间为I (4.804,5.196).

2
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
1
由于当x0时,sin 为有界变量, x 为无穷小量,则
x2
1
lim f  x lim x sin 0,且 f  0 0.
x0 x0 x2
于是 f  x 在x0处连续.故(A)(B)不正确.
1 1
xsin  f  0  xsin
又因为 lim
x2
 lim
x2
 lim
1
sin
1
不存在,所以 f  x 
x0 x0 x0 x x0 x x2
在x0处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x 处连续,则有 lim f(x)  lim f(x)  f(x ).
0 0
xx  xx 
0 0
2(2)【答案】(A)
 
1 1 1  f lnx 1 1
【解析】 F x  f  lnx   f       f  .
x x x2  x x2 x
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
d

x
f  t  dt  f   x   x  f   x   x .
dx x
(3)【答案】(B)
【解析】A   A有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值  时,特征向量, 线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,
1 2 1 2
矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).
(4)【答案】(D)
P(AB)
【解析】P(B A) 1的充分必要条件是 1,即P(AB)P(A).显然四个选项中,
P(A)
当 A B 时, AB  A,可得P(AB)P(A) .因此 A B 是P(B A) 1的充分条件.因此
选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
a xt a 
F(a)  (x)dx   (t)dt  (x)dx,
  a

随机变量X 的密度函数为(x),则 (x)dx 1,又由于(x)(x),所以

0  1
 (x)dx  (x)dx  ,(偶函数积分的性质)
 0 2
a 0 a  1
即 (x)dx (x)dx  (x)dx (x)dx  .
 a 0 a 2
a   a 1 a
于是 F(a)  (x)dx   (x)dx   (x)dx (x)dx   (x)dx .
 a 0 0 2 0
故应选(B).
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
dzdydxezyxdxxezyx  dzdydx  0.
整理后得  1xezyx  dz   1xezyx ezyx  dx  1xezyx  dy.
31xezyx ezyx
由此,得dz  dxdy .
1xezyx
方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将z yxxezyx  0两边分别对x,y求偏导,
z 1ezyx xezyx  z 1 0,
x x
z 1xezyx  z 1  0,
y y
1 x1  ezyx
解之得 z  ,
x 1xezyx
z 1.
y
1 x1  ezyx
故 dz  zdxzdy  dxdy .
x y 1xezyx
四、(本题满分7分)
 xa 2ax
 xa x  2a  x  2a    2a      xa  
【解析】 lim  lim1  lim1  ,
x xa x xa x xa
2a
令 t,则当x时,t 0,
xa
 xa
lim  1 2a      2a   lim  1t  1 t  e,
x xa t0
 xa 2ax
 2a   2a     xa   lim   2ax  
所以 lim1   ex xa  e2a.
x xa
   
而  4x2e2xdx 2 x2de2x  2x2e2x 4 xe2xdx
 
a a a a
 lim  2b2e2b2a2e2a  2  xde2x
b a
 
2a2e2a 2xe2x 2 e2xdx
 
a a
2a2e2a  lim 2be2b 2ae2a lim e2b e2a
   
b b
2a2e2a 2ae2a e2a ,
由e2a 2a2e2a 2ae2a e2a,得a2 a 0,所以a 0或a 1.
五、(本题满分9分)
【解析】(1) 利润函数为
4L pqC  (d eq)q(aq2bqc) (d b)q(ea)q2c ,
dL dL d b
对q求导,并令 0,得 (d b)2(ea)q0,得q  .
dq dq 2(ea)
d2L d b
因为 2(ea)0,所以,当q  时为利润函数的极大值点,根据题意也是利
dq2 2(ea)
(d b)2
润的最大值点,所以L  c .
max 4(ea)
1 1 p eqd
(2) 因为q(p) (d  p),所以q(p) ,故需求对价格的弹性为 q .
e e q eq
d
(3) 由1,得q  .
2e
六、(本题满分8分)
【解析】由题设可得示意图如右.设P(x, f(x)),P(x,ex 1),则S  PP ,
1 2 1 2
x
即  f(t)dt ex 1 f(x) .
0
两端求导,得 f(x)ex  f (x),即 f(x) f(x)ex.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
p(x)dx p(x)dx
f(x)e (q(x)e dxC)
e
dx
(exe
dx
dxC) (exexdxC)ex Cex 
1
ex.
2
1 1
由初始条件 f(0)0,得C  .因此,所求函数为 f(x) (ex ex).
2 2
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 y p(x)y q(x)的通解公式为:
p(x)dx p(x)dx
y e (q(x)e dxC) ,其中C为常数.
七、(本题满分6分)
【解析】因为 f(x) 分别在[0,c]和[c,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在
(0,c), (c,1),使得
1 2
f(c) f(0) f(1) f(c)
f() , f() ,
1 c0 2 1c
5f(c) f(0) f(1) f(c) f(1) f(0)
由于点C在弦AB上,故有    f(1) f(0),
c0 1c 10
从而 f() f() f(1) f(0).
1 2
这表明 f(x)在区间[,]上满足罗尔定理的条件,于是存在(,) (0,1),使得
1 2 1 2
f()0.
八、(本题满分10分)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以
1
、1 加到第二行和第三行上,再第二行和
1k
第三行互换,再第二行乘以 加到第三行上,有
 2 
 1 1 k  4   1 1 2  4
   
A 1 k 1  k2  1 k 1  k2
   
  1 1 2  4    1 1 k  4  
1 1 2  4  1 1 2  4 
   
 0 k1 3  k24  0 2 k2  8
   
 0 2 k2  8    0 k1 3  k 24 
 
1 1 2  4 
 
 0 2 k2  8  .
 (1k)(4k) 
0 0  k(k 4)
 2 
(1)当k  1且k  4时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解,即
k2 2k k2 2k 4 2k
x  ,x  ,x  .
1 k1 2 k1 3 k1
(2)当k 1时, r(A)3,r(A)2方程组无解.
1 1 2  4 1 0 3  0
   
(3)当k 4时,有A 0 2 2  8  0 1 1  4 .
   
 0 0 0  0    0 0 0  0 
因为r(A)r(A)23,方程组有无穷多解.
取x 为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T.
3
6又导出组的基础解系为(3,1,1)T ,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 A是mn矩阵,线性方程组 Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵A Ab 的秩,即r(A)r(A) .(或者说,b可由A的列向量,,, 线表出,亦
1 2 n
等同于,,, 与,,,,b是等价向量组)
1 2 n 1 2 n
设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则
（1） 有唯一解  r(A)r(A)n.
（2） 有无穷多解  r(A)r(A)n.
（3） 无解  r(A)1r(A).
 b不能由A的列向量,,, 线表出.
1 2 n
九、(本题满分9分)
1  1 0 
   
【解析】经正交变换二次型 f 的矩阵分别为A  1  ,B  1 .
   
 1  1    2 
由于P是正交矩阵,有P1AP B,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有
  A 222 0,
  0.
 EA 20.
【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x ,x ,,x 的二次齐次多项式(即每项都是二
1 2 n
次的多项式)
n n
f  x ,x ,,x a xx ,其中a a ,
1 2 n ij i j ij ji
i1 j1
称为n元二次型,令x x ,x ,,x T ,A  a  ,则二次型可用矩阵乘法表示为
1 2 n ij
f  x ,x ,,x xTAx,
1 2 n
其中A是对称矩阵  AT  A  ,称A为二次型 f  x ,x ,,x 的矩阵.
1 2 n
十、(本题满分8分)
【解析】(1)依题意,因为随机变量X 和Y 同分布,则
7P  A P  X a P  Y a P  B ,
又事件A X a 和B  Y a 独立,故P  AB P  A  P  B .
估计广义加法公式：
P  AB P  A P  B P  A  P  B  2P  A  P  A  2  3 .
 
4
解以P(A)为未知量的方程 P  A  2 2P  A  3 0.得P(A) 1 ,(因P(A) 3 不合题
 
4 2 2
意).
再依题设条件可知
1  23 1
 P(A) P{X a}  f(x)dx x2dx (8a3) .
2 a a8 8
再解以a为未知量的方程:8a3 4,得a  3 4.
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:
E   1      1 f  x  dx   2 1  3 x2dx   23 dx  3 x 2 3 .
 X2   x2 0 x2 8 0 8 8 0 4
十一、(本题满分8分)
【解析】本题的关键在于理解随机变量N  t 的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t
(t)k
的时间内发生k次故障,其概率为P{Ntk} et(k 0,1,2) .
k!
由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当t 0时,F  t P  T t  0;当t 0时,
事件 T t 与 T t 是互逆事件,并且 T t 表示在长为t的时间内没有发生故障,它等
价于事件N  t 0.
(1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量.
当t 0时,F  t P  T t  0;
当t 0时,事件 T t 与  N  t 0  等价.于是有
F  t P  T t 1P  T t 1P  N  t  0  1et.
1et,t 0
因此 F  t  .
0,t
计算得知T 服从参数为的指数分布.
(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此
Q  P  T 16|T 8  P  T 8 1P  T 8 1F(8)1(1e8)e8.
8