哈尔滨2024中考数学压轴真题解析和答案

前两天，才刚出了哈尔滨2025年的压轴题，那个题就够难了，但跟2024年的比，那还不是一个级别，看到2024年的这道题，那可真是压轴题几何王中王来了。

主要还是考查学生圆内接上下两个对顶角的正三角形（当然这个正三角形，需要学生花通过一个个对应题干条件来证明的），通过给到线段的数量关系、弧的数量关系、角度的数量关系等，总之给到的直接的数量线段只有两个毫不相干的线段，构成一些复杂的线段相交，形成很多新的三角形，然后再求一段线段的值。

大部分学生估计这第三问的题干条件读完再理解得5分钟以上，更加不要说从哪里找到突破口，具体题目如下：

第一问，相对简单，主要通过已知题干信息和圆内角度导角转换来完成解题。

因为，∠CAE=∠CDB（同弧所对圆周角相等）。

∠ACD=∠ABD（同弧所对圆周角相等）。

又因为，AE=CE。

所以就有，∠ECA=∠EAC。

因此，∠ECA=∠EAC=∠CDB=∠ABD。

因为，∠ECA=∠CDB，所以，AC∥BD。命题得证。

第二问，连接OD、OB，则有OD=OB。依据（1）问结论：

因为，∠CDB=∠ABD，所以，ED=EB。又有，E0=EO，

所以，△DEO≌△BEO，因此，∠BEF=∠DEF，命题得证。

第三问，首先连接OD、OC，则有OD=OC，因此，△COD为等腰三角形，又因为OM⊥CD，所以，DM=CM=CE+ME(等腰三角形三线合一）。

①证明正三角形：

且有已知题干：DE-CM=(√3/2)OE。

即：DM+ME-(CE+ME)=(√3/2)OE。

DM-CE=(√3/2)OE，CE+ME-CE=(√3/2)OE，

所以，ME=(√3/2)OE。

即在RT△OEM中：

ME/OE=√3/2=cos∠OEM，因此，∠OEM=30°，∠MOE=60°。

依据（2问）结论：

因为，△EDB为等腰三角形，又有EF为角平分线。

所以，EF⊥BD，且有DF=BF=1/2*BD。

因此，在RT△EOM和RT△EDF中：

∠EOM+∠MEO=90°

∠EDF+∠MEO=90°

所以，∠EOM=∠EDF=60°，因此，△EDB为正三角形。

∠DEB=∠EDB=∠DBE=60°，同时，DE=BE=BD。

另有依据（1）问结论：

AC∥BD，且△AEC为等腰三角形，有∠AEC=60°，所以，△AEC也为正三角形。

则有，AE=CE=AC=8。

∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°。

②构建三角形全等转换线段：

连接AH，因为，弧AH=弧AC，所以，∠ABH=∠ADC，因此，T、D、B、E为四点共圆。因此，∠DTB=∠DEB=60°，∠ATE=∠ABD=60°，而∠ETB=∠EDB=60°。

在线段AB上截取AK=DK，交BH于点P，则有∠KAD=∠KDA，所以∠DKB=2∠BAD，又因为，∠DGE=2∠BAD，所以，∠DKB=∠DGE。

因为，∠DKE+∠DKB=180°

∠EGB+∠DGE=180°

所以，∠DKE=∠EGB。

另有：∠DEK=∠EBG=60°，DE=EB。

所以，△DEK≌△EBG，因此，EK=BG，DK=EG。

③设元求值：

设EK=BG=x，FG=2，则AK=AE+EK=8+x，DK=EG=AK=8+x。BF=FG+BG=2+x，BD=DE=BE=2BF=4+2x。

在RT△EFB和RT△EFG中：

EG²-FG²=BE²-BF²，即：（8+x）²-4=4（2+x）²-（2+x）²

解得：x=6，即EK=BG=6，DK=EG=AK=8+x=14，BF=DF=2+x=8，BD=DE=BE=2BF=4+2x=16，

BK=DG=BE-KE=10。

在△DTB和△DBA中，∠DTB=∠DBA=60°，∠TDB=∠BAD，所以，∠TBD=∠BAD，又有∠ATH=∠ATE=60°，AT=AT，所以，△AHT≌△AET，因此，∠HAT=∠EAT。

在△ATE和△QTE中，∠ATE=∠QTE=60°，

∠TQE=∠QBE+∠BEQ，∠ADK=∠ADE+∠EDK

所以，∠TQE=∠ADK=∠DAK，TE=TE

因此，△ATE≌△QTE，则有：AT=QT。

因为，∠ADK=∠DAK，∠EAT=∠HAT，所以，∠ADK=∠HAT，则有，AH∥DK，所以，△BKP∽△BAH。

BK/AB=KP/AH，即10/24=KP/8，解得：KP=10/3。

因为，DK=DP+KP，所以，DP=32/3。

又因为，AH∥DK，所以，△HAT∽△PDT。

则有：AH/DP=AT/TD，AH=AC=8

所以，8/（32/3）=AT/TD=3/4

设AT=3y，TD=4y。

④，因为，∠ATE=∠ABD=60°，∠TAE=∠BAD

所以，△ATE∽△ABD。

则有：AT/AB=AE/AD，AT*(AT+TD)=8*24

即：3y*4y=192，解得：y=(8√7)/7。

AT=3y=(8√7)/7*3=（24√7）/7。

所以，TQ=（24√7）/7。

综上所述，本题第（3）问绝对配得上几何压轴题王炸中的压轴之王，单单证明三角形相似和全等应该都达到7次以上，然后还有根据等腰三角形基本性质进行线段转换和角度转换，通过求解三角函数获得含有60°角的RT三角形，后续的导角不停，证明两个正三角形，再通过圆内基本性质进行导角以获得全等来解三角形。

基本上每个题干条件都是独立通过一个篇幅的证明推导另一个条件的成立，然后层层推进。估计当年能拿一半以上步骤分的应该凤毛麟角，尖子生可以挑战一下。

附上具体解析答案：