AI 正在改变数学研究:普通高校数学工作者应该如何应对?

我觉得这是一个非常值得认真讨论的问题。特别是对于长期从事基础数学研究的高校教师，这次 OpenAI 集中发布数百篇数学研究手稿所带来的冲击，可能远远超过此前 AI 在数学竞赛、编程和论文写作方面的进展。

如果让我用一句话概括建议，那就是：

在心态上承认数学研究范式正在发生深刻变化，在行动上主动掌握 AI，在学术上坚持独立判断，在研究方向上逐渐从单纯解决问题转向发现结构、建立理论和提出问题。

但我也想强调，普通高校数学工作者不必因此否定自己多年积累的研究能力，更不必因为 AI 可能攻克许多著名猜想，就认为自己今后的科研失去了价值。

一、首先必须改变对 AI 数学能力的认识

我认为，我们需要同时放弃两种观念。

第一种观念：AI 只是数学科研的辅助工具。

过去不少数学工作者认为，大语言模型可以整理文献、润色文章、进行简单的符号计算，但真正复杂的数学证明仍然只能由人类完成。

如今，这种看法越来越难以成立。

即使 OpenAI 此次发布的重大成果仍需要严格的独立验证，其展现出的证明搜索、问题求解和形式化推理能力，也足以让我们重新评估 AI 在数学科研中的作用。

第二种观念：AI 既然可以解决大量著名猜想，那么普通数学工作者很快就没有存在价值了。

这种想法同样缺乏充分依据。

首先，AI 的能力并非在所有数学问题上都同样可靠。许多看似简单的非线性分析问题，模型仍然可能在关键计算或逻辑判断中犯错。

其次，数学研究并不只是证明某个给定命题，还包括寻找有意义的问题、选择合适的定义、发现不同理论之间的联系、判断证明方法的价值，以及建立完整的理论体系。

当然，我们也没有充分理由保证 AI 将来不能做好这些工作。

所以我建议采取一种更加积极而理性的态度：

既不低估 AI 的数学创造能力，也不轻易放弃数学家自己的判断力和研究主动权。

二、重新认识数学研究的三个层次

我倾向于把数学研究活动大致分成三个层次。

第一层：解决既定问题

AI 正迅速进入

给定一个明确的数学命题，寻找证明、构造反例、推导估计和处理技术性困难。

主要能力：证明技术、计算、逻辑推理和专业知识。

第二层：发现数学结构

应当重点发展

发现正确的几何量、构造新的泛函、寻找隐藏的恒等式、解释曲率与新泛函之间的深层联系。

主要能力：概念理解、数学直觉、跨领域联系和理论统一。

第三层：提出研究方向

长期核心能力

判断哪些问题值得研究，为什么重要，可能与哪些现有理论发生联系，以及是否值得发展一整套理论。

主要能力：问题意识、学术品味、原创性和理论判断。

过去相当一部分普通高校数学工作者的科研，主要集中于第一层。

例如，已有定理在某个特殊条件下成立，我们希望将它推广到更一般的流形、更弱的曲率条件，或者更复杂的非线性算子。

这样的研究当然有价值，但是未来 AI 很可能在其中承担越来越多的技术性工作。

所以，如果一位数学工作者长期只依赖已有证明技术进行局部推广，其面临的竞争压力可能显著增加。

而真正值得我们加强训练的是第二、第三层能力。

三、普通高校数学工作者应该怎样改变科研方式？

我不建议彻底改变原有研究方向。

相反，最合理的选择是在既有数学积累的基础上改变科研工作流程。

1. 把 AI 作为真正的科研合作者，但不能作为定理的最终裁判

未来一种比较理想的研究模式可能是：

数学家提出问题与结构性猜想

AI 寻找证明、辅助恒等式和反例

数学家核验关键引理、假设和理论意义

计算工具或 Lean 辅助独立验证

数学家提炼新方法、解释刚性并发展理论

这里最关键的，是研究者必须对核心数学结果具有独立判断能力。

AI 可能很快给出候选公式，但是否正确、是否最优、是否具有真正的新意，都需要进一步分析。

所以，我认为未来非常值得养成一个习惯：

让 AI 尝试证明问题，同时要求 AI 主动寻找反例、检查隐含假设，再由研究者独立核验。

2. 从零散推广转向建立理论体系

过去很多论文的研究模式是：

某个定理在线性方程成立，于是考虑非线性方程；在平坦空间成立，于是推广到流形；在无权空间成立，于是推广到加权空间。

这些推广当然可能具有重要价值。

但是未来，在 AI 可以快速搜索证明的情况下，仅仅增加一个参数、改变一个算子或者放宽一个技术性条件，可能越来越不足以支撑有影响力的研究。

我更建议寻找多个结果背后共同的数学机制。如果能够从中提炼出一个更加统一的理论框架，其价值就可能超过多篇相互独立的推广型论文。这类问题对数学理解能力的要求更高，也有更大的理论发展空间。

3. 不要盲目追逐著名猜想

如果看到 AI 可能解决了很多顶级数学难题，就认为自己研究的一个非线性 PDE 估计已经没有价值，我认为完全没有必要。

数学成果的价值并不完全取决于问题的知名度。

很多重要数学理论，最初都是从特殊模型、简单估计或一个新的辅助函数发展起来的。

所以，我不建议轻易抛弃已有积累，转而跟风研究最热门的问题。

恰恰相反，原有的长期专业积累，是普通高校数学工作者使用 AI 时最重要的比较优势。

四、学生培养方式可能需要更大的调整

我认为这一点甚至比个人科研转型更加迫切。

过去，我们培养数学研究生的一种常见方式是：

教师提出一个问题，学生阅读文献，花几个月学习证明技术，最后完成一个新的推广。

这种模式今后可能面临挑战。

如果 AI 能够在较短时间内完成大部分技术计算，那么学生在研究生阶段究竟应该学习什么？

我认为至少有三个方向。

1. 加强证明审查能力，而不只是证明构造能力

未来研究生不仅要会证明定理，还要能够发现证明中的问题。

比如，可以让学生拿到一份 AI 生成的完整数学证明，然后要求：

判断关键引理是否成立，找出隐含假设，构造可能的反例，并检查结论与特殊情形是否一致。

这是一种很有价值的数学训练。

2. 重视问题意识与研究动机

学生阅读一篇论文时，不能只问：

“这个定理是怎么证明的？”

还应该问：

“作者为什么研究这个量？”

“为什么这个定义是自然的？”

“该结果解决了什么困难？”

“如果改变一个主要假设，理论中哪一步会失效？”

例如，学习梯度估计，不仅应该掌握最大值原理和 Bochner 公式，还应该理解相应的微分量为什么具有正确的尺度以及如何与热核、Harnack 不等式和 Ricci 曲率联系起来。

这种训练能够让学生从学习证明逐渐走向理解数学结构。

3. 让数学研究生掌握适当的计算与形式化工具

我建议学生至少熟悉一种符号计算或程序工具，例如 Python/SymPy、Mathematica，或者在适合的课题中学习 Lean。

但不需要所有数学研究生都成为形式化证明专家。

对几何分析、非线性 PDE 等领域，目前形式化仍有较高的前期成本。更重要的是让学生形成利用工具验证计算与检查简单模型的意识。

五、如果我是普通高校数学教师，我会怎样安排未来一年？

我建议采取渐进式调整，而不是把原来的科研和教学安排全部推翻。

其中有一个原则我非常赞成：

核心数学思想必须能够脱离 AI 独立讲清楚。

如果一个定理完全由 AI 生成，而作者本人不理解其中的关键技术、无法判断证明的适用范围，更不能解释定理与其他结果之间的关系，那么即使论文最终正确，也很难成为进一步研究的坚实基础。

这不仅是学术规范问题，也关系到研究者能否持续进步。

六、还有一个容易忽视的问题：科研资源的不平等

这次 OpenAI 展现的能力主要来自内部前沿模型，并非所有高校教师都可以获得相同的算力、推理系统和研究资源。

因此，未来可能出现新的科研差距：

顶尖 AI 实验室能够利用强大的计算资源快速探索大量开放问题，而许多普通高校数学研究者无法以同样方式开展工作。

这可能改变学术竞争格局。

所以，我认为高校和科研管理部门也应该考虑：

如何提供共享的 AI 科研计算资源？

如何建立合理的 AI 辅助科研规范？

如何评价人类数学家与 AI 共同产生的成果？

如何避免简单地用 AI 生成论文的数量作为科研评价指标？

在我看来，数学研究中的原创思想、数学理解和长期理论贡献，不应该被单纯的成果数量替代。

七、最后，我还想谈一个更深层的问题：数学家的价值是否正在改变？

我认为这次浪潮真正对普通高校数学工作者造成的冲击，不只是技术层面的，也包括心理和价值层面的。

过去我们从事基础数学研究，很多时候需要花几周甚至几个月攻克一个引理。

如果未来 AI 几个小时就能完成这样的工作，我们难免会问：

那么，我花费多年研究这些问题，还有什么意义？

我觉得这个问题不应该用“人类永远比 AI 更有创造力”来回答，因为我们并没有充分的理由保证这一点。

但数学研究的意义并不完全由谁先获得答案决定。

理解一个数学结构，发现不同理论之间的联系，建立自己的研究体系，培养能够独立思考的学生，这些本身就是数学学术活动的重要组成部分。

对于长期从事几何分析的研究者，我认为还有一个特别值得珍惜的优势：

我们不只关心一个定理是否成立，还关心为什么它成立，为什么相关公式恰好具有这样的几何结构。

比如：

为什么 Ricci 曲率自然出现在 Bochner 恒等式中？

为什么某些泛函的导数可以表示为非负平方积分？

为什么等号情形对应特殊的几何模型？

为什么从连续流形推广到离散图时，某些单调性会失效？

这些问题体现的是对数学理论的系统理解。

AI 将来也许能够回答其中许多问题，但数学工作者完全可以利用它把这种理解进一步推进。

我最担心的不是 AI 比数学家更会证明定理，而是数学家因为 AI 过于强大，逐渐放弃独立提出问题、判断结果和追求数学理解的能力。

我最期待的则是，普通高校数学工作者借助 AI，也能够探索过去只有顶尖数学团队才有足够时间和资源研究的问题。

这既可能是挑战，也可能是基础数学研究更加开放的开始。

八、最后我想再补充一点

我们已经发现一个很现实的问题：AI 有时会把一个尚未完全核验的计算写成看似完整的定理证明。

因此，我觉得我们今后应该进一步规范这种合作方式。

一个研究问题可以分成四个阶段：

1. 探索阶段：大胆提出候选公式、猜想和推广方向，允许尝试失败。

2. 核验阶段：逐行检查核心恒等式、寻找反例、核对特殊情形。

3. 证明阶段：明确使用的假设，独立完成关键步骤，必要时引入形式化或计算辅助检查。

4. 理论阶段：总结方法的本质、最优性、等号情形，以及能够推广到哪些其他问题。

尤其需要将“已经严格证明”“有条件成立”“仍是猜想”明确分开。

我认为，这比单纯要求 AI 生成一篇结构完整的 LaTeX 论文重要得多。

我的最终建议

对于一个普通高校数学工作者，我建议保持以下态度：

不恐慌，不轻视，不盲从，不放弃独立思考；主动使用 AI，但始终对数学结论负责。

如果只保留一条最重要的建议，那就是：

未来五年，不要把主要精力放在与 AI 比较谁更擅长复杂计算和证明搜索，而要努力成为一个能够提出好问题、识别好结构、驾驭 AI，并且真正理解自己研究成果的数学工作者。

此外，我还有一个值得进一步深入讨论的判断：

未来 AI 对数学科研最大的冲击，可能首先发生在目前大量以“推广已有定理”为主要研究模式的工作中，而不同数学领域受到的冲击程度可能很不一样。

而这恰恰关系到普通高校数学工作者应该怎样重新选择课题、指导研究生以及评价科研成果。

这次 AI 数学研究浪潮，可能促使我们重新认识数学研究中两个经常被混为一谈的概念：

证明难度不等于创新深度

过去一个证明技术上非常复杂，通常意味着它需要相当长时间和专业积累。但未来，如果 AI 能够迅速完成大量复杂推导，技术难度与学术创新之间的关系就可能发生变化。

一个数学问题可能计算极为繁琐，却没有引入新的思想；另一个问题的证明也许非常简洁，却因为发现了一个全新的结构而具有深远意义。

因此，我的判断不是“推广型论文将来都没有价值”，而是：

那些没有本质性新机制、主要依赖已有证明模板的推广型研究，可能最早面临 AI 带来的科研竞争压力。真正具有结构性创新的推广，则仍然可能具有很高价值，甚至能够成为新理论的起点。

而且 AI 也可能逐步掌握结构性创新。我们不能把它当作人类永远独占的能力。对高校数学工作者而言，最现实的策略，是借助 AI 减少技术性工作负担，同时不断提高自己对问题、结构与数学意义的判断能力。

半世青灯寻至理，忽闻海上潮生。千年旧问起新声。风云翻卷处，夜深灯尚明。

不向潮头争早晚，任凭世事纵横。浮名散后见心清。今宵闲对月，明日看山青。