2010年中国科学技术大学自主招生试题

一、选择题

1. 设复数，其中为实数，若的实部为，则的虚部为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

2. 设向量，满足，则的最小值为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

3. 如果平面，直线，点满足，，，且与所成的角为，，与直线所成的角为，则与所成的角的大小为（） A. 　B. 　C. 　D. 

4. 在正四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（） A. 　B. 　C.　D.

5. 在中，三边长，满足，则的值为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

6. 如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

7. 设。过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

8. 设双曲线，椭圆。若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

9. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（） (A) 　(B) 　(C) 　(D) 

10. 设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的旋转。设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（） (A) (B) (C) (D) 

二、解答题

1. 在中，已知，外接圆半径。 （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求面积的最大值。

2. 设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线。设到直线，直线的距离分别为，已知。 （Ⅰ）判断是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若的面积为，求点的坐标及直线的方程。

(1)正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值； (2)一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值。

1. 假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个。 （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例； （Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由。

2. 设函数，且存在函数，满足。 （Ⅰ）证明：存在函数，满足； （Ⅱ）设，证明：。

2010中科大自主招生试题 参考答案

一、选择题

1. D

实部，虚部？纠正：

实部，虚部 → A ✔

1. D

二次函数最小值：，

1. C向量法，设方向向量，，与成，，与夹角，算出夹角

2. A设原四棱锥体积，分割计算，，比值

3. C，正弦定理，

展开：

1. A外心，垂心，欧拉定理，向量，，相似比，面积比

2. C，切线：，令，

求导求最小值，，

1. D椭圆：短轴，，，离心率双曲线：，实轴长条件：椭圆准线：，代入双曲线方程，最后截得线段长

2. B组合计数，6顶点，三角形共个，每个三角形需要唯一三色组合，，，无法满足边颜色约束，

3. D正四面体对称变换，复合变换验证，选D

选择题汇总： 1.A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D

二、解答题

11

，

外接圆，余弦定理：

答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)面积最大值

12

抛物线，，设，，切线斜率，斜率。，。 设，直线，距离条件化简得到，，直角三角形。

(Ⅱ)设直线，联立，代入条件，结合面积，解得，直线：，即或

答案：(Ⅰ)直角三角形；(Ⅱ)， 或 ，

13

(1)设底面正方形边长，高，侧面斜高表面积代入，求导，当，

(2)结论：当正棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为时，表面积最小（与无关）

14

亲本亲本配子：频率，频率，(Ⅰ)子一代：

比例：

(Ⅱ)相同。子一代配子仍然，随机交配后代基因型不变，哈迪–温伯格平衡。

15

条件：，代入化简求出，

(Ⅰ)，解出，一次函数，得证。

(Ⅱ)

用数学归纳法，，，归纳证明。

2022年12月9日上午课程内容

复习“三种求不定积分”

方法1：填空法

方法2：运算法则+被积函数“变形”+12个基本公式

• 被积函数变形方法相当多！

方法3：“凑微法”或者第一换元法

基本公式表

常见凑微分方法（凑微分公式）

一、基本分式的不定积分

一次基本分式

公式：

二次基本分式

公式：

假分式的不定积分

• 化为带分式的不定积分（长除法）

三角函数（正弦、余弦）的不定积分

三角函数的幂函数的不定积分

偶次方降次，奇数次方凑微分！

三角函数的乘积的不定积分

• 积化和差公式

计算下面不定积分

计算不定积分

方法四：第二换元法

关键：哪儿复杂就换那儿！或者令可以把被积函数及化简！

• 换元法1：根式换元法（含，）

• 换元法2：三角换元法

例题

方法五：分步积分法

理论基础

• 求导公式

• 公式移项变形

则

公式及其变形(便于记忆)

大量例题（什么类型不定积分使用分步积分法：下周再见！）