中国科学技术大学强基考试试题--2023年

一、填空题

1. 二元函数的值域是。

2. 设复数满足，，则的最小值为。

3. 使得展开式中的系数最大的正整数。

二、解答题

1. 已知实系数函数，当时，都有，证明：的三个根都是实数。

2. 已知正整数数列，，满足，且为等差数列，为等比数列。数列满足，若存在正整数满足，，求数列通项公式。

3. 一个箱子里有个黑球和个白球（$m

4. 证明：。

2025中国科学技术大学强基数学试题

备注：考试时间2025年6月15日上午8:30-12:00，数学是12道填空题，2道大题；共计100分。

一．填空题（每题6分）

1. 满足，有个有序整数对。

2. 求。

3. 空间中点，，，构成四面体体积为。

4. 圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高。

5. 集合的元素个数为。

6. 个球装进个盒子，则装有球的盒子的个数期望为。

7. 将有序数集重排确保原来与新的数集的任意一个数的偏移位置小于等于1，则重拍的新数集的个数为。

8. 展开式为，则。

9. 已知函数，的象集为，则所有这样的，可能为。

10. ，则所有的非负整数对为。

11. 圆与轴相切且圆与切于，求圆半径为。

12. 若$m-\dfrac12<x\le m+\dfrac12$，且$m\in\mathbb{z}$，则$m$记为$\langle="" x\rangle$，则$\dfrac43x-1="\langle" x\rangle$的所有实数解个数为$\underline{\quad\quad\quad}$。<="" p="">

二．解答题

13.（12分）已知，有模为1的复数根，求所有的正整数。

14.（16分）若且$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-6x+3,&x

中国科学技术大学2024年强基计划

1. 的小数点后第100位是
2. 求的值域
3. ，集合有2024个元素。集合有2000个元素，集合有1978个元素，集合有1958个元素，则集合最少有多少个元素
4. 有一个六面体骰子，每个面分别标有数字，投出点数之和为6的整数倍即停止，求投掷次数的均值
5. 比较和的大小
6. 正实数满足，则这样的数组为
7. 已知，求的取值范围
8. 已知为方程的两个复数根，求多项式的展开式
9. 已知一圆锥的高为1，底面直径，求一蚂蚁从点爬到点距离的最小值
10. 对于，有对应关系，且，求
11. 已知有两个相等的实根，求的可能取值
12. 对于给定的数列，命题“存在，任意的$n\in\mathbb{N},a_n
13. 已知满足，求直线与双曲线的交点个数
14. ，求的范围
15. 斐波那契数列数列满足，求的个位数

2026南京大学强基计划（信息与计算科学）数学模拟C卷（高难度选拔版·最终定稿）

考试时间：90分钟 满分：100分 作答形式：全解答题，需书写完整推导步骤，结果保留精确形式 适配方向：顶尖拔尖选拔、数论进阶、抽象代数、生成函数、高阶概率与最优停止（南大强基压轴难度）

试题部分

C1（模运算·高阶指数与原根·离散对数）

设质数，已知是模的原根。 (1) 求最小正整数，使得； (2) 计算的最小正剩余。

C2（生成函数·二进制数位和计数）

设表示正整数的二进制数位和，定义生成函数：。 (1) 证明：； (2) 求区间内，满足的整数的个数； (3) 刻画所有满足的正整数的特征。

C3（抽象代数·有限域多项式分解）

设为奇质数，有限域上多项式。 (1) 证明：； (2) 求除以在中的余式，并据此证明：当时，是模的二次剩余。

C4（线性递推·生成函数与级数求和）

已知数列满足初始条件，递推关系：。 (1) 求数列的通项精确表达式； (2) 求生成函数的封闭形式； (3) 求级数的精确值。

C5（模质数·高次剩余与群阶性质）

设质数。 (1) 求模的全体5次剩余的个数； (2) 判断是否为模的5次剩余，并证明结论。

C6（二进制群作用·循环移位不变性）

定义映射：对正整数的二进制表示循环右移一位（例：）。 (1) 对，计算、（二次移位）； (2) 证明：； (3) 求区间内所有满足的不动点。

C7（概率·生成函数与首连事件期望）

独立重复取球试验，每次取红球概率为，蓝球概率为，试验独立。设为首次出现连续两次红球的试验次数。 (1) 求的概率生成函数； (2) 求期望关于的精确表达式； (3) 当时，求的精确分数值。

C8（最优停止·阈值型秘书问题变体）

设应聘者评分独立服从均匀分布，采用策略：跳过前人，后续选取第一个评分超过阈值的应聘者。 (1) 当时，精确计算选到最优应聘者的概率； (2) 固定，求解最优阈值的方程，并计算对应最大成功概率（保留四位小数）。

行列式计算题