硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答

这是黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，，。求证：，使得。

证明设，，则。 在处泰勒展开：

在处泰勒展开：

若，则；若，则，。 故。

题3（16分）积分不等式

设在连续，。证明：，使得。

证明令，则。分部积分：

，故。，罗尔定理：。

反证：假设。不妨。，由泰勒：

再反复估计，会推出的矛盾。 因此必存在。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 当：，级数和为0； 当：等比级数，公比

和函数：

在不连续；每一项都在连续。 连续函数项级数若一致收敛，则和函数必连续。矛盾。 所以级数在上不一致收敛。

补充：在任何不含0的闭区间（或）上一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原式：

整理：

题6（16分）平面曲线积分

：上半圆周，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭曲线。格林公式：

上积分：，积分值为0。

题7（16分）曲面积分

：抛物面，取上侧。

解答补面，取下侧。构成闭合曲面外侧。高斯公式：

柱坐标：

取下侧：

1996卷特点小结

1. 题1经典调和级数黎曼和；题2带条件的泰勒中值不等式；
2. 题3多次罗尔定理；题4等比函数项级数，利用和函数不连续判定不一致收敛；
3. 题5二阶PDE变量替换；题6格林公式补直径；题7抛物面补圆盘高斯公式。

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