哈尔滨2023中考数学压轴真题解析和答案

这道哈尔滨2023年中考压轴题，主要考查学生圆内等腰△和RT△的基本性质，相似三角形对应边的等比例转换，等腰三角形的全等证明等，整体的综合性非常强，特别是第三问一再体现哈尔滨中考数学几何特色，题干条件多，数量单位少，推导证明繁杂，计算量超大，相对比2024年的压轴题基本各领风骚，具体题目如下：

第一问，相对来讲不算太难，需要证明BC=2OH，只需要证明OH是△ABC的中位线即可，已经有了O是AB的中点，只需要证明OH∥BC即可。依据题意，连接BN，因为N是弧AC的中点，所以弧AN=弧CN，因此，∠ABN=∠CBN，又因为OB=ON，所以∠ABN=∠ONB，则有，∠CBN=∠ONB，因此，ON∥BC，又有O是AB的中点，所以，OH是△ABC的中位线，即有：BC=2OH，得证。

第二问，稍微复杂一点，需要证明OD∥AC，只需证明∠ODC=∠ACD即可，因为∠ACD=∠ABD，又∠ABD=∠BDO，所以，只需要证明∠BDO=∠ODC即可。因此，连接OC，在△ODB和△ODC中，DB=DC，OB=OC，OD=OD，所以，△ODB≌△ODC，因此，∠BDO=∠CDO，又有OD=OB，所以∠BDO=∠DBO，又因为∠ACD=∠ABD，因此，∠CDO=∠ACD，所以，OD∥AC，命题得证。

第三问①，连接DA，依据（1）问结论，OH为是△ABC的中位线，所以，∠AHO=∠ACB=90°，又有O为圆心，所以，OH即为AC的中垂线，因此，AH=CH，CE=AE。

依据（2）问结论，∠ECH=∠EDO=∠ODB，又有DG=CH，所以，RT△DFG≌RT△CEH，因此，DF=CE，即DF=CE=AE，FG=EH。

又有∠BDC=∠BAC=2∠BDO，∠AED=2∠CAE=2∠BDO。

所以，∠AED=∠BDC，因此，DF∥AE，且有DF=AE，所以四边形DFEA为平行四边形，又因为∠BDA=90°，因此，四边形DFEA为矩形。则有∠DFE=90°。依据题意，EF/DF=3/2，又有RT△DFR∽RT△DEF，所以，FR/DR=3/2。又有RT△DFR∽RT△ABC：

FR/BC=DR/AC，FR/DR=BC/AC=3/2。

②因为，∠ECH+∠TCM=90°，又有∠CTM+∠TCM=90°，所以，∠ECH=∠CTM，又有∠ECH=∠EDO=∠BDO，所以，∠CTM=∠ECH=∠EDO=∠BDO=1/2∠FDE，在MT上截取一点P，使PC=PT，连接PC，则有∠MTC=∠TCP，所以，∠CPM=2∠MTC=2∠ACE，即∠CPM=2∠BDO=∠FDR，又有∠DRF=∠PMC=90°，FR=CM。

所以，RT△DFR≌RT△PMC，因此，PC=DF，DF=CE，所以，PC=CE=AE=PT，在等腰△AEC和等腰△PCT中，两腰长对应相等，两底角对应相等，所以，等腰△AEC≌等腰△PCT，则有，AC=TC。

③又因为AT=4√2，在等腰RT△ACT中：

AC²+CT²=AT²，2AC²=32，AC=TC=4。

又因为，BC/AC=3/2，所以，BC=3/2*4=6。

在RT△ABC中：

AC²+BC²=AB²，AB²=16+36=52，AB=2√13。

综上所述，本题第（1）（2）问基本就是第（3）问的一个引子，第（3）问确实很难，但有两个关键点，首先要证明解决∠DFE为直角，而要证明其是直角，又要证明四边形DFEA为矩形，否则，EF/DF=3/2就成为无根之木，RT△ABC三边关系无从确定，肯定就无法求解。

第二个关键点就是：在RT△MTC中构建一个等腰三角形等腰△PCT和等腰△AEC全等，才能解决RT△为等腰RT△，这样才能盘活整题唯一的数量长度AT=4√2，只有这两块内容，全部推导证明梳理清楚，整题才可顺利求解，当然还是代表哈尔滨中考几何压轴题的特点：需推导证明特殊角的直角三角形、数据单一、证明繁多、计算量大，这题可以算做哈尔滨中考几何压轴题标杆难题之一。

附上具体解析答案：