ARTICLE · 1174073
数分习题4
1.72 判断广义积分的敛散性:
(1).
解:
有三处奇点: .
在 附近, .
令 , 有
在 附近收敛.
在 附近, .
在 附近, .
令 , 有 .
因此收敛.
(2).
解:
考虑 两处.
在 附近, .
在 附近,
而 .
因此收敛.
(3).
解:
只需看 .
有
由比较判别法, 显然收敛.
(4).
解:
有 .
当 时,
.
可去间断点附近收敛.
当 时,
.
因此收敛.
(5).
解:
利用 Dirichlet.
令 , 则
当 时, 单调下降趋于 .
而 有界.
由 Dirichlet, 对任意 , 收敛, 其中 .
在 附近, .
收敛当且仅当 .
因此 时收敛.
绝对收敛不成立, 因为在 上, , 从而相应的绝对值积分与 比较发散.
故 时条件收敛.
(6).
解:
在 处,
.
当 时, , 且 , 故收敛.
在 附近, .
令 , 则 , 其中 .
在 附近, .
需 .
因此 时收敛.
(7).
解:
在 附近, .
在 附近, , 可去.
在 附近, .
因此绝对收敛.
(8).
解:
在 时单调下降趋于 .
而 有界.
由 Dirichlet, 当 时, 收敛.
(9).
解:
首先 单调下降趋于 .
并且 有界, 因为 的周期为 , 且
.
故由 Dirichlet 收敛.
(10).
解:
有
第一项收敛, 第二项当 时趋于 , 当 时趋于 .
因此发散.
1.73 判断如下积分的条件收敛性和绝对收敛性:
(1).
解:
都是可去间断点.
考虑
也可写成
因此在 上绝对收敛.
考虑 .
因此绝对收敛.
(2).
解:
在 附近, 可知
在 处, 发散.
因为
而 , 故发散.
但 收敛.
因为 有界, 在充分大的 上单调下降趋于 .
由 Dirichlet 收敛.
因此条件收敛.
(3).
解:
考虑
有
当 时, 由 级数判别法, 绝对值积分发散.
当 时, , 绝对收敛.
只需考虑 的收敛性.
因式化恒等式
且当 时,
.
由于 , 上式收敛.
而 由 Dirichlet 收敛.
因此当 时原积分收敛, 其中 时条件收敛, 时绝对收敛.
(4).
解:
令 , 则 .
在 附近, .
可积当且仅当 , 即 .
在 附近, 由 Dirichlet, 当 时收敛.
因此 时收敛.
绝对收敛考虑 .
在 附近, , 故需 .
在 附近,
.
其收敛当且仅当 , 即 .
故 时绝对收敛, 时条件收敛.
(5).
(6).
解:
当 时, 发散.
当 时:
若 , , 且在充分大的 上单调趋于 .
由 Dirichlet 收敛.
当 时, 考虑
当 时, 上式不趋于 .
由 Cauchy 收敛准则, 原积分发散.
绝对收敛时, 考虑 .
若 , 在 处, , 故绝对收敛.
若 , 则 .
且
由于 发散, 原积分不绝对收敛.
因此 时绝对收敛, 时条件收敛, 时发散.
(7).
解:
在 附近, .
需 , 即 .
在 处, 当 时, 令 .
有
当 充分大时成立.
且 , 故由 Dirichlet, 时在 处收敛.
当 时, 在充分大的 上递增.
考虑
由 Cauchy 收敛准则, 时发散.
故 时收敛.
考虑绝对收敛: .
当 时,
, 取 , 故收敛.
当 时, 考虑
该级数发散, 故绝对值积分发散.
因此 时绝对收敛, 时条件收敛.
(8).
解:
当 时, 令 , 有 .
于是
令 .
则 .
因此
当 时, 充分大, .
且 , 故 .
由 Dirichlet 收敛.
当 时, 不趋于 .
考虑 .
由 , 上式不趋于 .
由 Cauchy 收敛准则发散.
当 时, , 而 , 显然发散.
当 时, ,
.
当 时收敛, 当 时发散.
再考虑绝对收敛.
当 时, 由比较判别法绝对收敛.
当 时, 换元后绝对值积分在 处与 同敛散, 由于 , 故发散.
因此 时绝对收敛, 时条件收敛, 其余情形发散.
1.74 证明广义积分 在 时发散.
证明:
对于 , 当 时, , 因此 .
只需证明 时发散.
而 .
所以通项 .
级数发散.
故当 时, 原广义积分发散.
1.75 判断广义积分 的敛散性, 其中 .
解:
在 附近, , 故收敛.
考虑 .
有
利用 Gauss 积分 , 得
当 时, 级数收敛, 因此原积分收敛.
另一方面,
由 Gauss 积分, 当 充分大时, 有正的下界.
故当 时, 级数发散, 原积分发散.
因此原广义积分收敛当且仅当 , 即 .
