真题闯关 · 第36期 · 名校真题精讲(B)

真 题 闯 关 · 第 36 期

 📌 名校真题精讲（B）小升初真题 · 模拟与冲刺 · 难度 ★★★☆☆

🎯 名校卷的后半张，几何题量的不是"套公式"而是"看清是哪个量在变"；应用题量的不是"算得快"而是"把生活语言翻译成数学模型"。这一期两类题各占一半，正是选拔卷后半程的打法⏱️ 建议限时：25 分钟

② 上期课后闯关 · 答案揭晓

第 35 期 · 名校真题精讲（A）· 运算+数论

✅ 199×199 + 199 = ？ = 39800　（提公因数 199×200）✅ 1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(49×50) = ？ = 49/50　（裂项相消，1 - 1/50）✅ 自然数÷4余3、÷9余3，最小两位数是？ = 39　（(39-3)=36 同时被4和9整除）你都做对了吗？评论区留言看看 ✋

③ 方法先导（核心方法）

① 几何先问"求什么"：周长、面积、体积是三个完全不同的量，增长关系也各不相同② 长方形周长只与"长+宽"有关；长增3、宽增2，周长只增 2×(3+2)，与原来的长宽毫无关系③ 三角形面积 = 底×高÷2，反求"高"要记得先乘 2 再除以底④ 圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h，π 按题目要求取值（一般取 3.14）⑤ 应用题"合作类"：把总工作量看作 1，效率 = 1÷天数，合作效率相加，总时间 = 1÷效率和⑥ 遇到"比值是否随某量改变"的问题，先设字母列式，看该量能否约掉——能约掉就是"不变量"黄金口诀：几何先分清求哪个量，应用先把工作量设成 1！

④ 真题战区（先自己做，再看解析 👇）

【基础理解 ★☆☆☆☆】题 1 / 6

 一个长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米。它的面积和周长各是多少？ 

【变式深化 ★★☆☆☆】题 2 / 6

 一个三角形的面积是 24 平方厘米，底边长 8 厘米。这条底边上的高是多少厘米？ 

【综合应用 ★★★☆☆】题 3 / 6

 一个圆柱的底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米。它的体积是多少立方厘米？（π 取 3.14） 

【易错辨析 ★★★☆☆】题 4 / 6

 一个长方形的长增加 3 厘米，宽增加 2 厘米。它的周长增加了多少厘米？（想一想：与原来的长和宽各是多少有关系吗？） 

【拔高挑战 ★★★★★】题 5 / 6

 一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成。如果两人合作，需要多少天完成？ 

【奥数挑战 ⭐】题 6 / 6 ⭐ 选做（超常班/名校实验班）

 在一个圆内画一个最大的正方形（正方形的四个顶点都在圆上），这个正方形的面积与圆的面积之比是多少？这个比值与圆的半径大小有关系吗？请说明理由。 

⑤ 答案解析（做完再对！先自己动笔 ✍️）

题 1 · 答案：面积 96 平方厘米，周长 40 厘米

 面积 = 长 × 宽 = 12 × 8 = 96（平方厘米）。周长 = （长 + 宽）× 2 = (12 + 8) × 2 = 40（厘米）。💡 注意单位：面积用"平方厘米"，周长用"厘米"，不要写错。 ✅ 面积96÷8=12 长回代 ✓；周长40÷2=20=12+8 ✓

题 2 · 答案：6 厘米

 三角形面积公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2。反过来求高：高 = 面积 × 2 ÷ 底。高 = 24 × 2 ÷ 8 = 48 ÷ 8 = 6（厘米）。⚠️ 最容易错的就是忘了"×2"，直接 24÷8=3。检验：底8、高6 → 面积 8×6÷2 = 24 ✓ ✅ 8×6÷2=24 面积回代 ✓

题 3 · 答案：282.6 立方厘米

 圆柱体积 = 底面积 × 高。底面积 = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（平方厘米）。体积 = 28.26 × 10 = 282.6（立方厘米）。💡 分两步走：先算底面积，再乘高。直接写 3.14×3×3×10 容易把 3² 算成 3×2=6。 ✅ 282.6÷28.26=10 高回代 ✓；3.14×9=28.26 底面积 ✓

题 4 · 答案：增加 10 厘米（与原来长宽无关）

 设原长方形长 a、宽 b。原周长 = 2(a + b)。新长 a+3、新宽 b+2，新周长 = 2[(a+3) + (b+2)] = 2(a + b + 5) = 2(a+b) + 10。周长增加量 = 10（厘米），与原长 a、原宽 b 完全无关！💡 为什么与原来无关？因为周长只取决于"长与宽之和"，长和宽各自增加了 3 和 2，和就增加了 5，周长是和的 2 倍，所以增 10。⚠️ 顺带对照：面积增加量 = (a+3)(b+2) - ab = 2a + 3b + 6，是**与原来长宽有关**的。别把"周长增量"和"面积增量"混为一谈——这是本题的失分点。 ✅ 设a=12,b=8：周长40→50，增10 ✓；面积96→150，增54（与a,b有关）✓

题 5 · 答案：7.2 天（即 36/5 天）

 把这项工程的总工作量看作单位"1"（不用管具体是多少）。甲的工作效率 = 1 ÷ 12 = 1/12（每天完成总量的 1/12）。乙的工作效率 = 1 ÷ 18 = 1/18。合作效率 = 1/12 + 1/18。通分：3/36 + 2/36 = 5/36。合作所需时间 = 1 ÷ 5/36 = 36/5 = 7.2（天）。检验：甲做 7.2 天完成 7.2/12 = 0.6，乙做 7.2 天完成 7.2/18 = 0.4，合计 0.6+0.4 = 1 ✓ 正好完成。⚠️ 常见错误：把两人的天数取平均 (12+18)÷2 = 15 天。错因：合作是"效率相加"（快于最快的那个），时间必然小于 12 天，15 天反而比单独做还慢，明显不合理。 ✅ 7.2/12 + 7.2/18 = 0.6+0.4 = 1 ✓

题 6 ⭐ · 答案：正方形面积 : 圆面积 = 2 : π（比值与半径无关）

 设圆的半径为 r。【第一步：求圆的面积】圆面积 = πr²。【第二步：求内接最大正方形的面积】正方形四个顶点在圆上，它的对角线就是圆的直径 = 2r。正方形面积有两个算法：・公式法：正方形面积 = 对角线² ÷ 2（对角线互相垂直，可看作两个全等的直角三角形拼成）。・面积 = (2r)² ÷ 2 = 4r² ÷ 2 = 2r²。（也可以用勾股定理先求边长：a² + a² = (2r)² → a² = 2r²，即面积 = a² = 2r²，结果一致。）【第三步：求比值】正方形面积 : 圆面积 = 2r² : πr² = 2 : π。【第四步：回答"与半径有无关系"】式子里 r² 被约掉了，所以比值恒为 2:π，**与半径大小无关**（无论半径是 5 还是 9，这个比都不变）。💡 检验方法：・半径 5：正方形 2×25=50，圆 π×25≈78.54，50:78.54 ≈ 2:3.1416 ✓・半径 9：正方形 2×81=162，圆 π×81≈254.47，162:254.47 ≈ 2:3.1416 ✓换一个半径结果一样，说明确实是"不变量"。 ✅ 半径5 → 50:78.54；半径9 → 162:254.47；两比值均 = 2:π ✓

⑥ 方法总结卡（收藏）

⑦ 本期易错陷阱（先错后懂）

❌ 陷阱1：长宽都增加，把周长增量算进面积

长增3、宽增2��学生算周长增加 (3+2)=5，或误用面积增量 54 去答周长。✅ 正解：周长增加量 = 2×(3+2) = 10。周长只看"长与宽的和"，与原来长宽具体是多少无关；而面积增加量与原来尺寸有关（本题增 54）。

❌ 陷阱2：反求三角形的高忘了乘 2

面积24、底8，直接算 24÷8 = 3 当成高。✅ 正解：三角形面积 = 底×高÷2，所以高 = 面积×2÷底 = 24×2÷8 = 6。忘了乘 2 是最高频的失分点。

❌ 陷阱3：遇到"比值"就急着代具体数

圆内接正方形，代一个半径算完就交卷，不敢确认是否通用。✅ 正解：设半径为 r：正方形对角线 2r → 面积 2r²，圆面积 πr²，比 = π:2，r 被约掉了。检验方法就是再换一个半径算一遍，结果必须相同。

⑧ 课后闯关（练 3 道，下期揭晓答案）

🟢 基础

一个长方形长 15 厘米、宽 8 厘米，面积是多少？

🟡 变式

一个三角形面积 30 平方厘米，底 12 厘米，这条底上的高是多少？

🔴 综合

一项工程甲单独做 10 天、乙单独做 15 天完成，两人合作需几天？

答案第 37 期揭晓，也欢迎在评论区写下你的解法 👇

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