哈尔滨2022中考数学压轴真题解析和答案

这道2022年哈尔滨中考压轴题，主要考查学生对于圆内全等三角形的基本判定、基本应用，特殊角直角三角形的基本应用以及圆内三角形相似的综合运用进行线段比例转换最终达到求值的目的，总体来看是一道综合性很强的几何压轴大题，有一定的难度，具体题目如下：

第一问，主要是对于圆的基本性质的应用以及通过三角形全等来证明命题，相对不难。

因为∠BOC=2∠CBH（圆的性质），又有∠AOC=2∠CBH，所以∠BOC=∠AOC。又因为OD=1/2OA，OE=1/2OB，且有OA=OB，所以OD=OE，又有OC=OC，因此，△ODC≌△OEC，所以，∠ODC=∠OEC，命题得证。

第二问，需要通过已知题干证明△COB为正三角形。连接CB，因为CD⊥OA，所以，∠ODC=90°，依据（1）结论，∠OEC∠ODC=90°，所以，CE⊥OB，且有E为OB的中点，所以也平分OB，因此，CE为OB的中垂线，则有CO=CB，又有CO=BO，所以△COB为正三角形，则有∠OCB=∠OBC=∠COB=60°。

因为，CH为直径，所以，∠CBH=90°，因此，∠CHB=30°，又因为，CE⊥OB，所以，CE平分∠OCB，则有∠FCO=30°，因此，∠CHB=∠FCO，所以，FC=FH，命题得证。

第三问，依据（2）问结论：△CHF为等腰三角形，O为CH的中点，所以，FO⊥CH，且平分CH，则有∠COF=∠HOF=90°。

连接AB、AH，AB交CH于点N，AG交BH于点M。因为，∠AOC=∠BOC=60°，∠AOB=120°，则∠AHB=60°，又有OA=OB，因此，∠OAB=∠OBA=（180°-120°）/2=30°。因为，∠BOC=60°，且∠COF=90°，∠BOF=∠COF-∠BOC=30°。

因此，∠BOF=∠OBA，则有：OF∥AB，OF⊥CH，所以，AB⊥CH。因为，∠BOC=60°，则有∠CHB=30°，同理，∠CHA=30°。因此，在RT△NHB中，∠HBN=90°-∠CHB=60°，∠HAN=90°-∠CHA=60°，所以，△AHB为正三角形。AH=HB=AB。

因此，∠AGB=∠AHB=60°，∠AGH=∠ABH=60°，在△AGB和△HGM中，∠HGM=∠AGB=60°，∠GAB=∠GHM，所以，△AGB∽△HGM，则：HG/AG=GM/GB，即AG/GB=HG/GM=5/3，因为HG=2，所以，GM=6/5。

过点M作MP⊥HG，垂足为点P，因为∠AGH=60°，所以，PG=1/2GM=3/5，MP=√3PG=3√3/5，HP=HG-GP=2-3/5=7/5。HM²=MP²+HP²=（3√3/5）²+（7/5）²，HM=2√19/5。

又因为△ABM∽△HGM，所以，AB/BM=HG/G=5/3，即BH/BM=5/3，则BM=3/5BH，MH=BH-BM=2/5BH，所以，BH=√19。BN=1/2AB=1/2BH=√19/2，OB=√57/3，CO=√57/3，CF=CO/√3=√57/3/√3=√19/3。

综上所述，本题第（1）问主要围绕圆内三角形全等的要素条件的论证，（2）（3）问延续全等要素的论证基础上，增加正三角形的证明以及利用正三角形的基本性质来循环证明边角关系，最后通过两次三角形相似来进行线段比例转换，达到解直角三角形进行求值。里面的难点卡点倒不多，主要是循环论证细节的把握和计算强度的要求，非常适合初三学生强化训练。

附上具体解析答案：