高三数学 · 每日一题第 18 期

「函数与方程」这一章的核心就一句话：方程的根 = 函数的零点 = 图象与 x 轴交点的横坐标。三问正好走完这条流水线：
① 第 (1) 问：增 + 增 = 增。ln x 增、2x − 6 增，逐段比大小后相加，不用导数也能证。
② 第 (2) 问：「有」靠零点存在定理（两端函数值异号），「只有一个」靠第 (1) 问的单调性。存在与唯一，各证各的。
③ 第 (3) 问：想缩小零点所在区间，就把候选点代进去看符号——这正是二分法的第一步思想。

第 (1) 问（单调性：增 + 增 = 增）：任取 0 < x₁ < x₂。对数函数 y = ln x 在 (0, +∞) 上单调递增，所以 ln x₁ < ln x₂；一次函数 y = 2x − 6 单调递增，所以 2x₁ − 6 < 2x₂ − 6。两式相加（不等式同向可加）：ln x₁ + 2x₁ − 6 < ln x₂ + 2x₂ − 6，即 f(x₁) < f(x₂)。所以 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。

第 (2) 问（存在性 + 唯一性）：先改写——ln x + 2x = 6 等价于 f(x) = 0，方程的实根就是 f(x) 的零点。
存在性：f(x) 在闭区间 [2, 3] 上图象连续，且 f(2) = ln 2 − 2。因为 2 < e，所以 ln 2 < 1，f(2) < 1 − 2 = −1 < 0；f(3) = ln 3 > 0。两端函数值异号，由零点存在定理，f(x) 在 (2, 3) 内至少有一个零点。
唯一性：由第 (1) 问 f 单调递增，图象至多穿过 x 轴一次，故至多有一个零点。两个「至」字合起来：有且只有一个——方程在 (2, 3) 内有且只有一个实根 x₀。

第 (3) 问（夹逼：把 52 代进去看符号）：f(52) = ln(52) + 5 − 6 = ln(52) − 1。因为 52 = 2.5 < e（e ≈ 2.718），所以 ln(52) < 1，f(52) < 0。
现在三个数凑齐：f(52) < 0、f(3) > 0，且 f 递增——零点夹在函数值变号的那一段：x₀ ∈ (52, 3)，故 x₀ > 52。
这正是二分法的第一步：中点 52 处函数值为负，与 f(3) 异号，零点必落在右半段。每做一次，区间长度砍半——不断夹下去，就能把 x₀ 逼到任意精度。

验算

① 单调性复算：f(1) = −4，f(2) = ln 2 − 2 ≈ −1.31，f(3) = ln 3 ≈ 1.10，三点自左向右递增 ✓
② 异号复核：f(2) ≈ −1.31 < 0，f(3) ≈ 1.10 > 0，异号（与 ln 2 < 1、ln 3 > 0 的严格论证一致）✓
③ 根的位置：f(52) = ln 2.5 − 1 ≈ 0.92 − 1 = −0.08 < 0，与 f(3) > 0 异号，零点在 (52, 3) 内 ✓
④ 数值复核：取 x₀ ≈ 2.55 检验：ln 2.55 ≈ 0.936，2 × 2.55 − 6 = −0.9，和 ≈ 0.036；取 2.5 时和 ≈ −0.084——符号由负转正发生在 2.5 与 3 之间，且靠近 2.5 一侧 ✓
⑤ 逻辑链核对：第 (2) 问的「唯一」引用第 (1) 问，第 (3) 问同时用到单调性与 f(3) > 0，前后一致 ✓

本题的价值在流水线：方程的根先改写成零点，「存在」用零点存在定理（两端异号 + 连续），「唯一」用单调性，「定位」用代值夹逼——这是「函数与方程」章节的标准作业流程，也是高考解答题里「证明零点个数 / 所在区间」类问题的万能骨架。第 (3) 问顺手把二分法的第一步走了一遍：二分法不是单独一章的孤立知识，它就是「代值 → 看符号 → 缩区间」的循环。下一期起导数正式登场——用导数看增减，用零点定理定根，组合拳才是高考的真实形态。