高三数学 · 每日一题第 19 期

三个小问一条线，全在回答同一个问题——切线到底是什么：
① 「在某点处的切线」= 两件事拼起来：切点在曲线上（把 x 代进 f 拿到纵坐标）+ 斜率等于该点的导数值（代进 f′）。
② 「公共点个数」不要靠画图猜，回到代数：公共点就是方程 f(x) = −x + 1 的解，数一数它有几个根。第 (2) 问的差式会凑出一个完全立方。
③ 「含参相切」的正路是设切点：切点横坐标设为 x₀，令 f′(x₀) = 2 解出切点，再回代求截距 m。别想着联立消元用判别式——三次方程的判别式不归我们管。

第 (1) 问：求在点 (1, f(1)) 处的切线

第 1 步（定切点）：f(1) = 1 − 3 + 2 = 0，切点为 (1, 0)。

第 2 步（求斜率）：f′(x) = 3x² − 6x + 2（依据：幂函数求导公式 (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹，逐项求导）。f′(1) = 3 − 6 + 2 = −1，即切线斜率 k = −1。

第 3 步（点斜式写方程）：y − 0 = −1 × (x − 1)，即 y = −x + 1（也可写成 x + y − 1 = 0）。

第 (2) 问：证明有且仅有一个公共点

第 4 步（翻译成方程）：公共点是方程 f(x) = −x + 1 的解，即 x³ − 3x² + 2x = −x + 1，移项合并：x³ − 3x² + 3x − 1 = 0（依据：移项，左边凑出完全立方的系数结构 1、−3、3、−1）。

第 5 步（因式分解）：由完全立方公式 (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1，方程即 (x − 1)³ = 0。

第 6 步（数根下结论）：(x − 1)³ = 0 只有唯一实根 x = 1，对应 y = f(1) = 0。所以直线与曲线有且仅有一个公共点 (1, 0)。（注：x = 1 是三重根——切线在切点处「贴」了三层才离开，但除它之外不再有交点，这是一种「贴得最深」的相切。）

第 (3) 问：含参相切求 m

第 7 步（设切点）：设切点横坐标为 x₀——它未知，但它在曲线上。

第 8 步（导数等于斜率）：相切意味着切线斜率 = 直线斜率 2：f′(x₀) = 3x₀² − 6x₀ + 2 = 2，即 3x₀² − 6x₀ = 0，提公因式：3x₀(x₀ − 2) = 0，得 x₀ = 0 或 x₀ = 2。

第 9 步（回代求 m，两解分别算）：
x₀ = 0：切点 (0, f(0)) = (0, 0)，切线 y = 2(x − 0) + 0 = 2x，故 m = 0；
x₀ = 2：切点 (2, f(2)) = (2, 0)，切线 y = 2(x − 2) + 0 = 2x − 4，故 m = −4。
所以 m = 0 或 m = −4。

这道综合题的暗线只有一句：相切 ≠ 只交一次。第 (2) 问的切线贴了三层、只碰一点；第 (3) 问的切线 y = 2x 在原点相切之后，还在 (3, 6) 处大摇大摆地穿过去。切线是「贴着曲线走」，不是「只交一次」——把这句话想透，导数的几何意义才算真正入门。