小学到初中数学,其实只讲了两件事

楼下邻居曾经把孩子初三的卷子拍给我，函数那一章，62 分。

她把卷子拍给我，说这一章孩子死活不理解，是不是靠刷题会有用。

我说：先别刷，你让孩子先做一件事：y=2x+3，把 x 换成 0、1、2，各算一遍 y。

孩子算得特别顺，三步出结果。

我又让她问：那你让他告诉你，这里 x 和 y 谁跟着谁变？

孩子卡住了，想了3秒以上，说：都变。

这就是那道坎。

会看的意思是，脑子里得有一张图，知道这个式子在平面上长什么样，知道 x 一动 y 往哪走。

那张图，其实你孩子小学一年级就开始画了。只是一直没人告诉他，这是同一张图。

我把小学到初中的知识点整理成了一张坐标图，做成了能一步步播放的动画。

今天这篇，就聊聊这张图在说什么，以及怎么用它在家里帮孩子把散掉的知识接起来。

先摊开这张图看一眼，一共五层

五层，两种维度。前四层都在一根横线上（数轴）折腾，第五层多了一根竖线（直角坐标系）。

这就是我常跟人说的那句话：九年数学，其实只在做两件事。一根轴装数，一个平面装关系。

先说结论：小学数学到初一，所有的功夫都花在一根横线上（数轴）。初二到初三，多了一根竖线（直角坐标系）。

就这么点事。

那根横线叫数轴。看着简单，它其实被填了三回。

第一回，一年级。一颗糖、两个苹果、三本书，都是手指点着能数出来的东西。整数和自然数，就长在这条线右边那几个格子上。这一层孩子几乎不出错，因为它摸得着。

第二回，三年级往后。一个苹果切两半，你手里就没有整数了。一张饼平均分四份，吃了三份，剩下的是四分之一（很多孩子到初中也没有理解，丢了平均两个字，四分之一这个答案就是错的）。分数进来以后，麻烦跟着来了：1 和 2 之间，突然挤进了无数个数。

这里我建议你停下来问孩子一个问题。1 和 2 之间有几个数？

多数孩子会说：没有了吧？或者答 1.5。

标准答案是无数个。你可以让他试试：1.1、1.11、1.111，随便往中间塞，永远塞得进去。

第三回，初一。3 减 5，减不动了。小学老师会说“不够减”，初中老师会说“等于 -2”。同一件事，换了个说法，数轴就被逼着往左边长出去。

负数一出来，数轴有方向了。往右越来越大，往左越来越小，中间拿 0 分开。

再往后，根号 2 这种数出现了。边长为 1 的正方形，对角线长度是多少？你能画出来，能量出来，可它写不成任何分数。无理数就是来补这个缝的。

有理数加上无理数，这条线被填得一点空都不剩。数轴上的每一个点，都对应一个实数。

这句话初中老师都会讲，但它的分量很多孩子没听出来。它的意思是：从一年级到初一，七年时间，就为了把这一根线填满。

我给你一个特别管用的问法，很轻松就能搞清楚孩子到底理解没有，我自己常用，你也可以拿去用。

你看，每一个新数都不是凭空冒出来的。它是旧工具装不下新问题的时候，被逼出来的。全是人类为了解决实际的生活问题而创造的数学工具！用这种问法，带着孩子把数学跟生活联系起来，从抽象变成具象的东西，帮助他理解，还能提升学习兴趣。

孩子如果知道“它是来解决什么麻烦的”，这个数就在他脑子里有了位置。他不知道，那就只是一个要背的符号。

初一后半段，字母开始大量出现。

家长最容易在这里松一口气：不就是把 3 换成 x 吗，一样的算法。孩子算得也对，去括号、移项、合并同类项，一套流程走得很熟。

可到了初二，同一个 x，意思变了。

这是我特别想说的一点，也是我见过的、最多孩子栽跟头的地方：初中三年里，同一个字母 x，其实有三种身份。

第一种，未知数。像 3x+5=20，这个 x 是某一个确定的数，只是你还不知道它。它老老实实待在一个位置上，等着被算出来。

第二种，变量。像 y=2x 里的 x，这个 x 不是一个数，是一串数。它可以取 0、取 1、取 100、取 -3，每取一个，y 就跟着变一次。

第三种，参数。像 y=kx，题目说这条线经过点 (2,6)，那 k 就是一个定下来的数，算出来是 3。它不会变，它只是暂时还没算。

这三种身份，写法一模一样，就是一个字母。孩子如果不区分，就会出现那种很典型的错：题目问“当 x 取何值时 y=0”，他把 x 当成未知数，去解一个根本不存在的方程。

你可以教孩子一个特别简单的判断，就一句话：

能随便取的，是变量。只能取到唯一一个的，是未知数。不能取、是定数的，是参数。

问一遍，孩子自己就分清了。这件事花不到两分钟，但能省掉后面两年的糊涂。

字母进来以后，还有一件事变了：数从“一个值”变成了“一句话”。

ax+b=y 这句话的意思是，几个量凑一凑，凑出一个结果。换成 ax+b>y，问的就转成了大小，谁比谁重。

同一个骨架，问法不同。等式问“等于几”，不等式问“谁大”。

孩子要能看见这个骨架。看见骨架的孩子，学一元一次方程、一元一次不等式、一次函数，会觉得是同一件事换三套衣服。看不见的孩子，就是三章内容、三套公式、三次背诵。

初二下学期，坐标系来了。

为什么要多一根轴？因为一条横线只装得下一个数。当两个量一起变的时候，你得同时看两个数。

一个是横的，一个是竖的。横的叫 x，竖的叫 y。它们交叉的地方，就是原点。

这时候，一个点就能说话了。比如那个点 M，横着看是 -4，竖着看是 -2，于是它叫 M(-4,-2)。两个数字，定位了一个位置。

更妙的是下一步。

如果有一条线，叫 y=½x，那么 M(-4,-2) 就在这条线上。你把 -4 代进去，½ 乘 -4 等于 -2，跟 M 的纵坐标一模一样。

那条线上有多少个点？无数个。每一个点都满足 y=½x。

这个理解一旦打通，孩子看函数就不一样了。他会知道，一条线不是“一条线”，是无数个符合条件的答案排在一起。

再往后，一次函数变成一条直线，反比例函数变成两条弯的曲线，二次函数变成一条抛物线。形状一直在变。

但你问的问题，一直是同一个：x 变的时候，y 怎么跟着变。

变得快还是慢，往哪个方向变，有没有哪一段特别陡。函数这一整章，翻来覆去问的都是这三件事。

我知道很多孩子怕函数。怕的原因通常不是难，是抽象。符号是抽象的，图形是抽象的，两者之间的那根线，没人给他接上。

接上以后，函数其实是初中数学里最有画面感的一章。

前面讲的是这张图长什么样。下面讲怎么用。

我给的不是“多刷题”“多总结”这种话，是四个可以在家做的动作。每个动作都不超过二十分钟。

具体说几件小事。

打印。A3，彩打，别过塑，过塑了没法贴便利贴。贴书桌侧面，高度跟孩子坐着时的视线齐平。

地图时间。每周固定一次，二十分钟。就做一件事：把这一周新学的东西，贴到图上。贴完问一句，它旁边是谁？

别替他贴。说过了，再说一遍，因为这是最容易犯的错。你手痒想纠正的时候，忍一下。

别一次问五个。一次一个知识点，问透了再说下一个。

别说“这个你上次不是会了吗”。这句话一出口，孩子就闭嘴了。他不知道怎么解释“上次是背的”。

还有三个不要做，我列一下。

开头那张图的动画，我另外还做成了HTML的动画版。五个层级一层一层亮起来，数轴先往右长，再往左长，最后竖起来变成坐标系。每长一层，下面配一句话。

获取文件后，双击HTML文件即可在手机或者电脑上打开。

陪孩子看的时候，只问一句就行：你现在学到第几层了？

回到开头那个考 62 分的孩子。

他后来做了一件很小的事：函数那一章的每道题，做完以后在旁边画一条小线，标出“x 变的时候 y 怎么走”。

就这一条线。两周后的小测，78 分。

不是题变简单了。是他终于知道自己在看什么。

数学的抽象，是一层一层加上去的。自然数最具体，你能摸到。函数最抽象，你只能想。

但抽象不是凭空来的。每一层抽象，底下都垫着一层具体的东西。分数底下垫着半个苹果，负数底下垫着地下二层，函数底下垫着打车费。

孩子觉得数学虚，往往是因为他脚下那层垫脚的东西，被拿走了。

你能做的，不是替他往上爬，是帮他把底下那几块砖，一块一块放回去。

那张图上，五个数字，五个学段，一条线一个面。

看着简单。但这大概就是九年的全部。

一根轴装数，一个平面装关系

我是 {{i学}}，{{两个孩子的陪读老爸，职场项目经理用项目管理的方式陪两娃做小初高学习}}。

如果这篇对你有用，可以转给那个正在为孩子数学发愁的朋友。