2026八年级上数学期中模拟试题及背诵知识包

文末附模拟试题及答案解析，仅供复习自测

一、主线串讲（按章节）

第十一章 三角形

① 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断能否成三角形，只需较小两边和 > 最大边。

② 内角和与外角：内角和 = 180°；一个外角 = 与它不相邻的两个内角和，且大于其中任一不相邻内角；直角三角形两锐角互余。

③ 重要线段：高（钝角三角形的高可能落在外部）、中线（分对边为两等份，且分面积为两等份）、角平分线；三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点。

④ 多边形：n 边形内角和 = (n−2)×180°，外角和恒为 360°（与边数无关）；从 n 边形一个顶点引 (n−3) 条对角线。

第十二章 全等三角形

① 性质：全等三角形对应边相等、对应角相等，对应的中线/高/角平分线也分别相等。

② 五大判定：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及一角的对边）、HL（直角三角形斜边+直角边）。注意 SSA、AAA 不能判定全等。

③ 隐含条件：公共边、公共角、对顶角，是证明时常漏写的"天然已知"。

④ 角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等；逆定理——到两边距离相等的点在这个角的平分线上；三角形三条内角平分线交于一点，该点到三边距离相等。

第十三章 轴对称

① 轴对称性质：成轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分任意一对对应点连线。关于 x 轴对称 ⇔ 横坐标同、纵坐标反；关于 y 轴对称 ⇔ 横坐标反、纵坐标同。

② 垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上。

③ 等腰三角形：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，仅限等腰/等边）；等角对等边（判定）。

④ 等边三角形：三边相等、三内角均 60°、三条对称轴；判定——三边等 / 三角等 / 有一个角 60° 的等腰三角形。

⑤ 最短路径（将军饮马）：同侧两点在直线 l 上找一点使距离和最小 ⇒ 作其中一点关于 l 的对称点，连对称点与另一点交 l 于所求点（依据两点之间线段最短）。

二、12 条考点速览（背诵级）

1. 三角形三边关系（较小两边和>最大边）。

2. 内角和 180°；n 边形内角和 (n−2)×180°，外角和恒 360°。

3. 三角形的高/中线/角平分线性质（三线共点）。

4. 全等三角形性质（对应边角、对应线段相等）。

5. 五大判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL。

6. SSA、AAA 不能判定全等。

7. 角平分线性质与逆定理。

8. 轴对称性质（对称轴垂直平分对应点连线）。

9. 坐标轴对称规律（x 轴反 y、y 轴反 x）。

10. 等腰三角形"三线合一"与等边对等角。

11. 等边三角形性质与三种判定。

12. 最短路径（将军饮马）基本模型。

三、12 条易错提醒（丢分重灾区）

1. 三边关系用"较小两边和 > 最大边"快速判断，别漏算两边之差。

2. 钝角三角形的高有两条落在三角形外部，画图别画错位置。

3. n 边形内角和 =(n−2)×180°，别写成 n×180°；外角和永远 360° 与边数无关。

4. SAS 中的"夹角"必须是两边的夹角，SSA（边边角）不能证全等。

5. 角平分线性质里的"距离"是垂线段长度，不是随便连一条线段。

6. 写全等条件要按判定顺序、对应顶点对齐，隐含的公共边/公共角/对顶角别漏。

7. "三线合一"只适用于等腰三角形（含等边），普通三角形不成立。

8. 等腰三角形要分类讨论：哪条是腰、哪条是底，顶角底角别混。

9. "有一个角 60° 的等腰三角形是等边"——普通三角形单一个角 60° 不够。

10. 轴对称（两个图形）≠ 轴对称图形（一个图形），但对称轴都是直线。

11. 最短路径必须先作对称点再连线，不能直接连两点。

12. 证明题别跳步：从已知到结论逐步写理由，否则扣步骤分。

四、期中模拟卷（23 题 · 满分 100）

说明：卷首按要求不带姓名、日期、品牌。选择题 10 题（30 分）、填空题 6 题（18 分）、解答题 7 题（52 分）。标 ★ 的为"轴对称/坐标/最短路径"相关，若贵校只考前两章可略去。

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（  ）A. 1，2，3B. 2，3，5C. 3，4，5D. 1，1，3答案：C（3+4>5）

2. 三角形三个内角的和是（  ）A. 90°B. 180°C. 360°D. 270°答案：B

3. 能判定两个三角形全等的是（  ）A. 有两边和其中一边的对角对应相等B. 两边及其夹角对应相等C. 三个角对应相等D. 两边和其中一边所对的角对应相等答案：B（SAS）

4. 已知 △ABC≌△DEF，BC=5，则 EF=（  ）A. 3B. 5C. 8D. 不确定答案：B（BC 与 EF 是对应边）

5. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长是（  ）A. 13B. 17C. 13 或 17D. 20答案：B（腰只能为 7，3+3<7 不成三角形；7+7+3=17）

6. 角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的"距离"指的是（  ）A. 线段B. 垂线段C. 直线D. 射线答案：B

7. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（  ）A. 平行四边形B. 等腰三角形C. 任意梯形D. 一般三角形答案：B

8. 若一个 n 边形的内角和是外角和的 2 倍，则 n=（  ）A. 4B. 5C. 6D. 8答案：C（(n−2)×180=720 ⇒ n=6）

9. 等腰三角形的一个内角为 50°，则它的顶角可能是（  ）A. 50°B. 80°C. 50° 或 80°D. 65°答案：C（50°为顶角，或 50°为底角时顶角=180−100=80°）

10. 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则下列结论一定正确的是（  ）A. AD⊥BCB. AD 平分 ∠AC. BD=CDD. AD=BC答案：C（中线定义）

11. 一个多边形的内角和是 1080°，它是 ______ 边形。答案：八（(n−2)×180=1080 ⇒ n=8）

12. 等腰三角形的顶角为 80°，则底角为 ______°。答案：50（(180−80)/2）

13. 已知 △ABC≌△DEF，∠A=40°，∠B=60°，则 ∠F=______°。答案：80（∠C=180−40−60=80，与 ∠F 对应）

14. 从九边形的一个顶点出发，可以引 ______ 条对角线。答案：6（n−3=9−3）

15. 等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则它的第三边为 ______。答案：11（腰只能为 11，5+5<11 不成三角形）

16.★ 点 P(2,3) 关于直线 x=1 的对称点的坐标是 ______。答案：(0,3)（距 x=1 都为 1，x 由 2 翻到 0，y 不变）

17.（8 分）已知：如图，AB=AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。求证：BD=CD。答案：在 △ABD 与 △ACD 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD（角平分线），AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SAS)，∴ BD=CD。

18.（8 分）等腰三角形的两条边长分别为 6 和 10，求它的周长。答案：若腰=6、底=10，则 6+6>10，周长=22；若腰=10、底=6，则 10+10>6，周长=26。故周长为 22 或 26。

19.（8 分）已知 △ABC≌△DEF，AB=2x−1，DE=7，BC=8，CA=6（EF 与 BC 对应）。求 x 的值与 △ABC 的周长。答案：AB=DE ⇒ 2x−1=7 ⇒ x=4；周长=AB+BC+CA=7+8+6=21。

20.★（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(−2,1)、B(−4,5)、C(−5,2)。(1) 画出 △ABC 关于直线 x 轴对称的 △A′B′C′；(2) 写出 A′、B′、C′ 的坐标。答案：(1) 各顶点纵坐标变号、横坐标不变得对称点，顺次连接即可；(2) A′(−2,−1)、B′(−4,−5)、C′(−5,−2)。

21.★（8 分）在直线 l 同侧有两点 A、B，在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小，并说明理由。答案：作 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P，则 P 为所求。理由：l 上任取异于 P 的点 P′，有 P′A+P′B=A′P′+P′B>A′B=A′P+PB=PA+PB（两点之间线段最短）。

22.（6 分）已知等腰 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点。求证：AD⊥BC 且 AD 平分 ∠BAC。答案：在 △ABD 与 △ACD 中，AB=AC，BD=CD（中点），AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SSS)。∴ ∠ADB=∠ADC=90°（AD⊥BC），∠BAD=∠CAD（AD 平分 ∠BAC）。即"三线合一"。

23.（6 分）一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比它的外角大 60°，求这个多边形的边数。答案：设内角 x、外角 y，则 x+y=180，x−y=60 ⇒ x=120，y=60。多边形外角和=360°，边数 n=360/60=6。故为六边形。

模拟卷二

八年级数学上册期中模拟试卷

【人教版2026新教材】第十三章 三角形·第十四章 全等三角形·第十五章 轴对称　满分120分　考试时间120分钟

说明：本卷共三道大题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。答案一律写在题目下方指定位置，作图题保留作图痕迹。选择题只有一个选项符合题意。

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1.下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　） A. 有一个角是 60° 的三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 平行四边形

2.下列长度的三条线段能首尾相接组成三角形的是（　　）

3.如图，在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，延长 BC 到点 D，则∠ACD 的度数为（　　）

4.下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A. 三边分别对应相等B. 两边及其夹角分别对应相等C. 两角及其夹边分别对应相等D. 两边及其中一边的对角分别对应相等

5.如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D，若 PC = 3，则 PD 的长为（　　）

6.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AE = 3，△ABD 的周长为 13，则△ABC 的周长为（　　）

7.等腰三角形有一个内角为 40°，则它的底角为（　　）

8.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　） A. 两条直角边分别对应相等B. 一个锐角分别对应相等C. 斜边分别对应相等D. 一条直角边分别对应相等

9.点 P(−3, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是（　　）

10.如图，△ABC 是等边三角形，BD⊥AC 于点 D，则∠CBD 的度数为（　　）

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11.若三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长 x 的取值范围是 。

12.一个多边形的内角和是 1080°，则这个多边形的边数是 。

13.若等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长为 。

14.点 A(2, −5) 关于 y 轴对称的点的坐标为 。

15.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。若 BC = 8，BD = 5，则 DE 的长为 。

16.如图是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = °。

三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分）

17.（本小题 8 分）如图，在△ABC 中，∠B = 40°，∠C = 70°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，交 BC 于点 E。求∠DAE 的度数。

18.（本小题 8 分）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF。

(1) 求证：△ABC ≌ △DEF；（4 分）

(2) 判断 AB 与 DE 的位置关系，并说明理由。（4 分）

19.（本小题 10 分）如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 上，且 BD = AD，AC = DC。求∠B 和∠BAC 的度数。

20.（本小题 10 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，连接 EF，交 AD 于点 G。

(1) 求证：DE = DF；（4 分）

(2) 求证：AD 垂直平分 EF。（6 分）

21.（本小题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(−1, 4)、B(−3, 0)、C(−1, 0)。

(1) 画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1、B1、C1 的坐标；（6 分）

(2) 求△ABC 的面积；（3 分）

(3) 在 y 轴上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小，直接写出点 P 的坐标。（3 分）

22.（本小题 12 分）如图，△ABC 是等边三角形，点 D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE = CD，连接 BD、DE。

(1) 求证：BD = DE；（5 分）

(2) 求∠BDE 的度数；（4 分）

(3) 若 CE = 2，求 BE 的长。（3 分）

23.（本小题 12 分）如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点 A、C、E 在同一条直线上，连接 AD、BE，AD 与 BE 相交于点 F。

(1) 求证：AD = BE；（5 分）

(2) 求∠AFB 的度数；（4 分）

(3) 判断 CF 是否平分∠AFE，并说明理由。（3 分）

—— 完 ——

答案解析

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1. C　　2. D　　3. A　　4. D　　5. C　　6. B　　7. C　　8. A　　9. B　　10. B

1.C　等腰三角形沿顶角平分线（底边中线）对折，两部分完全重合，一定是轴对称图形。【易错】A 项"有一个角是 60° 的三角形"若三边不等则不对称；平行四边形（非矩形、非菱形）不是轴对称图形，只有中心对称。 2.D　判定标准：较短两边之和大于第三边。5+5 = 10 > 8，能组成三角形。【易错】A 项 1+2 = 3（等于第三边，退化成线段）；B 项 2+3 = 5 < 6；C 项 3+4 = 7 < 8，均不能。 3.A　∠ACD 是△ABC 的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和：∠ACD = ∠A+∠B = 50°+60° = 110°。【易错】误用"外角与相邻内角互补"去求 ∠ACB = 70° 却答成 70°（C 项），这是把外角当内角。 4.D　"两边及其中一边的对角对应相等"（SSA）不能判定全等，反例：两个三角形可满足该条件却不全等。【记忆】判定方法只有 SSS、SAS、ASA、AAS 及直角三角形特有的 HL；"边边角"永远不是判定依据。 5.C　∵ OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴ PD = PC = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。【易错】把"距离相等"写成"PD = OC"；本题无需任何计算，直接由性质得出。 6.B　∵ DE 垂直平分 AC，∴ AD = CD，AC = 2AE = 6。又 C△ABD = AB+BD+AD = AB+BD+CD = AB+BC = 13，∴ C△ABC = AB+BC+AC = 13+6 = 19。【关键】把 AD 换成 CD，把"折线"AB+BD+AD 拼成"直线段"AB+BC，这是垂直平分线题的通法。 7.C　分两种情况：①40° 是顶角，则底角 = (180°−40°)÷2 = 70°；②40° 是底角，则另一底角也是 40°（顶角 100°，三角形存在）。【易错】只答 70° 是最高频失分——等腰三角形"已知一角求另角"必须分类讨论，并检验内角和是否为 180°。 8.A　两条直角边对应相等，夹角为 90°，可用 SAS 判定全等。【易错】B、C、D 三项各只给出一个条件（一角、一边），无法确定三角形形状；判定全等至少需要三个条件，且必须含边。 9.B　关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数：(−3, 2) → (−3, −2)。【口诀】关于 x 轴对称"x 不变 y 变号"；关于 y 轴对称"y 不变 x 变号"。 10.B　∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC = 60°；又 BD⊥AC，由等腰三角形"三线合一"知 BD 平分∠ABC，∴ ∠CBD = 30°。【易错】把 BD 当成普通的高，只用"直角三角形两锐角互余"得 ∠CBD = 30° 也可，但必须说明 ∠C = 60°，'三线合一'更直接。

二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11. 4 < x < 10　　12. 8　　13. 22　　14. (−2, −5)　　15. 3　　16. 180

11.4 < x < 10　由三边关系：7−3 < x < 7+3，即 4 < x < 10。【易错】写成 4 ≤ x ≤ 10（含等号时三点共线，不能构成三角形）；只写一边不等式扣 1 分。 12.8　(n−2)×180° = 1080°，n−2 = 6，n = 8。【易错】把 1080 直接除以 180 得 6，答成六边形（漏加 2）。 13.22　若腰为 4、底为 9：4+4 = 8 < 9，不能构成三角形，舍去；若腰为 9、底为 4：可以，周长 = 9+9+4 = 22。【关键】等腰三角形给两边求周长，必须对"谁是腰"分类并用三边关系检验，不能两组都算。 14.(−2, −5)　关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数。【易错】与"关于 x 轴对称"混淆，写成 (2, −5)。 15.3　∵ AD 平分∠BAC，∠C = 90° 即 DC⊥AC，又 DE⊥AB，∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边距离相等）。而 DC = BC−BD = 8−5 = 3，∴ DE = 3。【思路】角平分线性质的"双垂直"模型：已知一边的垂线段，直接求另一边的垂线段。 16.180　五个尖角所在的小三角形中，每个尖角与"内五边形"的两个内角互补；由五边形内角和 540° 可推出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = 5×180° − 540° = 180°。【另解】"飞镖模型"逐角转移：把五个角转移到同一个三角形中，和恰为一个三角形内角和 180°。

三、解答题（共 72 分）

17.（8 分） 解：在△ABC 中，∠BAC = 180°−∠B−∠C = 180°−40°−70° = 70°。（2 分）∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠BAE = ½∠BAC = 35°。（2 分）∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = 90°，∴ ∠BAD = 90°−∠B = 90°−40° = 50°。（2 分）∴ ∠DAE = ∠BAD−∠BAE = 50°−35° = 15°。（2 分） 【易错】①∠BAD 要用"直角三角形两锐角互余"从 ∠B 求，不能用 ∠BAC 减；②∠DAE 是两线夹角，必须"大减小"，若 ∠B > ∠C 则方向相反，答案仍取正值。【通法】"高与角平分线夹角"公式：∠DAE = ½|∠B−∠C| = ½×30° = 15°，可用于验算。

18.（8 分） (1) 证明：∵ BE = CF，∴ BE+EC = CF+EC，即 BC = EF。（2 分）在△ABC 和△DEF 中，　AB = DE，AC = DF，BC = EF，∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）。（2 分） (2) 答：AB∥DE。（1 分）理由：∵ △ABC ≌ △DEF，∴ ∠ABC = ∠DEF（全等三角形对应角相等）。（2 分）∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）。（1 分） 【关键】"BE = CF"不能直接用，必须先加公共段 EC 转化成 BC = EF，这一步是本题的得分点，也是全等题最常见的"转移条件"技巧。【易错】写全等时对应顶点顺序要写对（△ABC ≌ △DEF），否则对应角找错，第(2)问必失分。

19.（10 分） 解：设 ∠B = x。∵ AB = AC，∴ ∠C = ∠B = x。（2 分）∵ BD = AD，∴ ∠BAD = ∠B = x。（2 分）∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 2x（三角形外角等于不相邻两内角之和）。（2 分）∵ AC = DC，∴ ∠DAC = ∠ADC = 2x。（2 分）在△ABC 中，∠BAC+∠B+∠C = 180°，即 (x+2x)+x+x = 180°，解得 x = 36°。（1 分）∴ ∠B = 36°，∠BAC = 3x = 108°。（1 分） 【方法】"等边对等角"连用三步：AB=AC → ∠C = ∠B；BD=AD → ∠BAD = ∠B；AC=DC → ∠DAC = ∠ADC。再用外角把角都用 x 表示，最后列内角和方程。【易错】漏掉外角这一步，无法把 ∠ADC 与 x 建立联系；解完必须验算 108+36+36 = 180。

20.（10 分） (1) 证明：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。（4 分） (2) 证明：在△AED 和△AFD 中，　∠AED = ∠AFD = 90°，∠EAD = ∠FAD，AD = AD，∴ △AED ≌ △AFD（AAS），∴ AE = AF。（3 分）又 DE = DF，∴ 点 A、D 都在线段 EF 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），∴ AD 垂直平分 EF。（3 分） 【关键】第(2)问有两条路：①证 AE = AF 且 DE = DF，用"两点确定垂直平分线"；②设 AD 交 EF 于 G，证 △AEG ≌ △AFG 得 EG = FG、∠AGE = 90°。两条路都给满分，但①更简。【易错】只证 AE = AF 就断言垂直平分，缺少"DE = DF"或"EG = FG"这一半，扣 2 分。

21.（12 分） (1) 作图：分别作 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1(1, 4)、B1(3, 0)、C1(1, 0)，顺次连接得△A1B1C1。（作图正确 4 分，坐标 2 分）A1(1, 4)，B1(3, 0)，C1(1, 0) (2) 解：AC = 4−0 = 4，BC = |−1−(−3)| = 2，且 AC⊥BC（AC 竖直、BC 水平），∴ S△ABC = ½×BC×AC = ½×2×4 = 4。（3 分） (3) P(0, 3)。（3 分）理由：作点 A 关于 y 轴的对称点 A1(1, 4)，连接 A1B 交 y 轴于点 P，此时 PA+PB = PA1+PB = A1B 最短。设直线 A1B 的解析式为 y = kx+b，代入 (1, 4)、(−3, 0) 得 k = 1，b = 3，即 y = x+3；令 x = 0，得 y = 3，∴ P(0, 3)。 【易错】①关于 y 轴对称写成横坐标变号、纵坐标也变号；②求最短路径时对"哪个点作对称"判断错——应把两个定点中的一个关于"动点所在直线"作对称。【检验】P(0,3) 到 A(−1,4) 与 B(−3,0) 的距离之和 = √2 + 3√2 = 4√2 ≈ 5.66，等于 A1B = √(16+16) = 4√2 ✓

22.（12 分） (1) 证明：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ACB = 60°，BC = AC。∵ D 是 AC 的中点，∴ BD⊥AC，∠BDC = 90°，且 BD 平分∠ABC，∴ ∠CBD = ½∠ABC = 30°。（2 分）∵ CE = CD，∴ ∠E = ∠CDE。（1 分）又 ∠ACB 是△CDE 的外角，∴ ∠ACB = ∠E+∠CDE = 2∠E，∴ ∠E = ½×60° = 30°。（1 分）∴ ∠CBD = ∠E，∴ BD = DE（等角对等边）。（1 分） (2) 解：∠BDE = ∠BDC+∠CDE = 90°+30° = 120°。（4 分） (3) 解：∵ D 是 AC 中点，CE = CD = 2，∴ AC = 2CD = 4，即 BC = 4。∴ BE = BC+CE = 4+2 = 6。（3 分） 【关键】第(1)问的核心是"用外角把 60° 平分成两个 30°"：∠E = ∠CDE = 30°，与 ∠CBD = 30° 相等，从而等角对等边。【易错】直接由 BD⊥AC 说 BD = DE（无依据）；∠BDE 误算成 90° 或 60°（漏了 ∠CDE）。

23.（12 分） (1) 证明：∵ △ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ CA = CB，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = 60°。（2 分）∵ 点 A、C、E 在同一条直线上，∴ ∠ACD = 180°−∠DCE = 120°，∠BCE = 180°−∠ACB = 120°，∴∠ACD = ∠BCE。（2 分）在△ACD 和△BCE 中，CA = CB，∠ACD = ∠BCE，CD = CE，∴ △ACD ≌ △BCE（SAS），∴AD = BE。（1 分） (2) 解：∵ △ACD ≌ △BCE，∴ ∠CAD = ∠CBE。（1 分）在△ABF 中，∠AFB = 180°−∠FAB−∠FBA。而 ∠FAB = ∠CAB−∠CAD = 60°−∠CAD，∠FBA = ∠ABC+∠CBE = 60°+∠CAD，（2 分）∴ ∠AFB = 180°−(60°−∠CAD)−(60°+∠CAD) =60°。（1 分） (3) 答：CF 平分∠AFE。（1 分）理由：∵ △ACD ≌ △BCE，∴ 这两个三角形中对应边上的高相等，即点 C 到 AD 的距离等于点 C 到 BE 的距离。（1 分）又点 C 在∠AFE 的内部，∴ CF 平分∠AFE（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。（1 分） 【关键】(2) 的技巧是把 ∠FAB、∠FBA 都用"60°±∠CAD"表示，相加后 ∠CAD 恰好抵消——这是"手拉手"模型的标准套路。(3) 用的是角平分线判定定理的逆用，注意必须说明"点 C 在角内"，否则可能是外角平分线。【易错】①证明全等时把 ∠ACD、∠BCE 直接写成 60°（应为 120°）；②第(3)问只凭图形"看起来平分"直接下结论，缺少距离相等的依据。

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