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专练 4 基本不等式
授课提示：对应学生用书7页
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：因为2x>0，所以y＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”．故选C.
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A．2 B．
C．4 D．
答案：B
解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，
∴00且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x∈时，sin x＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当00，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：x＋2y＝1 y＝，则＝.
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴00，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：B解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.
7．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋
≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝2时取“＝”，故选C.
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．2
C．3 D．6
答案：D
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.
9．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
答案：C
解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)
＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案：
解析：∵a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当2a＝2
－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值为.
11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
答案：36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即：x＝时等号成立，由＝3，a＝36.
12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为
________．
答案：2＋
解析：由3a＋b＝2ab，
得＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋(当且仅当＝即b＝a时等号成立).
[能力提升]
13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当＝即b＝2a时等号成立).
14.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b＞
C．log a＋log b≥－2 D．＋≤
2 2
答案：ABD
解析：对于选项 A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋
b2≥，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝，正确；
对于选项C，令a＝，b＝，则log＋log＝－2＋log＜－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2
2 2 2
－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，∴＋≤，正确．故选ABD.
15．(多选)已知a，b，c为正实数，则( )
A．若a＞b，则＜B．若a＋b＝1，则＋的最小值为1
C．若a＞b＞c，则＋≥
D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3
答案：BCD
解析：因为a>b，所以－＝＞0，所以＞，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以＋＝＋
－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为1，
故选项B正确；
因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)＝
＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以＋≥，故选项C正确；
因为a2＋b2＋c2＝[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋
2ca)＝[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝(a＋b＋c)2＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2
＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．
16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
解析：一年的总运费为6×＝(万元).
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
