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主题：专项练习一
日期：2022.12.06专项练习一（笔记）
【注意】几何一定要整明白，反复考查特殊的知识点。“一听就会，一做就
废”的原因是缺乏专项练习，要从两个方面出发：
1.判定。
2.会做。
专项练习一
【例 1】（2019 上海）小李第一次买了 A、B、C 三种饮料各若干瓶，共花去
了 75 元；之后他再次买了这三种饮料若干瓶，共花去了 134 元。两次购买的每
种饮料数量之和相同，那么若三种饮料各买 1瓶最多需花费（ ）元。（假设饮
料价格都是整数元）
A.11 B.15
C.19 D.23
【解析】1.抓住问题，问各买一瓶，即问单价，给出总金额=75+134=209=数
量*单价。买A、B、C 第一次买a、b、c 瓶，第二次买 a、b、c 瓶，根据题意
1 1 1 2 2 2
得：a*A+b*B+c*C=75①，a*A+b*B+c*C=134②，①+②得：（a+a）*A+（b+b）
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
*B+（c+c）*C=209，已知“数量之和相同”，则 a+a=b+b=c+c，数量*（A+B+C）
1 2 1 2 1 2 1 2
=209=11*19，问单价最高，选择 C项。【选 C】
【注意】常考整除：
1.口诀：3、9、2、5、4、8。
2.非口诀：7、11、13。
【例 2】（2020 广东）某单位食堂后勤部门采购了一批大米，并将其平均分
给了甲、乙两个饭堂。5周后，甲饭堂只剩余大米 7千克；又过了1 周，乙饭堂
也只剩余大米6千克，已知甲乙饭堂的就餐人数固定，前往甲饭堂就餐的人数比
乙饭堂多1人。如果每人每周消耗大米 1千克，则这批大米共有（ ）千克。
- 1 -A.72 B.84
C.96 D.108
【解析】2.方法一：平均分组的余数问题，问题为甲+乙，由于“平均分给
了甲、乙”，即甲=乙，则总/2=甲=乙，“选项/2”分别为36、42、48、54，由题
可知：“选项/2-7”是 5的倍数，说明尾数是 0或5，“选项/2-7”分别为尾数 9、
尾数5、尾数 1、尾数 7，只有B项满足。
方法二：列方程，设乙有 x 人，则甲有 x+1 人，则 6x+6=5*（x+1）+7→
6x+6=5x+5+7→x=6，总量=2*甲=2*乙，选择 B项。【选B】
【例 3】（2020 新疆）某新型建材生产车间计划生产 480 个建材，当生产任
务完成一半时，暂时停止生产，对器械进行维修清理，用时 20 分钟。恢复生产
后工作效率提高了三分之一，结果完成任务时间比原计划提前了 40 分钟，问对
器械进行维修清理后每小时生产多少个建材？
A.80 B.87
C.94 D.102
【解析】3.类似于工程问题，问的是效率，题干给出分数/百分数，用倍数
特性，后/前=4/3，后面是 4的倍数，选择 A项。【选A】
【例 4】（2021 上海事业单位）某小区进行绿化改造，为居民提供了 A、B两
套方案。最初支持方案 A的人数比支持方案 B的人数多四分之一，后来有 6位选
择方案A的居民改选了方案 B，最后方案B 以多出方案A两票胜出，则参与投票
的共有（ ）位居民。
A.85 B.90
C.95 D.100
【解析】4.问题总是给出提示的各种字眼（“坑”点总在问题上）。A/B=5/4，
使用倍数特性，问“共”，即 5+4=9的倍数，选择 B项。【选B】
【例 5】（2017 广东事业单位）已知如家和 7 天两家酒店共有 260 个房间，
- 2 -其中如家酒店有 13%不是标间，7 天酒店有 12.5%不是标间。则如家酒店有多少
个标间？（ ）
A.67 B.75
C.87 D.174
【解析】5.A+B=260，A与B分别用百分数表示，不定方程的倍数特性。如家
+7 天=260，13%=13/100→如家是 100 的倍数，12.5%=1/8→7 天是 8 的倍数，则
100x+8y=260，x=1 时，100+160=260；x=2 时，200+60=260，但 60 不能被 80 整
除，故如家有100间，所求=100*（1-13%）=87，选择C项。【选C】
【例 6】（2019 北京）某企业有甲和乙两个研发部门。其中甲部门有 35%的
员工有海外留学经历，乙部门有 32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比
乙部门多20人，则两个研发部门最少可能有多少人没有海外留学经历？
A.132 B.146
C.160 D.174
【解析】6.甲-乙=20，甲、乙分别以百分数表示，考虑不定方程的倍数特性。
35%=35/100=7/20→甲是 20的倍数，32%=32/100=8/25→乙是25的倍数，则 20x-
25y=20，要想少，则要求甲、乙都要少，20x、20 都能被 20 整除，则 25y 能被
20 整除，说明 25y 既能被 25 又能被 20 整除，最小是 100，则 120-100=20，说
明甲是 120、乙是 100，所求=120*13/20+100*17/25=尾数 8+尾数 8=尾数 6，选
择B项。【选 B】
【例 7】（2018 江西法检）某高校今年共招收新生 6060人，比去年增长 1%，
其中本科新生比去年减少 5%，研究生新生比去年增加 13%。那么，该高校今年本
科新生有多少人？
A.4200 B.4120
C.3900 D.3800
【解析】7.给出很多增长率，一定考查倍数特性，今年本科/去年本科=1-
5%=95%=95/100=19/20，今年本科一定是 19 的倍数，3800 是 19 的倍数，
- 3 -3900=3800+100不是 19的倍数，4120=3800+320 不是19的倍数，4200=3800+400
不是19 的倍数，只有 D项满足。【选D】
【例 8】（2020 江苏）某社区组织了一次助学捐款活动，在场的老王、老李
1 1 1
和老张均积极捐款。若老王捐款的 是老李捐款的 、老张捐款的 ，且老张比老
3 5 11
王多捐192元，则他们的捐款总额是：
A.418 元 B.456 元
C.494 元 D.532 元
【解析】8.抓住问题，问总额，已知“若老王捐款的 1/3是老李捐款的 1/5、
老张捐款的1/11”，都和“相等”有关系，设相等为 x，即设老王为 3x、老李是
5x、老张是 11x。
方法一：倍数特性法，倍数特性就是方程法的一种，只不过依赖选项，问“总”，
所求=3x+5x+11x=19x，结果是19的倍数，但选项均满足。
方法二：方程法，老张-老王=192→11x-3x=8x=192，解得 x=24，所求
=19x=19*24=尾数6，对应B项。【选B】
【注意】为什么不用方法一：19的倍数不好看；选项都不是“好人”；答案
不唯一（四个选项都是 19的倍数）。
【例 9】（2020 深圳）港口仓库有4个不同重量的集装箱（均为整数吨），管
理员将集装箱重量两两求和，并将得到的 6 个数都登记在册，后因保管不当，数
据中的最大值被污渍遮盖。已知其余 5 个数据分别是 23 吨、27 吨、30 吨、31
吨、34 吨，则4个集装箱中最重的为多少吨？
A.17 B.18
C.21 D.23
【解析】9.设 a＞b＞c＞d，问最重，锁定 a，进行了6次登记，即 ab、ac、
ad、bc、bd、cd，两两加和：3*（a+b+c+d）=145+（a+b），最小的两个数加和为
23，即 c+d=23，则 3*（a+b）+69=145+（a+b）→2*（a+b）=76→a+b=38。问最
- 4 -重，a＞38/2=19，排除 A、B 项，蒙 C、D 项，有 50%的正确率。C 项：a=21，则
b=38-21=17，27 一定是 b+d，则 d=10，c=13，满足 a＞b＞c＞d，当选。验证 D
项：a=23，则 b=38-23=15、d=27-15=12、c=23-12=11，但是 c＞d，不满足，排
除，对应C项。【选 C】
【例 10】（2021 国考）某村居民整体进行搬迁移民，现安排载客（不含司机）
20人/辆的中巴车和 30人/辆的大巴车运载所有村民到搬迁地实地考察。如安排
12辆中巴车，则大巴车需要 18辆，且除一辆大巴车载 6人以外，其他车全部载
满。现本着安排车辆数最少的原则派车，问最少要安排多少辆大巴车？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】10.要求车辆数最少，问最少安排的大巴车辆数，尽量不要浪费。
总人数=12*20+17*30+6=240+510+6=756，大巴：756/30=25……6，此时再安排 1
辆中巴，共 25+1=26 辆。如果安排 24 辆大巴，剩余 30+6=36 人，再安排 2 辆中
巴即可，此时是最优解，选择 C项。【选C】
【例 11】（2020 上海）M小区停车收费，小型车辆每天 5元，中型车辆每天
8元，大型车辆每天 10 元。某天小区总共停了 20辆车，共收费153 元，那么当
天大型车辆可能有（ ）辆。
A.8 B.9
C.10 D.11
【解析】11.使用方程法，设小型车 x 辆、中型车 y 辆、大型车 z 辆，则
x+y+z=20①、5x+8y+10z=153②，x、y、z是整数，只能使用消元法，消 x，①*5
得：5x+5y+5z=100③，②-③得：3y+5z=53，若求 y 可使用倍数特性或尾数法，
但本题求z，53-5z=3y，即53-5z能被3整除，D项：z=11时，y＜0，不符合题
意，排除D项。整零的数具有天然的优势，代入 C项：z=10时，y=1，此时x为
正整数，正确，当选。【选 C】
- 5 -【例 12】（2020 上海）某果品公司计划安排 6辆汽车运载A、B、C三种水果
共 32 吨进入某市销售，要求每辆车只装同一种水果且必须装满，根据下表提供
的信息，则有多少种安排车辆方案？
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】12.不定方程+排列组合，设 A、B、C 分别 x、y、z 辆，根据题意：
x+y+z=6①、6x+5y+4z=32②，不定方程组，x、y、z 一定是整数，使用消元法，
①*5 得：5x+5y+5z=30③，②-③得：x-z=2→x=z+2，当 z=1 时，x=3，y=2；当
z=2时，x=4，y=0，不满足，故只有一种方案，对应 A项。【选A】
【注意】如果枚举，6x+5y+4z=32，5y只能是偶数，故 y只能是 2（y=4时，
6x+4z=12，不足以分），则 6x+4z=22，x=3 时，z=1；x=2 时，z 不是整数，选择
A项。
【例 13】（2019 福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙 7件、
丙1件，共需325元；若购甲 4件、乙10件、丙 1件，共需410元。那么购甲、
乙、丙各1件，共需多少元？
A.100 B.125
C.135 D.155
【解析】13.给出件数、金额，判定题型，设甲、乙、丙各购买一件分别为
x、y、z，不定方程组，x、y、z 可以为非整数，使用赋零法，优化：令 y 为 0，
3x+z=325、4x+z=410，则x=85，z=70，所求=x+y+z=85+0+70=155，对应 D项。【选
D】
【注意】列式：3x+7y+z=325、4x+10y+z=410，令y为0，优化：3x+z=325、
4x+z=410。
- 6 -【例 14】（2018 江苏）小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，
共花费 40.6 元。已知红色笔单价为 1.7 元、黄色笔为 3 元、蓝色笔为 4 元，则
小李买的笔总数最多是：
A.19 支 B.20 支
C.21 支 D.22 支
【解析】14.设红、黄、蓝色笔数分别为为 x、y、z，出现非整数，直接乘以
10列式：17x+30y+40z=406，使用尾数法，17x+尾0+尾0=尾6，则17x 的尾数是
6，7*8=56，说明x 的尾数为 8，即x为8、18、28……，要想总数最多，便宜的
越多越好，观察选项，x+y+z最大才是22，说明 x一定是18，x=18时，17*18=306，
306+30y+40z=406 → 30y+40z=100 → 3y+4z=10 ， 则 y=2 ， z=1 ， 所 求
=x+y+z=18+2+1=21，对应 C项。【选C】
【例 15】（2019 江苏）某训练基地的一块三角形场地的面积是 1920 平方米。
已知该三角形场地的三边长度之比是 5：12：13，则其周长是：
A.218 米 B.240 米
C.306 米 D.360 米
【解析】15.方法一：设三边长度分别为 5x、12x、13y，说明是直角三角形，
则面积=1/2*5x*12x=30x²=1920→x²=64→x=8，所求=5x+12x+13x=30x=240，对应
B项。
方法二：所求=30x，结果是 30 的倍数，排除 A、C 项，在 B、D 项中猜测。
【选B】
【例 16】（2019 江苏）长方形花坛的周长为 20 米，若长与宽各增加 3 米，
则增加的面积是：
A.42 平方米 B.24 平方米
C.28 平方米 D.39 平方米
【解析】16.方法一：长方形没有任何限定，正方形也符合，边长=20/4=5，
- 7 -增加3米后边长为 8，则所求=8²-5²=64-25=尾数9，对应D项。
方法二：设长为 6、宽为 4，面积=4*6=24，增加 3 米后分别为 9、7，所求
=9*7-6*4=63-24=尾数 9，选择D项。【选D】
【注意】只要求 a+b=10，满足条件，答案一定唯一。
【例 17（2022 联考）某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，
并切成四块，如图所示。假设这个蛋糕可共 350人享用，左下角那块蛋糕平均可
共50人享用，右上角那块蛋糕平均可共 70 人，则中间最大块蛋糕平均可供多少
人享用？
A.150 B.155
C.175 D.180
【解析】17.方法一：人数就是面积，根据题意，左下角三角形为 50、右上
角三角形为70，总共为 350，赋值长是35，则宽是 10，S =1/2*底*高，左下
三角形
角三角形底边=10，右上角三角形侧边=4，则右下角三角形侧边=6、右下角三角
形底边=25，右下角三角形面积=1/2*6*25=75，所求=350-50-70-75=300-145=155，
对应B项。
方法二：观察同底三角形，直接量，所求三角形的高约为右上角三角形高的
2.2倍，所求≈70*2.2=154，最接近B项。【选 B】
- 8 -【注意】考官给的图一定是标准的。
【例 18】（2020 北京）一个长方体零件的长、宽和高分别为 x+4、x+2 和 x
厘米，其所有棱长之和为 168厘米，则该长方体零件的体积为多少立方厘米?
A.1680 B.2184
C.2688 D.2744
【解析】18.有 4个长、宽、高，则（x+4+x+2+x）*4=168→x+4+x+2+x=168/4
→3x+6=42→x=12，所求=16*14*12=尾数4*尾数2=尾数8，对应C项。【选 C】
【注意】若长方形周长为 24，则长+宽=a+b=12，一定要比竞争对手快。4个
长、宽、高是168，则长、宽、高的和为 42，3x+6=42→3x=36→x=12，所求=16*14*12=
尾数8。
【例 19】（2021 广东）如图所示，周长为 24 米的平行四边形绿化地被划分
为三块区域，两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地。已知a、b、c长度之比
为4：2：√3，则矩形草地的面积为（ ）平方米。
A.6 B.6√3
C.12 D.12√3
【解析】19.方法一：问矩形，即图形中间部分，已知周长为 24，则
- 9 -a+b=24/2=12，设a、b、c分别为 4x、2x、√3x，4x+2x=12→x=2，则 a=8、b=4、
c=2√3。左侧三角形三边为 2、4、2√3，为 30°的直角三角形，则矩形长为 8-
2=6，所求=6*2√3=12√3，对应D项。
方法二：猜题，矩形面积=底*高，高是带√3的，底没有带√3，矩形长为 8-
2=6，结果一定带√3，猜测B、D项，有50%的正确率，但 B项比较小，猜测 D项。
猜题有风险。【选D】
【例 20】（2020 国家）一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，
高为 23 厘米，若插入一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料
盒内的吸管长度最大为 27厘米，问饮料盒底面边长为多少厘米？
A.5√2 B.8
C.10 D.10√2
【解析】20.根据题意：体对角线=√a²+b²+c²→27=√a²+a²+23²→27²
=a²+a²+23²→200=2a²→a²=100，解得a=10，选择C项。【选C】
- 10 -【注意】
1.长方体：体对角线=√a²+b²+c²。
2.构造√2≈1.414 的正方形，则边长为 1，对角线为√2，作不出边长为√2的
图，排除A、D项；有 23、27，27=√a²+a²+23²→200=2a²，带“0”的数，猜
C项。
【例 21】（2017 联考）如图所示，甲和乙在面积为 54π平方米的半圆形游
泳池内游泳，他们分别从位置 A和B同时出发，沿直线同时游到位置 C。若甲的
速度为乙的2倍，则原来甲、乙两人相距：
A.9√2米 B.15 米
C.9√3米 D.18 米
【解析】21.半圆想直角三角形，根据题意：1/2*π*r²=54π→r²=108→
r=√108，“甲的速度为乙的 2 倍”，即 AC=2*BC，30°所对直角边是斜边的一半，
所求=√3*r=√3*√108=√324=18，对应D项。【选 D】
- 11 -【例 22】（2021 联考）边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不
大于 5000，其中有两个正方形的面积之和等于第 3 个正方形的面积，这样的正
方形存在多少组？
A.6 B.7
C.9 D.10
【解析】22.要求“边长为整数且成等差数列”、“面积和”，则三个正方形的
边长分别为 3a、4a、5a，面积分别为 9a²、16a²、25a²，面积和=50a²≤5000→
a²≤100→a≤10。a=1 时，三边为 3、4、5；a=2 时，三边为 6、8、10；……；
a=10时，三边为 30、40、50。一共有10组，对应 D项。【选D】
【注意】
1.只要出现面积和，优先想勾股定理；由于“等差数列”，考虑 3、4、5。
2.“不大于”即“≤”，可以取等于号，A、B项中蒙 B项，C、D项中蒙D项，
50%的正确率；由于带“00”，优先选D项。
【例 23】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方
500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5倍。
兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结
果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
- 12 -C.2400 D.3000
【解析】23.假设三角形三边为 500、1200、1300，验证：S =500，S
乌 兔
=1200+1300=2500，是 S 的5倍，选择B项。【选 B】
乌
【例 24】（2017 联考）如右图所示，某条河流一侧有 A、B 两家工厂，与河
岸的距离分别为4km 和5km，且A与B的直线距离为 11km。为了处理这两家工厂
的污水，需要在距离河岸 1km 处建造一个污水处理厂，分别铺设管道连接 A、B
两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：
A.12km B.13km
C.14km D.15km
【解析】24.镜像对称，过污水处理厂画一条平行于河的辅助线，A’B一定
经过污水处理厂，且交点处就是污水处理厂，所求即 A’B。在大三角形中，竖向
A’F=3+3+（5-4）=7，AF=1，BF=√11²−1²=√120，所求²=7²+120=169→所求=13，
对应B项。【选 B】
- 13 -【例 25】（2020 联考）某演播大厅的地面形状是边长为 100 米的正三角形，
现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？
A.2763 B.2500
C.2340 D.2300
【解析】25.边长之比=2；100=1：50，则面积之比=1²：50²=1：2500，选择
B项。【选B】
【例 26】（2020 浙江）用边长为0.2m的正三角形地砖铺满一块边长为 1m的
正六边形地面，需要多少块地砖？
A.30 B.60
C.150 D.180
【解析】26.正六边形由 6 个边长为 1 的正三角形组成，小三角形与大三角
形边长之比为 0.2：1=1：5，则面积之比为 1：25，所求=6*25=150，对应 C 项。
【选C】
- 14 -【练习 1】（2021 广东选调）小明参加迷宫游戏，迷宫设在圆形区域内（布
局如下图所示），游戏规定只能向正东或正南方向行走，那么小明从迷宫入口到
出口共有（ ）种走法。
A.2 B.4
C.6 D.8
【解析】练习 1.使用“标 1 法”，黑色的代表迷宫的路，先标 1，再加和，
选择B项。【选 B】
线切面（线数和面数的关系）
第 1条直线将平面分成 2块，第2条直线最多将平面分成 4块，第 3条直线
最多将平面分成7块，……
- 15 -【注意】线切面：1 线画 2 面，2 线画 4 面，3 线画 7 面，4 线画 11面，画
图即可得出，所以不考，考查画不出来的；只记 5 线 16 面，6 线+16=22、7 线
+22=29、8线+29=39、9线+37=46。
【练习 2】（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条
直线都要产生新的交点，第 1条直线将平面分成 2块，第2条直线将平面分成 4
块，第3条直线将平面分成 7块，按此规律将平面分为 46块需：
A.7 条直线 B.8 条直线
C.9 条直线 D.10 条直线
【解析】练习 2.问46，9线+37=46，则对应 9条线，选择C项。【选 C】
【练习 3】（2020 联考-内蒙公检法）一条直线将一个平面分成 2 个部分，两
条直线最多将一个平面分成 4个部分，……则 6条直线最多将一个平面分成的部
分为：
A.20 B.21
C.22 D.23
【解析】练习 3.5线16面，加6为22，选择C项。【选C】
【注意】
- 16 -1.从理论实战到专项练习，题与题之间是有关系的，虽然课程中有的听不到，
但是会潜移默化，带到练习中才算完成了“一步”。
2.先认识，才会做，唯有熟才能快。
3.工程问题、经济问题、行程问题、专项练习二，确实有点难。工程问题掌
握80%（工程都可做，但最难的题可不要）、经济问题掌握 60%、行程问题掌握 50%
即可。
4.作业：专项题目完成“3（读题）+2（计算）”。
【答案汇总】
1-5：CBABC；6-10：BDBCC；11-15：CADCB；16-20：DBCDC；21-25：DDBBB；
26：C
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