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2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
空间解析几何 2
讲师：吉吉
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（二）直线方程
上述平面所确定的直线 l 的方向向量为：n n (A , B ,C )(A , B ,C )
2024FENBI
1 2 1 1 1 2 2 2
P125𝑥＋𝑦 − 𝑧＋2＝0
【例】已知直线L的方程为：ቊ ，求其方向向量？
3𝑥＋5𝑦 − 2𝑧＋5＝0
2024FENBI选+简
（二）直线方程
2024FENBI
P125-P126 找空间直线上的一点坐标
𝑥＋𝑦 − 𝑧＋2＝0
【例】已知直线L的方程为：ቊ ，试确定L上的某点P坐标。
3𝑥＋5𝑦 − 2𝑧＋5＝0
2024FENBI2024FENBI
P1262024FENBI
P126二、平面、直线之间的相互关系与距离公式
选+简
（一）两个平面间的关系
2024FENBI
P126选+简
（一）两个平面间的关系
2024FENBI
P127（二）两条直线间的关系
➢ 补充知识
直线与直线
平行— — 没有公共点
共面
相交— — 有且只有一个公共点
异面：不在同一个平面内，既不平行又不相交
2024FENBI选+简
（二）两条直线间的关系
2024FENBI
P127选+简
（二）两条直线间的关系
2024FENBI
P128选+简
（三）直线与平面的关系
2024FENBI
P128（一）平面与平面的关系
（二）直线与直线的关系
（三）直线与平面的关系 2024FENBI2024FENBI
P128-P1292024FENBI
P1292024FENBI
P129（三）直线与平面的关系
2024FENBI
n
选+简
𝐴𝑙＋𝐵𝑚＋𝐶𝑛
sin 𝜃＝
𝐴2＋𝐵2＋𝐶2 𝑙2＋𝑚2＋𝑛2
P128
n
B
A（一）平面与平面的关系
（二）直线与直线的关系
（三）直线与平面的关系
2024FENBI选+简
（四）距离公式
2024FENBI
P130选+简
𝑃 𝑃 ⋅ 𝑛
1 0
𝑑 = 𝑃 𝑃 ⋅ cos 𝑃 𝑃 , 𝑛 =
1 0 1 0
𝑛
2024FENBI
P130补充了解
𝑃 𝑃 ⋅ 𝑛
1 0
𝑑 = 𝑃 𝑃 ⋅ cos 𝑃 𝑃 , 𝑛 =
1 0 1 0
𝑛
【推导过程】
设𝑝 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ,则𝑝 𝑝 = (𝑥 − 𝑥 , 𝑦 − 𝑦 , 𝑧 − 𝑧 )，且𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 带入上式：
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
分母： 𝑃 𝑃 ⋅ 𝑛 = A 𝑥 − 𝑥 + B 𝑦 − 𝑦 + C 𝑧 − 𝑧 = A𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − (𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 )①
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
又 𝑝 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 也是在该平面上任取的一个点，所以也满足该方程即： 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ，
1 1 1 1 1 1 1
即𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = −D，带入①式： 𝑃 𝑃 ⋅ 𝑛 = A𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − −D = A𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
分子： 𝑛 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 2024FENBI选+简
两条异面直线的距离
✓ 步骤
→ →
①直线l的方向向量 s ,直线l 的方向向量 s
1 1 2 2
→ →
②公垂线: n = s s
1 2
③直线l 上任取一点P ,直线l 上任取一点P ，构成PP
1 0 2 1 1 0
PP n
1 0
④d =
n
2024FENBI 两条异面直线的距离
𝑥+2 𝑦−2 𝑥−1 𝑦+1 𝑧−4
【例】设有直线𝐿 和𝐿 的方程分别为𝐿 : = = 𝑧 + 1, 𝐿 : = = 。
1 2 1 2
−1 1 1 2 3
（1）证明𝐿 与𝐿 异面；
【补充】
1 2
（2）求两直线之间的距离。
2024FENBI
P130选+简
𝑥+2 𝑦−2 𝑥−1 𝑦+1 𝑧−4
例：设有直线𝐿 和𝐿 的方程分别为𝐿 : = = 𝑧 + 1, 𝐿 : = = 。
1 2 1 2
−1 1 1 2 3
（1）证明𝐿 与𝐿 异面；
1 2
（2）求两直线之间的距离。
（1）证明：有题意可知，直线𝐿 过点𝑃 (-2,2,-1)，方向向量为𝑠Ԧ = −1,1,1 ,
1 1 1
直线𝐿 过点𝑃 (1, −1,4)，方向向量为𝑠Ԧ = 1,2,3 ,
2 2 2
3 −3 5
得𝑃 𝑃 = 3, −3,5 ,所以[𝑃 𝑃 , 𝑠Ԧ , 𝑠Ԧ ]= −1 1 1 = −24 ≠ 0，所以𝑃 𝑃 , 𝑠Ԧ ,
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 3
2024FENBI
𝑠Ԧ 不共面，从而直线𝐿 与𝐿 异面；
2 1 2
P130选+简
𝑥+2 𝑦−2 𝑥−1 𝑦+1 𝑧−4
例：设有直线𝐿 和𝐿 的方程分别为𝐿 : = = 𝑧 + 1, 𝐿 : = = 。
1 2 1 2
−1 1 1 2 3
（1）证明𝐿 与𝐿 异面；
1 2
（2）求两直线之间的距离。
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘
（2）解：直线𝐿 与直线𝐿 的公垂线为𝑛 = 𝑠Ԧ × 𝑠Ԧ = = 1,4, −3 ,
−1 1 1
1 2 1 2
1 2 3
又𝑃 𝑃 = 3, −3,5 ,所以两直线的距离等于向量𝑃 𝑃 在公垂线𝑠Ԧ方向上的投影长
1 2 1 2
𝑃 𝑃 ⋅𝑛 −24 12 26
1 2
度，即𝑑 = = = ；
𝑛 26 13
2024FENBI
P1302024FENBI
P1312024FENBI
P131（一）两点之间的距离
（二）点到平面的距离
𝑃 𝑃 ⋅ 𝑛
1 0
𝑑 = 𝑃 𝑃 ⋅ cos 𝑃 𝑃 , 𝑛 =
1 0 1 0
𝑛
（三）异面直线间的距离
2024FENBI
