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知识点 73：电场中带电体的动量和能量问题
【知识思维方法技巧】
带电体在约束轨道上碰撞问题的处理技巧：
（1）解决带电体在约束轨道上的碰撞运动，要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电
体在电场中运动的模型，能够灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分
析与研究：
（2）动量观点和能量观点在力学和电场中应用时的“三同一异”
（3）分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹
是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守
恒定律解题．
考点一：带电体间的碰撞运动问题
题型一：点电荷电场中带电体间碰撞直线运动模型
【典例1基础题】带电粒子碰撞实验中，t＝0时粒子A静止，粒子B以一定的初速度向A
运动．两粒子的v－t图象如图所示．仅考虑静电力的作用，且A、B未接触．则( )
A．A粒子质量小于B粒子
B．两粒子在t 时刻的电势能最大
1
C．A在t 时刻的加速度最大
2
D．B在0～t 时间内动能一直减小
3
【典例1基础题】【答案】B
【解析】两粒子仅受静电力作用，则该碰撞过程中A、B组成的系统动量守恒，由题图知，
0～t 时间内，由系统动量守恒可知，m v ＝m v ，因v>v ，则m <m ，A错误；t 时刻，
2 B 0 A A 0 A B A 1
两粒子的速度相等，系统损失动能最大，由能量守恒定律可知两粒子的电势能最大，B正
确；t 时刻，两粒子距离最近，则两粒子间的静电力最大，故此时 A的加速度最大，C错
1
误；0～t，B的动能减少，t～t，B的动能增加，D错误．
2 2 3
【典例1基础题对应练习】（多选）如图(a)所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个点电荷，
t＝0时，甲静止，乙以初速度6 m/s向甲运动。此后，它们仅在静电力的作用下沿同一直
1
学科网（北京）股份有限公司线运动(整个运动过程中没有接触)，它们运动的v－t图象分别如图(b)中甲、乙两曲线所示。
则由图线可知( )
A．两电荷的电性一定相反
B．t 时刻两电荷的电势能最大
1
C．0～t 时间内，两电荷的静电力先增大后减小
2
D．0～t 时间内，甲的动量一直增大，乙的动量一直减小，且整个过程中动量守恒
3
【典例1基础题对应练习】【答案】BC
【解析】t＝0时，甲静止，乙以初速度6 m/s向甲运动，由图可知甲的速度在增大，乙的
速度在减小，所以两电荷的电性一定相同，故A错误；t 时刻两电荷相距最近，电势能最
1
大，故B正确；0～t 时间内，两电荷之间的距离先减小后增大，由F＝k可知两电荷的静
2
电力先增大后减小，故C正确；0～t 时间内，因为甲、乙两个点电荷的合力为零，所以在
3
0～t 时间内动量守恒，但甲的动量一直增大，乙的动量先减小到0后增大，故D错误。
3
题型二：匀强电场中带电体间的碰撞直线运动问题
【典例2基础题】（多选）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平面上有A、B两个滑块(均
可视为质点)，滑块A带正电、电荷量为q，滑块B不带电。图中虚线内存在水平向右的匀
强电场，电场强度大小为E，宽度为d，其余空间内不存在电场。滑块A刚好位于电场区
域内的左侧，而滑块B刚好位于电场区域的右侧。现将滑块 A无初速度释放，滑块A与滑
块B发生碰撞且碰撞时间极短，碰撞过程中滑块A的电荷量不变，仅碰撞一次，经过一段
时间两滑块保持一定的距离不变，且此距离为x＝d，则下列判断正确的是( )
0
A．A、B两滑块的质量之比为＝ B．A、B两滑块的质量之比为＝
C．两滑块的碰撞为弹性碰撞 D．两滑块的碰撞为非弹性碰撞
【典例2基础题】【答案】AD
【解析】对滑块A在碰撞前根据动能定理有qEd＝m v，依题意知，碰撞后滑块A、B速度
A
大小相等，方向相反，规定向右为正方向，设其大小为 v，根据动量守恒定律可得m v ＝
A 0
－m v＋m v；又由能量守恒定律可知v＜v ，即碰撞后滑块A向左运动不会滑出电场，设
A B 0
碰撞后滑块A在电场中运动的时间为t，由动量定理得qEt＝2m v，碰撞后滑块B向右做匀
A
2
学科网（北京）股份有限公司速运动，有vt＝d，联立解得＝，A正确，B错误；两滑块因碰撞而损失的机械能为ΔE＝
m v－(m ＋m )v2＝qEd＞0，D正确，C错误。
A A B
题型三：带电体间的碰撞直线+曲线运动问题
【典例3基础题】如图所示，轨道ABCDP位于竖直平面内，其中圆弧段CD与水平段AC
及倾斜段DP分别相切于C点和D点，水平段BC粗糙，其余都光滑，DP段与水平面的夹
角θ＝37°，D、C两点的高度差h＝0.1 m，整个轨道绝缘，处于方向水平向左、电场强度
大小未知的匀强电场中，一个质量 m ＝0.4 kg、带正电、电荷量未知的小物块Ⅰ在A点由
1
静止释放，经过时间t＝1 s，与静止在B点的不带电、质量m ＝0.6 kg的小物块Ⅱ碰撞并
2
粘在一起后，在BC段上做匀速直线运动，到达倾斜段DP上某位置，物块Ⅰ和Ⅱ与轨道
BC段的动摩擦因数均为μ＝0.2，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)物块Ⅰ和Ⅱ在BC段上做匀速直线运动的速度大小；
(2)物块Ⅰ和Ⅱ第一次经过圆弧段C点时，物块Ⅰ和Ⅱ对轨道压力的大小．
【典例3基础题】【答案】(1)2 m/s (2)18 N
【解析】(1)物块Ⅰ和Ⅱ粘在一起在BC段上做匀速直线运动，设电场强度大小为E，物块
Ⅰ带电荷量大小为q，与物块Ⅱ碰撞前物块Ⅰ速度为v ，碰撞后共同速度为v ，以向左为
1 2
正方向，则qE＝μ(m＋m)g，qEt＝mv，mv＝(m＋m)v，联立解得v＝2 m/s；
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2
(2)设圆弧段CD的半径为R，物块Ⅰ和Ⅱ经过C点时圆弧段轨道对物块支持力的大小为
F ，则R(1－cos θ)＝h，F －(m ＋m)g＝(m ＋m)，解得：F ＝18 N，由牛顿第三定律可
N N 1 2 1 2 N
得物块Ⅰ和Ⅱ对轨道压力的大小为18 N.
【典例3基础题对应练习】如图所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，AB段为足够
长的水平轨道，BD段为半径R＝0.2 m的半圆轨道，二者相切于B点，整个轨道处于竖直
向下的匀强电场中，场强大小E＝5.0×103 V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度v 沿水平
0
轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性正碰。已知乙球质量 m＝1.0×10－2
kg、所带电荷量q＝2.0×10－5 C，乙球质量为甲球质量的3倍。取g＝10 m/s2，甲、乙两球
均可视为质点，整个运动过程中无电荷转移。
（1）甲、乙两球碰撞后，乙球通过轨道的最高点D时，对轨道的压力大小N′为自身重力
的2.5倍，求乙在水平轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足(1)的条件下，求甲球的初速度v。
0
3
学科网（北京）股份有限公司【典例3基础题对应练习】【答案】（1）0.6 m （2）10 m/s
【解析】（1）设乙到达最高点D时的速度为v ，乙离开D点首次到达水平轨道的时间为
D
t，加速度为a，乙在水平轨道上的首次落点到B点的距离为x，乙离开D点后做类平抛运
动，则2R＝at2，x＝v t根据牛顿第二定律有a＝，乙过D点时有mg＋qE＋N＝m(式中N
D
为乙在D点时轨道对乙的作用力)根据牛顿第三定律有N＝N′＝2.5mg解得x＝0.6 m。
（2）设碰后瞬间甲、乙两球的速度分别为v、v，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
1 2
mv ＝mv ＋mv ，×mv 2＝×mv 2＋mv 2联立解得v＝v
0 1 2 0 1 2 2 0
乙球从B到D的过程中，根据动能定理有－mg·2R－qE·2R＝mv 2－mv 2
D 2
由(1)可得v ＝3 m/s联立解得v＝10 m/s。
D 0
考点二：带电连接体间的碰撞运动问题
题型一：轻弹簧连接体碰撞模型
【典例1基础题】(多选)如图所示，质量分别为m 和m 的两个小球A、B，分别带有等量
1 2
的正、负电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上．当突然加一水平向右
的匀强电场后，两小球A、B将由静止开始运动，在以后的运动过程中，对两个小球和弹
簧组成的系统(设整个过程中弹簧不超过弹性限度)，以下说法正确的是( )
A. 系统机械能不断增加
B. 系统动量守恒
C. 当弹簧长度达到最小值时，系统机械能最大
D. 当小球所受匀强电场的静电力与弹簧的弹力大小相等时，系统动能最大
【典例1基础题】【答案】BC
【解析】开始时，弹簧弹力与两小球之间库仑力平衡，加上匀强电场后，两小球所受静电
力增大，开始压缩弹簧，静电力对小球做正功，当弹簧长度达到最小值时，两小球的位移
最大，此时静电力对系统做的正功最多，根据功能关系可知此时系统机械能最大，此后弹
簧开始将两小球反向弹开，静电力对小球开始做负功，系统机械能将减少，故A错误，C
4
学科网（北京）股份有限公司正确；系统在水平方向上所受合外力为零，动量守恒，故B正确；当小球所受匀强电场的
静电力和两球间的库仑力的合力与弹簧的弹力大小相等时，系统动能最大，故D错误．
题型二：板块连接体碰撞模型
【典例2基础题】有一质量为M、长度为l的矩形绝缘板放在光滑的水平面上，另一质量
为m、带电荷量的绝对值为q的物块(视为质点)，以初速度v从绝缘板的上表面的左端沿
0
水平方向滑入，绝缘板所在空间有范围足够大的匀强电场，其场强大小 E＝，方向竖直向
下，如图所示。已知物块与绝缘板间的动摩擦因数恒定，物块运动到绝缘板的右端时恰好
相对于绝缘板静止；若将匀强电场的方向改变为竖直向上，场强大小不变，且物块仍以原
初速度从绝缘板左端的上表面滑入，结果两者相对静止时，物块未到达绝缘板的右端。求：
（1）场强方向竖直向下时，物块在绝缘板上滑动的过程中，系统产生的热量；
（2）场强方向竖直向下时与竖直向上时，物块受到的支持力之比；
（3）场强方向竖直向上时，物块相对于绝缘板滑行的距离。
【典例2基础题】【答案】(1) (2)1∶4 (3)
【解析】(1)场强方向向下时，根据动量守恒定律得mv ＝(M＋m)v所以v＝v
0 0
根据能量守恒定律得热量Q＝mv－(M＋m)v2＝
(2)由题意知，物块带负电。场强向下时F ＝mg－qE，场强向上时F ′＝mg＋qE所以＝
N N
(3)两次产生的热量相等μF ′l′＝Q，μF l＝Q所以l′＝。
N N
5
学科网（北京）股份有限公司
