二次函数中线段数量关系
方法突破练
1.如图,直线 y=2x+3经过A，B两点，点A的横坐标为 −2,,点 B的横坐标为 1，点 C 是线段 AB 上一点，
AC 1
当 = 时,求点 C 的坐标.
AB 3
2.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，连接AB，点 P 为线段AB 上
方抛物线上一点，过点 P 作 PQ⊥x轴于点Q,交AB于点H,当. PH=2HQ时，求点P的坐标.
3.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B 两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，
√2
点P是线段 BC上方抛物线上一点，过点 P 作线段 BC 的垂线，垂足为点 M.若. PM= OB,求点 P的横坐标.
6设问进阶练
3 3
例 如图，抛物线 y=− x2+ x+3与x轴交于A，B两点(点 B在点A的右侧)，与y轴交于点 C，对称轴为
8 4
直线l，作直线 BC.
(1)设点 E 是抛物线对称轴上一点，当 CE=BE时,求点 E 的坐标；
8
(2)设点 F 是 x 轴上一点,且在点 B 左侧,当 sin∠FCB= sin∠FBC时，求点 F的坐标； (设问源自2022南
5
充中考)
(3)若点 Q 是直线BC上方抛物线上一点，过点 Q作直线 QQ'‖y轴交直线 BC 于点( Q',交x轴于点 Z，当点
Q'
为线段 QZ的三等分点时，求点Q 的坐标.综合强化练
1. 创新题·阅读理解题 如图，抛物线( :y=ax²+bx+c(a⟩0)与y轴交于点 D，顶点为F，与直线l: y=x+2交
于A，B两点，直线l与y轴交于点G，与抛物线C的对称轴交于点 E.若记K(l， C)=EF⋅AB,,则称K(l,C)是直
线l与抛物线C的“截积”.
(1)若 a=1,，抛物线的对称轴为直线 x=−1,OD=4,，求此时K的值；
(2)在(1)的基础上，过点 F 作直线l的平行线l'，现将抛物线C 进行平移，使得平移后的抛物线 C' 的顶点. F' 落
在直线l'上，抛物线 C' 的对称轴与直线l交于点. E',试探究 K(l',C')是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，
请说明理由；
(3)设抛物线 C的函数表达式为 y=a(x−ℎ)²+k,若 K(l,C)=8√2,AB=4√2,且点 F 在点 E 的下方，求a的
值.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,且( OB=OC.点 P 为抛物
线 y=ax²+bx+c上的一个动点，过点P作 PD⊥x轴于点 D,交直线 BC 于点 E.
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)当 DE= PD时，求此时点 P 的坐标；
3
(3)第一象限抛物线上是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的5倍?若存在，求出
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区线段数量关系
一阶 方法突破练
1. 解:如解图,过点 A 作 AD∥x轴,过点 B 作 BD⊥AD 于点 D,过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,则 CE∥BD,
∴△ACE∽△ABD,
AE AC 1
∴ = = .
AD AB 3
∵ 点A 的横坐标为-2,点 B 的横坐标为1,
∴AD=3,AE=1,
∴点E 的横坐标为-2+1=-1.
由 CE∥y轴可得,点 C 与点 E 的横坐标相同.
当x=-1时,y=2x+3=1.
∴ 点C的坐标为(-1,1).
2.解：∵ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，
∴A(0,3),B(3,0),
∴ 直线AB 的解析式为：γ=-x+3,
设点 P 的坐标为 (m,−m²+2m+3)(0<m<3),则H(m,-m+3),Q(m,0)(设点坐标),
∴PH=−m²+2m+3−(−m+3)=−m²+3m,HQ=−m+3(表示线段长)，
∵ PH=2HQ,
∴−m²+3m=2(−m+3)(根据线段数量关系列方程求解),
解得m=2或m=3(舍去),
∴点P的坐标为(2,3).
3. 解:如解图,过点 P作PE∥y轴交 BC于点 E(作y轴的平行线构造相似三角形)，
令 −x²+2x+3=0,解得x=-1或x=3,
∵点A 在点 B左侧,
∴A(-1,0),B(3,0),令x=0,得y=3,∴C(0,3),
∴OB=OC=3,BC=3 √2,
∵ PE∥y轴,
∴∠PEM=∠OCB,
又∵∠PMB=∠COB=90°,
∴△PME∽△BOC,∴PM=BE,
√2
∵PM= OB,
6
√2
∴PE= ×3√2=1(求出转化后的线段长)，
6
∵C(0,3),B(3,0),
∴直线 BC的解析式为y=-x+3,设点 P(m,−m²+2m+3)(0<m<3),，则点 E 的坐标为(m,-m+3)(设点坐标),
∴PE=−m²+2m+3−(−m+3)=−m²+3m(表示线段长),
3−√5 3+√5
∴−m²+3m=1(根据已知线段长列方程求解)，解得 m= 或 m= ,
2 23−√5 3+√5
∴点P 的横坐标为 $ .
2 2
二阶 设问进阶练
3 3
例 解:(1)令 − x2+ x+3=0,解得x=-2或x=4,
8 4
∵ 点 B 在点 A 的右侧,
∴A(-2,0),B(4,0),
∴抛物线对称轴为直线x=1，令x=0,得y=3,∴C(0,3),如解图，作线段 BC 的垂直平分线EG交直线 l 于点 E,交
BC 于点G,连接BE,CE,此时CE=BE,
∵B(4,0),C(0,3),
3 3
∴G(2, ),直线BC的解析式为
y=− x+3,
2 4
4 4 3 7
∴设直线EG的解析式为 y= x+b,将G点坐标代入得 ×2+b= ,解得 b=− ,
3 3 2 6
4 7
∴ 直线 EG的解析式为 y= x− ,
3 6
∵ 点 E 是抛物线对称轴上一点，
∴点 E 的横坐标为1,
4 7 1
∴将x=1代入 y= x− ,得 y= ,
3 6 6
( 1)
∴E 1, ;
6
(2)如解图②,过点 F 作FD⊥BC于点 D,
8 FD 8 FD
∵sin∠FCB= sin∠FBC,∴ = ⋅ ,
5 CF 5 BF
CF 5 5
∴ = ,CF= BF,
BF 8 8
∵点F是x轴上一点，且在点B左侧，
∴设F(t,0),
∴CF=√t2+32,BF=4−t,
5
∴√32+t2= (4−t),
8
44
解得t=-4或 t=− ,
39
( 44 )
∴F₁(-4,0)或 F − ,0 ;
2 39
(3)由(1)知,直线 BC的解析式为 y=− 3 x+3,设点 Q 的坐标为( ( q,− 3 q2+ 3 q+3 ) ,其中(0<q<4,则点Q'的
4 8 4
坐标为 ( q,− 3 q+3 ) ,点 Z的坐标为(q,0), ∴QZ=− 3 q2+ 3 q+3,Q'Z=− 3 q+3,
4 8 4 4
∵ 点Q'为线段QZ 的三等分点，
∴需要分两种情况讨论：
①当 Q'Z= 1 QZ时，即 − 3 q+3= 1( − 3 q2+ 3 q+3 ) ,解得 q₁=q₂=4(舍去);
3 4 3 8 4②当 Q'Z= 2 QZ时，即 − 3 q+3= 2( − 3 q2+ 3 q+3 ) ,解得 q₃=4(舍去),q₄=1,
3 4 3 8 4
3 3 27
当q=1时, y=− ×12+ ×1+3= ,
8 4 8
( 27)
∴ 点 Q 的坐标为 1, .
8
( 27)
综上所述，当点Q'为线段QZ的三等分点时，点Q的坐标为 1, .
8
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵直线l的函数表达式为y=x+2①,a=1,OD=4,抛物线的对称轴为直线x=-1,
b
∴c=−4,− =−1,∴b=2,
2a
∴抛物线C的函数表达式为 y=x²+2x−4②,
{x=−3 {x=2
,
∴抛物线的顶点 F(-1,-5),联立①②，解得 す
y=−1 y=4
∴A(-3,-1),B(2,4),
∴将x=-1代入y=x+2,得y=1,∴E(-1,1),
∴EF=6,
∴K(l,C)=EF⋅AB=6 √[2−(−3)] 2 +[4−(−1)] 2 =30 √2;
(2)K(l',C')是定值,其值为6 √2.
理由如下:由(1)知,F(-1,-5),
∵l∥l',∴直线l'的解析式为y=x-4③,
∴ 设平移后的抛物线 C'的顶点坐标为F'(m,m-4),
∴平移后的抛物线 C'的解析式为 y=(x−m)²+m−4④,E'(m,m+2),∴E'F'=6,
联立③④,得( (x−m)²+m−4=x−4,
∴x²+m²−2xm+m−x=0,
∴(x−m)²−(x−m)=0,
∴(x-m)(x-m-1)=0,
∴x=m或x=m+1,
∴A(m,m+2),B(m+1,m+3),
∴AB=√[m−(m+1)] 2 +[(m+2)−(m+3)] 2 =√2,
∴K(l',C')=E'F' ⋅AB=6√2,
即K(l,C')是定值,其值为(6 √2;
(3)∵ 抛物线 C 的函数表达式为 y=a(x−ℎ)²+k⑤,
∴顶点坐标F(h,k),
∴E(h,h+2),∴EF=h+2-k,
K(l,C) 8√2
∵K(l,C)=8√2,∴EF= = =2,
AB 4√2
∴2=h+2-k,∴h=k,
∵直线l的函数表达式为y=x+2①,联立①⑤，整理得 ax²−(2aℎ +1)x+aℎ²+k−2=0,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),2aℎ +1 aℎ 2+k−2
∴x +x = ,x x = ,
1 2 a 1 2 a
∴AB²=(x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²
=(x₁−x₂)²+(x₁+2−x₂−2)²
=2(x₁−x₂)²
=2[(x₁+x₂)²−4x₁x₂]
[(2aℎ +1) 2 4(aℎ 2+k−2)]
=2 −
a2 a
8a(ℎ−k+2)+2
=
a2
16a+2
= ,
a2
∵AB=4√2,
16a+2
∴ =(4√2) 2=32,∴16a2−8a−1=0,
a2
1+√2 1−√2
解得 a= 或 a= (舍去).
4 4
1+√2
∴a的值为 .
4
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)分别与坐标轴交于点A(-1,0),B(3,0),C,且OB=OC,
∴C(0,-3),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx−3,
∴将点A，B的坐标代入抛物线的解析式，
{ a−b−3=0 { a=1
,
得 解得
9a+3b−3=0 b=−2,
∴该抛物线的解析式为 y=x²−2x−3;
(2)【思路点拨】设出点P的坐标，表示出点E，点D的坐标，根据点 P 与 A，B 间的位置关系进行讨论，由
1
DE= PD列方程求解即可.
3
∵B(3,0),C(0,-3),
∴ 直线 BC 的解析式为y=x-3,
设点 P(t,t²−2t−3),则.E(t,t-3),D(t,0),
当点 P 在点 A,B之间的抛物线上时,-1<t<3,
则 DE=0−(t−3)=3−t,PD=0−(t²−2t−3)=−t²+2t+3,
1 1
∵DE= PD,∴3−t= (−t2+2t+3),
3 3
解得t=2或t=3(舍去),
∴P(2,-3);
当点 P在点 B右侧的抛物线上时，t>3，
则 DE=t−3,PD=t²−2t−3,
1 1
∵DE= PD,∴t−3= (t2−2t−3),
3 3
解得t=2(舍去)或t=3(舍去),
∴此时点 P不存在；当点 P 在点 A 左侧的抛物线上时,t<-1,
则DE=0-(t-3)=3-t,PD=t²-2t-3,
1 1
∵DE= PD,∴3−t= (t2−2t−3),
3 3
解得t=-4或t=3(舍去),
∴P(-4,21).
综上所述,点P的坐标为(2,-3)或(-4,21);
(3)【思路点拨】画出草图，设出点P的坐标，表示出点E的坐标,表示线段PE,DE 的长,构造△PEH∽△DEG,列
式求解即可.
存在.
如解图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,过点 D 作 DG⊥BC于点 G,则PH=5DG,
设 P(m,m²−2m−3)(m⟩3),则E(m,m-3),D(m,
),∴PE=m²−2m−3−(m−3)=m²−3m,DE=m−3,(
∵∠PHE=∠DGE=90°,
∠PEH=∠DEG,
∴△PEH∽△DEG,
PE PH
∴ = =5,
DE DG
m2−3m
即 =5,
m−3
解得m=3(舍去)或m=5,
∴P(5,12).
故存在点P,点P的坐标为(5,12).
