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2013年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x•x4＝x5 B．x6÷x3＝x2 C．3x2﹣x2＝3 D．（2x2）3＝6x6
5．（3分）化简 的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
6．（3分）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3
7．（3分）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药
材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了
甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少
斤？（ ）
A． B．
第1页（共25页）C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD
折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法
表示为 ．
10．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ ．
11．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是
．
13．（3分）如图，AB是 O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝ °．
⊙
14．（3分）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使
△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
15．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的
第2页（共25页）数字为奇数的概率是 ．
16．（3分）圆锥的侧面积为6 cm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm．
三、解答题（本大题共6小题π，每小题6分，共36分）
17．（6分）计算：|﹣ |+（2013﹣ ）0﹣（ ）﹣1﹣2sin60°．
18．（6分）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）说明△A B C 是由△A B C 经过怎样的平移得到的？
2 2 2 1 1 1
20．（6分）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y＝ 的图象在
第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．
第3页（共25页）21．（6分）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学
生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽
样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全两个统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？
22．（6分）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次
巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机
在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC
＝5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结
果保留根号）．
第4页（共25页）四、证明题（本题8分）
23．（8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
五、应用题（本题8分）
24．（8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批
乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，
而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前
后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．
第5页（共25页）六、综合题（本大共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，tanA＝k，P为AC边上一动点，设PC＝x，作
PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，
并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并
求出S的最大值．
第6页（共25页）26．（10分）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC＝90°，AB＝1，AO＝2，OC＝3，以O
为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO
上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在
直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为
何值时，PB∥OD？
第7页（共25页）2013 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵5× ＝1，
∴5的倒数是 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3﹣x≠0，
解得x≠3．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
第8页（共25页）A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项正确；
C、是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心
对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x•x4＝x5 B．x6÷x3＝x2 C．3x2﹣x2＝3 D．（2x2）3＝6x6
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除
法．
【分析】结合各选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方等
运算，然后选出正确选项即可．
【解答】解：A、x•x4＝x5，原式计算正确，故本选项正确；
B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故本选项错误；
C、3x2﹣x2＝2x2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（2x2）3＝8x，原式计算错误，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，属于基础题，掌
握各运算法则是解题的关键．
5．（3分）化简 的结果为（ ）
第9页（共25页）A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．
【解答】解：
＝ ﹣
＝
＝1；
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母
不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同
分母分式，然后再相加减即可．
6．（3分）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数
是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数即可求出答案．
【解答】解：数据1，2，3，3，5，5，5中，
5出现了3次，出现的次数最多，
则众数是5；
最中间的数是3，
则中位数是3；
故选：D．
【点评】此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键，众数是一组
数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
7．（3分）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药
材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了
甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少
第10页（共25页）斤？（ ）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】16：压轴题．
【分析】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种
药材共花费280元，可列出方程．
【解答】解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，
由题意得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出
未知数找出等量关系．
8．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD
折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】16：压轴题．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出
∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D＝∠B＝65°，
第11页（共25页）∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′＝∠CB′D﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质
是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法
表示为 4.15×1 0 8 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将415000000用科学记数法表示为4.15×108．
故答案为4.15×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ 1 2 ．
【考点】4F：平方差公式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），然后代入求解．
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×3＝12．
故答案是：12．
【点评】本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．本题是一道
较简单的题目．
11．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）可得方程180（x﹣2）＝
1080，再解方程即可．
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
第12页（共25页）故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180
（n≥3）且n为整数）．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是 2
．
【考点】AA：根的判别式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4（b﹣1）＝（b﹣2）2＝0，
则b的值为2．
故答案为：2
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根
的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
13．（3分）如图，AB是 O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝ 2 0 °．
⊙
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半得：∠BOC＝2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．
【解答】解：∵ O是△ABC的外接圆，∠BAC＝70°，
∴∠B0C＝2∠BA⊙C＝2×70°＝140°，
∵OC＝OB（都是半径），
∴∠OCB＝∠OBC＝ （180°﹣∠BOC）＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等
于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（3分）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使
△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 ∠ B ＝∠ C （ 答案不唯一） （只写一个条件即可）．
第13页（共25页）【考点】KB：全等三角形的判定．
【专题】26：开放型．
【分析】由题意得，AE＝AD，∠A＝∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，
答案不唯一．
【解答】解：添加∠B＝∠C．
在△ABE和△ACD中，∵ ，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握
三角形全等的几种判定定理．
15．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的
数字为奇数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【专题】16：压轴题．
【分析】让向上一面的数字是奇数的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，
奇数为1，3，5，则向上一面的数字是奇数的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点
为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）圆锥的侧面积为6 cm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 3 cm．
【考点】MP：圆锥的计算π．
第14页（共25页）【专题】16：压轴题．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长＝4 ，侧面积＝2 R＝6 ，
∴R＝3． π π π
故答案为：3．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，重点是掌握公式．
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）计算：|﹣ |+（2013﹣ ）0﹣（ ）﹣1﹣2sin60°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】先分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角函数值计算出各
数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2 +1﹣3﹣2×
＝2 +1﹣3﹣
＝ ﹣2．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三
角函数值是解答此题的关键．
18．（6分）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．
【分析】首先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求得不等式的解集．
【解答】解：去括号得：4x﹣4+3≥3x，
移项得：4x﹣3x≥4﹣3
则x≥1．
把解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改
变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不
等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等
第15页（共25页）式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
19．（6分）在图示的方格纸中
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）说明△A B C 是由△A B C 经过怎样的平移得到的？
2 2 2 1 1 1
【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．
【专题】13：作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次
1 1 1
连接即可；
（2）根据平移的性质结合图形解答．
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单
位）．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找
第16页（共25页）出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．
20．（6分）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y＝ 的图象在
第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a，求得A点坐标，然后再把A、C点
的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式．
【解答】解：∵A（1，a）在y＝ 的图象上，
∴a＝2，
∴A（1，2）．
又∵C（0，3）在一次函数的图象，
设一次函数的解析式为y＝kx+b，则
解得：k＝﹣1，b＝3，
故一次函数的解析式为y＝﹣x+3．
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本类题目的解决需把点的坐标代入函
数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式．
21．（6分）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学
生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽
样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 40 0 名学生；
（2）补全两个统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？
第17页（共25页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）用总人数减去其它人数得出不会的人数，再根据家长陪同的人数除以总人数得出家长
陪同时会的所占的百分比，从而补全统计图；
（3）用2000乘以一定会下河游泳所占的百分百，即可求出该校一定会下河游泳的人数．
【解答】解：（1）总人数是：20÷5%＝400（人）；
（2）一定不会的人数是400﹣20﹣50﹣230＝100（人），
家长陪同的所占的百分百是 ×100%＝57.5%，
补图如下：
（3）根据题意得：
2000×5%＝100（人）．
答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
第18页（共25页）图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，用到的知识点是频率＝ ．
22．（6分）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次
巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机
在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC
＝5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结
果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求
得BD＝BF+FG+GD的值．
【解答】解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，
由题意得：AF＝PG＝CE＝5km，FG＝AP＝20km，
在Rt△AFB中，∠B＝45°，
则∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝5，
∵AP∥BD，
∴∠D＝∠DPH＝30°，
在Rt△PGD中，tan∠D＝ ，即tan30°＝ ，
∴GD＝5 ，
则BD＝BF+FG+GD＝5+20+5 ＝25+5 （km）．
答：飞机的飞行距离BD为25+5 km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三
角形，然后解直角三角形，难度一般．
第19页（共25页）四、证明题（本题8分）
23．（8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠BEC＝∠DFA，再加上条件∠ADF＝∠CBE，AF＝
CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE＝DF，根据一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】证明：∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
在△ADF和△CBE中 ，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形．
五、应用题（本题8分）
24．（8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批
乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，
而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前
后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】先设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据前后一共获利750元，列出方程，求出x
第20页（共25页）的值，再进行检验即可．
【解答】解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：
•40%•150﹣（x﹣150）• •20%＝750，
解得：x＝200，
经检验x＝200是原方程的解，
解法二：
总销售额﹣成本＝获得的利润
•（1+40%）•150+（x﹣150）• •（1﹣20%）﹣3000＝750，
x＝200，
经检验x＝200是原方程的解，
答：小李所进乌梅的数量为200kg．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出
方程，解分式方程时要注意检验．
六、综合题（本大共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，tanA＝k，P为AC边上一动点，设PC＝x，作
PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，
并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并
求出S的最大值．
【考点】H7：二次函数的最值；KJ：等腰三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【专题】16：压轴题．
第21页（共25页）【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出
∠CPE＝∠A，从而得到∠CPE＝∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM＝ CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的
长，再根据结果整理可得EM+FN＝BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE ，S△APF ，S△ABC ，再根据S＝S△ABC ﹣S△PCE ﹣
S△APF ，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE＝∠A，
∴∠CPE＝∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM＝ CP＝ ，tanC＝tanA＝k，
∴EM＝CM•tanC＝ •k＝ ，
同理：FN＝AN•tanA＝ •k＝4k﹣ ，
由于BH＝AH•tanA＝ ×8•k＝4k，
而EM+FN＝ +4k﹣ ＝4k，
∴EM+FN＝BH；
（3）解：当k＝4时，EM＝2x，FN＝16﹣2x，BH＝16，
所以，S△PCE ＝ x•2x＝x2，S△APF ＝ （8﹣x）•（16﹣2x）＝（8﹣x）2，S△ABC ＝ ×8×16＝64，
S＝S△ABC ﹣S△PCE ﹣S△APF ，
＝64﹣x2﹣（8﹣x）2，
＝﹣2x2+16x，
第22页（共25页）配方得，S＝﹣2（x﹣4）2+32，
所以，当x＝4时，S有最大值32．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的
最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
26．（10分）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC＝90°，AB＝1，AO＝2，OC＝3，以O
为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO
上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在
直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为
何值时，PB∥OD？
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得
出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出 ＝ ，求出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，
∴设y＝ax2+2，
∵点C（3，0），在抛物线上，
∴9a+2＝0，
解得：a＝﹣ ，
第23页（共25页）∴抛物线为；y＝﹣ x2+2；
（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，
∴EE′经过AO的中点，
∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：
1＝﹣ x2+2，
解得：x＝± ，
∵点E在第一象限，
∴点E为（ ，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得： ，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+3，
将E点代入y＝ax，可得出EO的解析式为：y＝ x，
由 ，
得： ，
∴Q点坐标为：（ ，0），
∴当Q点坐标为（ ，0）时，四边形OEAE′是菱形；
（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB＝∠AOE＝∠ODQ，
又∵∠BAP＝∠DQO，则有△APB∽△QDO，
第24页（共25页）∴ ＝ ，
由题意得：AB＝1，AP＝2m，QO＝3﹣3m，
又∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴DQ＝3m，
因此： ＝ ，解得：m＝ ，
经检验：m＝ 是原分式方程的解，
∴当t＝ 秒时，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，则BH＝AO＝2，OH＝AB＝1，HC＝OC﹣OH＝2，
∴BH＝HC，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
易知DQ＝CQ，
设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，
∴ ＝ ，易知AP＝2m，DQ＝CQ＝3m，QO＝3﹣3m，
∴ ＝ ，
解得m＝ ，经检验m＝ 是方程的解，
∴当t为 秒时，PB∥OD．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形
的判定与性质等知识，根据数形结合得出△APB∽△QDO是解题关键．
第25页（共25页）
