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2019年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不
可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居
世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（ ）
A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ x2）3＝x5 B． + ＝ C．x•x2•x4＝x6 D． ＝
5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
7．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的
两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），
连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
第1页（共29页）A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和
两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（
）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）二次根式 中，x的取值范围是 ．
10．（3分）若 ＝ ，则 ＝ ．
11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为
度．
12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中
位数是 ．
13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶．
第2页（共29页）14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试
成绩的方差分别记作s甲 2、s乙 2，则s甲 2 s乙 2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等
腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．（结果保留 ）
π
16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点，
过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）
17．（6分）计算：（3﹣ ）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
π
第3页（共29页）18．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝ ．
19．（6分）如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连
接AC，DF．求▱证：四边形ACDF是平行四边形．
20．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．
我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上
五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作
了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人，m＝ ，并补全条
形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个
去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
第4页（共29页）21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔
C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在
A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
22．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台
A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台
B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完
成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两
种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？
23．（8分）如图，已知AB是 O的直径，CD与 O相切于点D，且AD∥OC．
⊙ 第5页（共29页⊙）（1）求证：BC是 O的切线；
（2）延长CO交 O⊙于点 E．若∠CEB＝30°， O的半径为2，求 的长．（结果保留 ）
⊙ ⊙ π
24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝
的图象与性质．列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描
出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
点A（﹣5，y ），B（﹣ ，y ），C（x ， ），D（x ，6）在函数图象上，则y y ，x
1 2 1 2 1 2 1
①
x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
2
当函数值y＝2时，求自变量x的值；
第6页（共29页）
②在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x ，y ），Q（x ，y ），且y ＝y ，求
3 3 4 4 3 4
③x +x 的值；
3 4
若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
④
25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE
翻折，点A的对应点为A ，延长EA 交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点
1 1
B 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
1
（1）求证：△A DE∽△B EH；
1 1
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A 恰好落在直线MN上，试判断△DEF
1
的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG
的数量关系．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点
C．
第7页（共29页）（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
如图1，设k＝ ，当k为何值时，CF＝ AD？
①
如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不
②相似，请说明理由．
第8页（共29页）2019 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不
第9页（共29页）可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居
世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（ ）
A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据
此判断即可．
【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ x2）3＝x5 B． + ＝ C．x•x2•x4＝x6 D． ＝
【分析】根据幂的乘方法则判断A；先把 化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可
判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据二次根式的除法法则判断D．
【解答】解：A、（ x2）3＝x6，故本选项错误；
B、 + ＝ +2 ＝3 ，故本选项错误；
C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误；
D、 ＝ ，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法
则、以及二次根式的除法法则是解题的关键．
5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】求出△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，
△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0
⇔
第10页（共29页）方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没
有实数根． ⇔ ⇔
6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可．
【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；
B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式
不合适；
C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查
的方式不合适；
D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合
适，
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识，解题的关键是能够了解两种调查方式的
优缺点，难度不大．
7．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的
两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），
连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的
两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
【解答】解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，
第11页（共29页）∴PA＝PB，故A选项正确；
OA＝OB，故B选项正确；
OE＝OF，故C选项错误；
PO⊥AB，故D选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线
的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和
两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（
）
A． B．2 C． D．4
【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的
方程，解方程即可．
【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等
知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）二次根式 中，x的取值范围是 x ≥ 2 ．
第12页（共29页）【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式
中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（3分）若 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴2x+2y＝3x，
故2y＝x，
则 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为
100 度．
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
第13页（共29页）故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题
关键．
12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中
位数是 8 ．
【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据
的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，
故这组数据的中位数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 15 0 瓶．
【分析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题，
【解答】解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y＝5x+115，
当x＝7时，y＝150，
∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，
故答案为150．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考
第14页（共29页）常考题型．
14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试
成绩的方差分别记作s甲 2、s乙 2，则s甲 2 ＜ s乙 2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差
大，即S甲 2＜S乙 2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等
腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 1 0 ．（结果保留 ）
π π
【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，
∴侧面展开图的面积＝ •2•5＝10 ，
故答案为10 ． π π
【点评】本题π考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．
第15页（共29页）16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点，
过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 8 ．
【分析】由反比例函数的对称性可知OA＝OC，OB＝OD，则S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝
S△AOD ，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【解答】解：∵A、C是两函数图象的交点，
∴A、C关于原点对称，
∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD ，
又∵反比例函数y＝ 的图象上，
∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD ＝ ×4＝2，
∴S四边形ABCD ＝4S△AOB ＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出OA＝OC，OB
＝OD是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）
17．（6分）计算：（3﹣ ）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
π
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函
数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2× + ﹣1+2＝2．
第16页（共29页）【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝ ．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解
答本题．
【解答】解： ﹣
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝ ＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（6分）如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连
接AC，DF．求▱证：四边形ACDF是平行四边形．
【分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据
CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
第17页（共29页）∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行
四边形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．
我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上
五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作
了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 20 0 人，m＝ 3 5 ，并补全条形
统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个
去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区
人数之和等于总人数求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到A，C两个景区的结果数，再根据概率公
式计算可得．
【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），
则m%＝ ×100%＝35%，即m＝35，
第18页（共29页）C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），
补全条形图如下：
故答案为：200，35；
（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%＝420（人）；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇
形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔
C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在
A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
【分析】延长CB交过A点的正东方向于D，则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD
第19页（共29页）＝45°，∠BAD＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝CD＝ AC＝15 ，AD＝ BD，
BD＝ ＝5 ，即可得出答案．
【解答】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：
则∠CDA＝90°，
由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝CD＝ AC＝15 ，AD＝ BD，
∴BD＝ ＝5 ，
∴BC＝CD﹣BD＝15 ﹣5 ≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；
答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造
直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．
22．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台
A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台
B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完
成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两
种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？
【分析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个
零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型
机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出
结论；
第20页（共29页）（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量＝
8×A型机器的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76
件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整
数即可得出各安排方案．
【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）
个零件，
依题意，得： ＝ ，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．
（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，
依题意，得： ，
解得：6≤m≤8．
∵m为正整数，
∴m＝6，7，8．
答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器
安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
组．
23．（8分）如图，已知AB是 O的直径，CD与 O相切于点D，且AD∥OC．
（1）求证：BC是 O的切线⊙； ⊙
（2）延长CO交 O⊙于点 E．若∠CEB＝30°， O的半径为2，求 的长．（结果保留 ）
⊙ ⊙ π
第21页（共29页）【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB，得到∠ODC＝
∠OBC＝90°，即可证得结论；
（2）根据圆周角定理得到∠BOD＝120°，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD与 O相切于点D，
∴∠ODC⊙＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，
∴∠COB＝∠COD，
在△COD和△COB中
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴BC是 O的切线；
（2）解⊙：∵∠CEB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠COB＝∠COD，
∴∠BOD＝120°，
∴ 的长： ＝ ．
π
【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判
定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
第22页（共29页）24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝
的图象与性质．列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描
出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
点A（﹣5，y ），B（﹣ ，y ），C（x ， ），D（x ，6）在函数图象上，则y ＜ y ，x ＜
1 2 1 2 1 2 1
①
x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
2
当函数值y＝2时，求自变量x的值；
②在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x
3
，y
3
），Q（x
4
，y
4
），且y
3
＝y
4
，求
③x +x 的值；
3 4
若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
④【分析】（1）描点连线即可；
（2） A与B在y＝﹣ 上，y随x的增大而增大，所以y ＜y ；C与D在y＝|x﹣1|上，观察
1 2
①
图象可得x ＜x ；
1 2
当y＝2时，2＝|x﹣1|，则有x＝3或x＝﹣1；
②由图可知﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，当y
3
＝y
4
时x
3
+x
4
＝2；
③由图象可知，0＜a＜2；
④【解答】解：（1）如图所示：
第23页（共29页）（2） A（﹣5，y ），B（﹣ ，y ），
1 2
①
A与B在y＝﹣ 上，y随x的增大而增大，∴y ＜y ；
1 2
C（x ， ），D（x ，6），
1 2
C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x ＜x ；
1 2
故答案为＜，＜；
当y＝2时，2＝﹣ ，∴x＝﹣ （不符合）；
②
当y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1；
∵P（x ，y ），Q（x ，y ）在x＝﹣1的右侧，
3 3 4 4
③∴﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，
∵y ＝y ，
3 4
∴x +x ＝2；
3 4
由图象可知，0＜a＜2；
④
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确
的画出函数图象是解题的关键．
25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE
翻折，点A的对应点为A ，延长EA 交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点
1 1
B 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
1
（1）求证：△A DE∽△B EH；
1 1
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A 恰好落在直线MN上，试判断△DEF
1
的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG
的数量关系．
第24页（共29页）【分析】（1）由折叠图形的性质可得∠DA E＝∠EB H＝90°，∠DEA +∠HEB ＝90°从而可
1 1 1 1
得∠DEA ＝∠EHB ，依据两个角对应相等的三角形相似可得△A DE∽△B EH；
1 1 1 1
（2）由A 恰好落在直线MN上可知A 在EF的中点，由SAS易证△A DE≌△A DF，即可
1 1 1 1
得∠ADE＝∠EDA ＝∠FDA ＝30°，
1 1
（3）将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到
△G′GF中结合∠DGF＝150°，可得△G′GF为直角三角形，由勾股定理可得G'G2+GF2
＝G'F2，即可证明DG2+GF2＝GE2，
【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA E＝90°，∠EBH＝∠EB H＝90°，
1 1
∠AED＝∠A ED，∠BEH＝∠B EH，
1 1
∴∠DEA +∠HEB ＝90°．
1 1
又∵∠HEB +∠EHB ＝90°，
1 1
∴∠DEA ＝∠EHB ，
1 1
∴△A DE∽△B EH；
1 1
（2）结论：△DEF是等边三角形；
理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A 是EF的中点，即A E＝A F，
1 1 1
在△A DE和△A DF中
1 1
，
∴△A DE≌△A DF（SAS），
1 1
∴DE＝DF，∠FDA ＝∠EDA ，
1 1
又∵△ADE≌△A DE，∠ADF＝90°．
1
∴∠ADE＝∠EDA ＝∠FDA ＝30°，
1 1
第25页（共29页）∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，
理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如
解图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2，
【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的
性质等知识，解（3）题的关键是灵活运用旋转得全等三角形，构造Rt△G′GF．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
如图1，设k＝ ，当k为何值时，CF＝ AD？
①
如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不
②相似，请说明理由．
第26页（共29页）【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的
函数表达式，可求得顶点D（﹣1，4）；
（2） 由A、C、D三点的坐标求出AC＝3 ，DC＝ ，AD＝2 ，可得△ACD为直角三
①
角形，若CF＝ ，则点F为AD的中点，可求出k的值；
由条件可判断∠DAC＝∠OBC，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与
②△ABC相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求
出点F的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2） ∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，
∴AC2 ①＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
∴CD2＝12+12＝2
∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵ ，
∴F为AD的中点，
第27页（共29页）∴ ，
∴ ．
在Rt△ACD中，tan ，
②
在Rt△OBC中，tan ，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得： ，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴ ，解得： ，
∴F（﹣ ）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，
第28页（共29页）∴ ，解得： ，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣ ）或（﹣2，2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三
角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图
形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
第29页（共29页）
