文档内容
2015年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（3分）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+x＝x4 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．x9÷x3＝x3
4．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同
学成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．93，96 B．96，96 C．96，100 D．93，100
7．（3分）如图为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC
第1页（共28页）交于点F，∠ADB＝30°，则EF＝（ ）
A． B．2 C．3 D．3
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达
32亿元，3200000000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
11．（3分）分解因式：2a2﹣2＝ ．
12．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，已知直线m∥n，∠1＝100°，则∠2的度数为 ．
14．（3分）如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，若∠CAB＝40°，则∠ABC的度数为
． ⊙ ⊙
15．（3分）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方
式的概率为 ．
16．（3分）请观察下列等式的规律：
＝ （1﹣ ）， ＝ （ ﹣ ），
第2页（共28页）＝ （ ﹣ ）， ＝ （ ﹣ ），
…
则 + + +…+ ＝ ．
三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（ ）﹣1﹣20150+|﹣ |﹣2sin60°．
18．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（6分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y ＝kx（k≠0）与反比例函数y ＝ （m≠0）的
1 2
一个交点．
（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y ＜y ？
1 2
第3页（共28页）20．（8分）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各
类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统
计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完
整的统计图．
（1）这次统计共抽取了 本书籍，扇形统计图中的m＝ ，∠ 的度数是 ；
（2）请将条形统计图补充完整； α
（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．
21．（8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹
集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比
樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．
第4页（共28页）22．（8分）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，
在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距
离．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
23．（8分）如图，AC是 ▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，
F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
第5页（共28页）24．（10分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x ，x ，
1 2
（1）若x ＜x ，都有f（x ）＜f（x ），则称f（x）是增函数；
1 2 1 2
（2）若x ＜x ，都有f（x ）＞f（x ），则称f（x）是减函数．
1 2 1 2
例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
证明：假设x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝ ＝
1 2
∵x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
∴x ﹣x ＞0，x x ＞0
2 1 1 2
∴ ＞0，即f（x ）﹣f（x ）＞0
1 2
∴f（x ）＞f（x ）
1 2
∴函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）函数f（x）＝ （x＞0），f（1）＝ ＝1，f（2）＝ ＝ ．
计算：（f 3）＝ ，（f 4）＝ ，猜想（f x）＝ （x＞0）是 函数（填“增”或
“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．
第6页（共28页）25．（10分）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的 ▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段
AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出 ▱DEFG的最大面积，并
求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
第7页（共28页）26．（12分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4cm，DC＝5cm，AB＝8cm．如
果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀
速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动
时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
第8页（共28页）2015 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
【解答】解：（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次
幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+x＝x4 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．x9÷x3＝x3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数
不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算
后利用排除法求解．
【解答】解：A、x3•x＝x4，故错误；
B、正确；
C、（x2）3＝x6，故错误；
D、x9÷x3＝x6，故错误；
第9页（共28页）故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定
要记准法则才能做题．
4．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．
【解答】解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；
B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空
间想象能力．
5．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
D、不是轴对称图形，
故选：A．
第10页（共28页）【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合．
6．（3分）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同
学成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．93，96 B．96，96 C．96，100 D．93，100
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：把数据从小到大排列：92，93，95，96，96，98，100，
位置处于中间的数是：96，故中位数是96；
次数最多的数是96，故众数是96，
故选：B．
【点评】此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而
误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定
中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的
平均数．
7．（3分）如图为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
【专题】31：数形结合．
【分析】根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．
【解答】解：∵一次函数经过二、四象限，
∴k＜0，
∵一次函数与y轴的交于正半轴，
第11页（共28页）∴b＞0．
故选：C．
【点评】考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限
或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC
交于点F，∠ADB＝30°，则EF＝（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】16：压轴题．
【分析】利用翻折变换的性质得出：∠1＝∠2＝30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2＝30°，则∠3＝30°，
可得∠4＝∠5＝60°，
∵AB＝DC＝BE＝3，
∴tan60°＝ ＝ ＝ ，
解得：EF＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4＝∠5＝60°是解题
关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达
第12页（共28页）32亿元，3200000000用科学记数法表示为 3.2×1 0 9 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3200000000＝3.2×109，
故答案为：3.2×109
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 3 cm2．
【考点】MP：圆锥的计算． π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2 ×3×1÷2＝3 ．
故答案为：3 ． π π
【点评】本题考π查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的
底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
11．（3分）分解因式：2a2﹣2＝ 2 （ a + 1 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣2，
＝2（a2﹣1），
＝2（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≠ 2 ．
【考点】62：分式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
【专题】11：计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：
分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
第13页（共28页）解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．（3分）如图，已知直线m∥n，∠1＝100°，则∠2的度数为 80 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据邻补角定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝100°，
∴∠3＝180°﹣100°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2＝∠3＝80°．
故答案为80°．
【点评】本题考查了平行线的性质，找到相应的同位角是解题的关键．
14．（3分）如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，若∠CAB＝40°，则∠ABC的度数为
50° ． ⊙ ⊙
【考点】M5：圆周角定理．
第14页（共28页）【专题】11：计算题．
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对
的弦是直径．
15．（3分）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方
式的概率为 ．
【考点】4E：完全平方式；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题．
【分析】先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++”和
“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有四种等可能的结果数，其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，
所以所得的代数式为完全平方式的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
也考查了完全平方式．
16．（3分）请观察下列等式的规律：
＝ （1﹣ ）， ＝ （ ﹣ ），
＝ （ ﹣ ）， ＝ （ ﹣ ），
第15页（共28页）…
则 + + +…+ ＝ ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】观察算式可知 ＝ （ ﹣ ）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求
解．
【解答】解： + + +…+
＝ （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）
＝ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝ （1﹣ ）
＝ ×
＝ ．
故答案为： ．
【点评】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现
的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为 ＝ （ ﹣ ）（n
为非0自然数）．
三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（ ）﹣1﹣20150+|﹣ |﹣2sin60°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用
绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
第16页（共28页）【解答】解：原式＝2﹣1+ ﹣2× ＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵解不等式 得：x≤ ，
①
解不等式 得：x＞﹣1，
②
∴不等式组的解集为﹣1＜x ，
在数轴上表示不等式组的解集为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关
键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．
19．（6分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y ＝kx（k≠0）与反比例函数y ＝ （m≠0）的
1 2
一个交点．
（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y ＜y ？
1 2
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可；
（2）利用函数图象，结合交点左侧时y ＜y ．
1 2
第17页（共28页）【解答】解：（1）将点A（1，2）代入正比例函数y ＝kx（k≠0）与反比例函数y ＝ （m≠0）得，
1 2
2＝k，m＝1×2＝2，
故y ＝2x（k≠0），反比例函数y ＝ ；
1 2
（2）如图所示：当0＜x＜1时，y ＜y ．
1 2
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数交点，利用数形结合得出是解题关键．
20．（8分）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各
类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统
计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完
整的统计图．
（1）这次统计共抽取了 20 0 本书籍，扇形统计图中的m＝ 4 0 ，∠ 的度数是 36 ° ；
（2）请将条形统计图补充完整； α
（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可
求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；
（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；
第18页（共28页）（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（本），80÷200＝40%， ×360°＝36°，
故答案为：200，40，36°；
（2）B的本数为：200﹣40﹣80﹣20＝60（本），
如图所示：
（3）3000× ＝900（本）．
答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹
集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比
樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花
树共30棵列方程解答即可．
【解答】解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得
+ ＝30
解得：x＝200
经检验x＝200是原方程的解．
则（1+50%）x＝300
＝20（棵）
答：樱花树的单价为200元，有20棵．
第19页（共28页）【点评】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
22．（8分）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，
在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距
离．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．用含x的代数式分别表示BD，CD．再根据
BD+CD＝BC，列出方程 x+x＝150，解方程即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝ x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝x．
∵BD+CD＝BC，
∴ x+x＝150，
∴x＝75（3﹣ ）≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把
第20页（共28页）条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．
23．（8分）如图，AC是 ▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，
F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；
（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE＝CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对
角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练
掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（10分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x ，x ，
1 2
第21页（共28页）（1）若x ＜x ，都有f（x ）＜f（x ），则称f（x）是增函数；
1 2 1 2
（2）若x ＜x ，都有f（x ）＞f（x ），则称f（x）是减函数．
1 2 1 2
例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
证明：假设x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝ ＝
1 2
∵x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
∴x ﹣x ＞0，x x ＞0
2 1 1 2
∴ ＞0，即f（x ）﹣f（x ）＞0
1 2
∴f（x ）＞f（x ）
1 2
∴函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）函数f（x）＝ （x＞0），f（1）＝ ＝1，f（2）＝ ＝ ．
计算：f（3）＝ ，f（4）＝ ，猜想f（x）＝ （x＞0）是 减 函数（填“增”或
“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】21：阅读型．
【分析】（1）根据题意把x＝3，x＝4代入，再比较其大小即可；
（2）假设x ＜x ，且x ＞0，x ＞0，再作差比较即可．
1 2 1 2
【解答】（1）解：∵f（x）＝ （x＞0），f（1）＝ ＝1，f（2）＝ ＝ ，
∴f（3）＝ ＝ ，f（4）＝ ＝ ，
∵ ＞ ，
∴猜想f（x）＝ （x＞0）是减函数．
第22页（共28页）故答案为： ， ，减；
（2）证明：假设x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝ ＝ ，
1 2
∵x ＜x ，且x ＞0，x ＞0
1 2 1 2
∴x ﹣x ＞0，x +x ＞0，x 2•x 2＞0，
2 1 2 1 1 2
∴ ＞0，即f（x ）﹣f（x ）＞0
1 2
∴f（x ）＞f（x ）
1 2
∴函数f（x）＝ （x＞0）是减函数．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题中所给出的材料假设出x ＜x ，且x ＞0，x
1 2 1 2
＞0，再比较出其大小即可．
25．（10分）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的 ▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段
AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出 ▱DEFG的最大面积，并
求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
第23页（共28页）【分析】（1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的
表达式即可；
（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA＝4，OB＝4，CB＝2 ，CA＝2 ，则OA＝
OB，CA＝CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形
AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB＝4 ，OC＝6 ，设D（t，0），EF∥OC，
DE∥AB，根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF＝DG，再
由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，
所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似
比得DE＝ t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG＝ （4﹣t），所以矩形
DEFG的面积＝DE•DG＝ t• （4﹣t）＝﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行
四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．
【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x+4；
（2）如图1，连结AB、OC，
∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），
∴OA＝4，OB＝4，CB＝ ＝2 ，CA＝ ＝2 ，
∴OA＝OB，CA＝CB，
∴OC垂直平分AB，
即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）能．
第24页（共28页）如图2，AB＝ ＝4 ，OC＝ ＝6 ，设D（t，0），EF∥OC，DE∥AB，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF∥DG，EF＝DG，
∵OC垂直平分AB，
∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DE＝ t，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DG＝ （4﹣t），
∴矩形DEFG的面积＝DE•DG＝ t• （4﹣t）＝﹣3t2+12t＝﹣3（t﹣2）2+12，
当t＝2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．
【点评】考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质
第25页（共28页）和对称的判定与性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；掌
握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质；会利用相似比计算线段的长．
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4cm，DC＝5cm，AB＝8cm．如
果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀
速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动
时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；
（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的
性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出
S的最值；
（3）根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．
【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE＝CD＝5，CE＝AD＝4，
∴BE＝3，
∴BC＝ ，
∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，
∴t＝ （秒），
第26页（共28页）即t＝5秒时，P，Q两点同时停止运动．
（2）由题意知，AQ＝BP＝t，
∴QB＝8﹣t，
作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，
∴ ，即 ，
∴PF＝ ，
∴S＝ QB•PF＝ × （8﹣t）＝ ＝﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5），
∵﹣ ＜0，
∴S有最大值，当t＝4时，S的最大值是 ；
（3）∵cos∠B＝ ，
当PQ＝PB时（如图2所示），则BG＝ BQ， ＝ ＝ ，解得t＝ s，
①
当PQ＝BQ时（如图3所示），则BG＝ PB， ＝ ＝ ，解得t＝ s，
②
当BP＝BQ时（如图4所示），则8﹣t＝t，
③解得：t＝4．
综上所述：当t＝ s， s或t＝4s时，△PQB为等腰三角形．
第27页（共28页）【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的
最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的
性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．
第28页（共28页）
