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2024 年中考第二次模拟考试（山东济南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
此题主要考查了简单几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，
左面，上面看得到的图形．根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看，可得
故选：D．
2．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，
到2025年我国海水淡化总规模将达到 吨/日以上．数字 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．用科
学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，据此解答即可．【详解】 ．
故选：B．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么 的度数是（ ）
A．32° B．48° C．58° D．68°
【答案】A
【分析】
本题考查平行线的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键．
是由平行线的性质推出 ，再由互余关系即可求解．
【详解】
解： ，
，
．
故选：A．
4．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数轴的性质可得 ， ，据此逐项判断即可得．【详解】解：由数轴可知， ， ．
A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，
，则此项正确，符合题意；
D、 ，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化
遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于
鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性
质是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】
本题考查幂的运算，完全平方公式，合并同类项．根据幂的运算，完全平方公式，合并同类项法则分别判
断即可．
【详解】解：A选项： ，故原计算错误，不符合题意；
B选项： 与 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
C选项： ，故原计算错误，不符合题意；
D选项： ，故原计算正确，符合题意．
故选：D
7．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，且 ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断
出函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内 随 的增大而增大，判断出 ， ， 的大小关系，即
可获得答案．
【详解】解：∵对于反比例函数 ，
∴该函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
8．小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随
机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率，解题的关键是利用树形图分析出所有等可能结果．
【详解】解：设“招财祥龙”为①，“瑞狮福龙”为②，“龙凤呈祥”为③，“锦鲤旺龙”为④，树形图
如下：
共有12种等可能结果，其中同时抽到①③的结果有2次，所以恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”
的概率为 ，
故选：D．
9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n（ ）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，
点 与点 都是函数 图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数 的
图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线 上移动，当二次函数图象过点 和点 时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数 的图象上的顶点坐标为： ，
∵y关于x的二次函数 的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数 的图象与以坐标为 的正方形有交点，
当二次函数 恰好经过 时，则 ，
解得： 或 （舍去）；
如当二次函数 恰好经过 时，则 ，
解得 或 （舍去）；
∴当 时，二次函数 的图象存在“n阶方点”，
故选D．
10．如图， 是矩形 对角线， ， ，以 为圆心、 的长为半径作弧，交 于
，交 于 ；再分别以 ， 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射
线 交 于点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．点 到 的距离为 D．图中阴影部分面积为
【答案】C
【分析】连接 ，根据作图可得 是 的角平分线，进而判断A选项，根据 得出
，即可判断B选项，设 ，则 ， ，解 进而求得 ，即可判断C选项，根据 求得阴影部分面积，即可判断D选项．
【详解】解：连接 ，
∵ 是矩形 对角线， ，
∴ ，
根据作图可得 是 的角平分线，
∴ ，故A选项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B选项正确；
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
设 ，则 ， ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，即点 到 的距离为 ，故C选项错误，符合题意；
图中阴影部分面积为 ，故D选项正确，故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，求扇形面积，作角平分线，以及角平分线的性质；熟练
掌握基本作图是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】 /
【分析】
本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，
不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有 个白
球．
【答案】14
【分析】本题考查了利用频率估计概率．设白球有x个，然后根据概率的意义列出方程求解即可．
【详解】解：设白球有x个，根据题意得， ，
解得 ，
即口袋中大约有14个白球．
故答案为：14．
13．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的最大整数解是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到 ，再解不等式，然后在a的
取值范围找出最大的整数即可．【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
所以a的最大整数解为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
14．如图所示，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作 ，以
为直径作半圆 ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【分析】
本题考查不规则图形面积，涉及勾股定理、扇形面积公式、圆的面积公式等知识，根据题意，利用勾股定
理求出 ，从而由直角三角形面积公式、扇形面积公式及圆面积公式求出相应图形面积，间接表示
阴影部分的面积为 ，代值求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积的求法是解
决问题关键．
【详解】解：如图所示：在 中， ， ，则 ，
； ；
；
阴影部分的面积为 ，
故答案为：8．
15．甲、乙两车往返 城与 港口之间运送货物．某一天，甲车从 城出发向 港口行进，同时乙车从
港口向 城行进，图中 ， 分别表示甲、乙两车距 城的距离 （千米）与所用时间 （时）的关系图像，
则甲到达 港口所用的时间为 小时．
【答案】
【分析】
设乙车距离 城的距离与时间的函数关系式为 ，由图可知经过了 和 两个点，用待定
系数法求出乙车的函数关系式，将 代入关系式求出 ， 两城的距离，由图可以求出甲车的速度，用
路程除以速度就可以求出时间．
【详解】解：观察图像可知，图中函数 为甲的图像， 为乙的图像，
设乙车距离 城的距离与时间的函数关系式为 ，
由图可知经过了 和 两个点，，
解得： ，
乙车距离 城的距离与时间的函数关系式为 ，
当 时， ，
故 ， 两城相距 千米，
由图可知甲车的速度 千米/小时，
则甲到达 港口所用的时间 小时，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，观察图像找到相关的信息，求出乙车的
函数关系式是解答本题的关键．
16．如图，在菱形 中， ，点 在边 上，将 沿直线 翻折 ，得到 ，
点 的对应点是点 ．若 ， ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】根据菱形 中， 可知 是等边三角形，结合三线合一可得 ，求
出 ，可得 ，则 是直角三角形，借助勾股定理求出 的长即可．
【详解】解： 菱形 ，
， ，
，
，
，，
将 沿直线 翻折 ，得到 ，
， ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后
对应线段相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】2
【分析】
先化简绝对值，计算零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握零次幂、负整数指数幂的运算法则，牢记特殊角的
三角函数值．18．解不等式组： ，并写出最小整数解．
【答案】 ，不等式组的最小整数解为2．
【分析】
本题主要考查了解不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同
小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整
数解即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的最小整数解为2．
19．如图，已知O为 对角线 的中点，过点O的直线与 、 的延长线相交于点E、F．求
证： ．
【答案】见详解
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出 ，
，再用 证明 ，即可证明 ，再利用线段的和差和等量代换即
可证明 ．
【详解】
证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵O为 的中点，∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
20．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2是其侧面结构示意图，
量得托板 ，支撑板 ，底座 ，托板 固定在支撑板顶端C处，且 ，
托板 可绕点C转动，支撑板 可绕点D转动．
(1)若 ， ，求点A到直线 的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把 绕点C逆时针旋转 后，再将 绕点D顺时针旋转，使点
B落在直线 上，求 旋转的角度大约是多少度？
参 考 数 据 ： （ ， ， ， ， ，
， ）．
【答案】(1)点A到直线 的距离是
(2)
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点 C 作 于点 F，过点 A 作 于点 G，由题意易得 ，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得 ，然后可得 ，进而问题可求解
【详解】（1）
解：过点C作 于点F，过点A作 于点G，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线 的距离是 ．
（2）
解：旋转后如图所示，，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 旋转40°．
21．为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了 名学生的
测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级 名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成 组： ， ， ，
）如图所示：
． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
平 均
年级 中位数 众数
数
七年级
八年级
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中 的值为 ，补全频数分布直方图．
(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为 高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于
本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
(3)若该校七年级共有 名学生，测试的成绩 分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．
【答案】(1) ，见解析
(2)不正确，见解析
(3) 人
【分析】
本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数，样本估计总体；
（1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图；
（2）根据中位数的意义，即可求解．
（3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩 分及以上的占比乘以 ，即可求解．
【详解】（1）解：七年级的中位数为第 和第 个数据的平均数，
∴ ；
第三组的频数为 （人）， 补全频数分布直方图如下
故答案为： ．
（2）解：菲菲的说法不正确，
理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成
绩；
（3）解： （人），
答：估算该校七年级学生的总人数有 990 人．
22．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进
A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等
级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预
算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
(2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为 元，根据所购A等级茶叶比B等级
茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进 盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再
次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质
解答即可．
【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为 元，
根据题意得： 10，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进 盒B等级茶叶，
根据题意得： ，
解得： ，
设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则
，
即 ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，最大值为 ，此时 ．
答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
23．已知：如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点D， ，垂足为点E．
(1)求证：点D是 的中点；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 的直径为18， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】
考查的是切线的判定和性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义：
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质证明；
（2）连接 ，根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（3）根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴点D是 的中点；（2）证明：连接 ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∵ 是 的切线；
（3）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
24．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是 年 月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下
册 页“活动2”的探究活动．
如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O
处挂一个重 的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与
中点O的距离l（单位： ），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7
组数据）．
第二步，整理数据．
第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为
坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数
据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
(2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：
(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
(4)点 在这条曲线上吗？说明理由．
【答案】(1)见详解；
(2)将详解；
(3)这条曲线是反比例函数的一支，理由间详解， ；
(4)点 在这条曲线上，理由见详解；【分析】
本题考查反比例函数的应用：
（1）根据杠杆原理 逐个判断即可得到答案；
（2）描点划线即可得到答案；
（3）根据 得到解析式即可得到答案；
（4）令 代入解析式求解比较即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵ ， ， ， ， ， ，
，
∴第六组数据错误，
当 时， ，
故修正后的数据为：
第二 第五 第七
第一组 第三组 第四组 第六组
组 组 组
… 5 …
… 7 …
（2）解：由（1）描点，划线如下，
；
（3）解：这条曲线是反比例函数的一支，理由如下，
由题意可得，
∵ （ ），
∴这条曲线是反比例函数的一支，∴ ；
（4）解：点 在这条曲线上，理由如下，
当 时，
，
∴点 在这条曲线上．
25．如图1，抛物线L： 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知 ．
(1)求m的值；
(2)点D是直线 下方抛物线L上一动点，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的
交点为E， ，垂足为F．证明 是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】
（1）由题意可知 ，将点A的坐标代入抛物线L即可得出m的值；
（2）设点D的坐标，表达 的面积，并根据二次根式的性质可得出结论；
（3）由题可知 ，则点F是 的中点，可求出 的长，取 的中点H，则 是 的中位线，则 轴，由平移可得出抛物线M的解析式，联立可得点E的坐标，求出点E的坐标，即可得出
轴，进而可得结论．
【详解】（1）解： ，
，
在抛物线L： ，
，解得： ，
故答案为： ；
（2）令 ，
解得： 或 ，
，
令 ，则 ，
，
；
过点D作y轴的平行线 于点G，
设 ，则 ，，
，
当 时， 的面积最大，
，
；
（3）证明：如图，连接 ，
，
，
，
是 的中点，，
: ，
在 中， ，
，
过点F作 于点H，
，点 是 的中点，
是 的中位线，
，
轴，
将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，
则： ，
令 ，解得： ，
，
，
轴，
，即 是直角三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，
含 角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键．
26．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 中， ，则 ”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形 中，点 分别在线段 上，且
，试猜想 _________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形 中， ，点 分别在线段
上，且 ，试猜想 的值，并证明你的猜想；(3)【拓展应用】如图4，在四边形 中， ，点 分别在线段
上，且 ，求 的值．
【答案】(1)1，详见解析
(2) ，详见解析
(3) ，详见解析
【分析】（1）过点A作 交 于点M，作 交 的延长线于点N，在正方形 中，
，证明 ，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作 交 于点M，作 交 的延长线于点N，利用在长方形 中，
，证明 ，再根据其对应边成比例，将已知数值
代入即可；
（3）如图3中，过点C作 于点M．设 交 于点O，证明 ，推出 ，
可得结论．
【详解】（1） ，理由如下：
如图1，过点A作 交 于点M，作 交 的延长线于点N，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：1；
（2）如图2，过点A作 交 于点M，作 交 的延长线于点N，
∴ ，
在长方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图3，过点C作 于点M，设 交 于点O，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
