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难点 16 辅助圆四种常考模型
题型一：定点定长构造辅助圆
题型二：定弦定角构造辅助圆
题型三：主从联动构造辅助圆
题型四：定角定高构造辅助圆
题型一：定点定长构造辅助圆
利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型
类 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆
型
图
示
特 平面内,点0为定点,点A 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E
点 为动点，且 OA的长度 是定点,点B的对应点
固定 为点 G
作
法
结 点A在以点0为圆心， 点 A,B,C 均 在 点B,C的运动轨迹分别是以点 点 G 的运动轨迹是以
论 0A长为半径的圆上运动 上 A为圆心,以AB,AC的长为半径 点
的圆
E为圆心,BE 长为半径
的一段圆弧
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ，
，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】过点A作 交 的延长线于点G，求出 ，然后由旋转的性质可知点F在
以A为圆心 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线 的距离最大，
求出距离的最大值，然后计算即可．
【详解】解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，
∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了含 直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质
等知识，根据旋转的性质求出点F到直线 距离的最大值是解答本题的关键．【典例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是
外一点，点P在 上， 的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得 ，当点P在 上运动
一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接 并延长至点B，使得
，连结 ，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面
是部分证明过程：
证明：连结 并延长至点B，使得 ，连结 ．
当点P在直线 外时，
证明过程缺失
当点P在直线 上时，
易知 ．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．
（1）请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段 的中点，如图②．若点P在 上运动一周，
则点M的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，在矩形 中， ， ．点P是平面内一点， ，连结 并
延长至点Q，使得 ，连结 ，则 面积的最大值是______．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）12．
【分析】本题考查了圆的综合知识，利用平行线的性质，中线的性质，确定动点的运动轨迹是解题的关键．
（1）通过证明 是 的中位线，可得 ；
（2）过点 作 交 于点 ，利用平行线的性质可得 ，从而得到 点在以 为
圆心， 为半径的圆上，即可求解；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，根据平行线的性质可得 ，则 点在以 为
圆心， 为半径的圆上，当 时， 的面积有最大值．
【详解】解：（1）连结 并延长至点B，使得 ，连结 ，如图：
当点P在直线 外时，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
当点P在直线 上时，
易知 ．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆；
（2）过点 作 交 于点 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴ 点的运动路径为： ，
故答案为： ；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，如图：
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点在以 为圆心， 为半径的圆上，
当 时， 的面积有最大值，
∵ ，
∴ 底边 上的高为： ，
∴ 的面积 ，
∴ 面积的最大值为 ，故答案为： ．
【典例1-3】（2024·甘肃兰州·一模）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D
三点不共线）， 为 的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长 至点M，使得 ，连接 ．始终存在以下两
个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
① ；② ；
【类比探究】（2）如图2，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ．小斌同学沿着小林同学的思
考进一步探究后发现： ，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心， 为
半径的圆上运动（ ），直线 与直线 相交于点G，连接 ，在点D的运动过程中 存在
最大值．若 ，请直接写出 的最大值．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）
【分析】（1）选①证明，由中线得出 ，再用 证明 ，利用全等的性质得出
，由等量代换得出 ．
（2）由（1）①得结论得出 ，从而得出 ，由平行的性质得出
，由旋转的性质得出 ，进一步可得出 ，利用
，由全等的性质得出 ，最后等量代换可得出 ．
（3）延长 至点M，使得 ，连接 ，同（2）可得∶ ， 由全等的性质得出
，，由旋转的性质得出 ，当点G在 上时和当点G在 的延长线上时，分别求出 ，则在点D的运动过程中，点G在以 为直径的 上运动．取 的中点O，连
接 ， ，由三角形三边关系得出
，当G，O，B三点共线时(如图3所示)， 最大．解直角 ，即可求出 ，进一步
即可求出 ．
【详解】解：（1）选择结论①
证明： ∵ 为 的中线
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）延长 至M，使得 ，连接 ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图2，延长 至点M，使得 ，连接 ，
同（2）可得∶ ．
∴ ，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点G在 上时，
∴ ，
当点G在 的延长线上时，
∴ ，
在点D的运动过程中，点G在以 为直径的 上运动．
取 的中点O，连接 ， ，
∵
当G，O，B三点共线时(如图3所示)， 最大．
∵ ，
∴ 为直角三角形．
∵ ，
∴ ．∵ 为直径,
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系
得应用，勾股定理等知识点，分析出当G，O，B三点共线时(如图3所示)， 最大是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2023·河北张家口·一模）在 中，要判断 和 的大小关系（ 和 均为锐
角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）（ ）
对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可
行
【答案】C
【分析】根据三角形边角关系直接判断即可得到答案；【详解】解析：若点 在 外，则 ，
；
若点 在 上，则 ，
；
若点 在 内，则 ，
；
I可行；
若 与边 交于点 ，则 ，
；
若 与边 交于不是A的点，则 ，
；
若 与边 的延长线有交点，则 ，
．II可行，
故选C．
【点睛】本题考查三角形边角关系：三角形中大角对大边，小角对小边．
【典例1-2】（2023·辽宁鞍山·一模）如图，等边三角形 和等边三角形 ，点N，点M分别为 ，
的中点， ， 绕点A旋转过程中， 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题可知：点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，连接 ， ，则： ，
当 三点共线时， 的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵等边三角形 和等边三角形 ，点N，点M分别为 ， 的中点， ，∴
∴ ， ，
∵ 绕点A旋转，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∵ ，
∴当 三点共线时， 的值最大，
即： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键
是确定点 在以点 为圆心， 为半径的圆上．
【变式1-3】（23-24九年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
的半径为 ，点A在 上，点B为线段 中点，过点B作 垂线l．点P是 上一动点，点P
关于直线l的对称点为 ，试探究点 的轨迹．
【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点 在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：
证明：
证明过程缺失
∴点 在以点______为圆心，______为半径的圆上．
（1）请你补全证明中的缺失过程．
【结论应用】（2）如图②， 的半径为 ，点A与点C在 上且 ．点B为线段 上的点，且 ，过点B作 的垂线l．点P是 上一动点，点P关于直线l的对称点为 ．当点P从点
A运动到点C时，点 的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“ ”去掉，其它条件不变， 为 直径．点D
到点 距离d的取值范围是______．
【答案】（1）A，2；（2） （3）
【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定 点的运动轨迹是解题的关键；
（1）利用对称性可知 ，再由圆的定义可得 在以A为圆心，2为半径的圆上；
（2）作O点关于直线l的对称点 ，则 在以 为圆心，2为半径的 的圆上，再求点 的运动路径即
可；
（3）作O点关于直线l的对称点M， 在以M为圆心，2为半径的 的圆上，当直线l经过直径 时，
有最小值2，当直线l经过点A时， 有最大值 ．
【详解】（1）∵点B为线段 中点，
∴
∴O、A点关于直线l对称
∵点P关于直线l的对称点为 ，
∴
∴ 以A为圆心，2为半径的圆上；（2）作O点关于直线l的对称点
∵点P关于直线l的对称点为 ，
∴
∵点P是 上一动点，
∴ 在以 为圆心，2为半径的 的圆上，
∴点 的运动路径长
（3）作O点关于直线l的对称点M
∵点P关于直线l的对称点为 ，
∴ 在以M为圆心，2为半径的 的圆上
当直线l经过直径 时， 有最小值2,
当直线l经过点A时， 有最大值
∴
【变式1-4】（2023·河北保定·二模）已知，在半圆 中，直径 ，点C，D在半圆O上运动，弦
．(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，若 ，求图中阴影部分（弦 、直径 、弧 围成的图形）的面积；
(3)如图3，取 的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到
的距离的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据圆周角定理证明 ，再证明 即可；
（2）过D作 于H连接 ，先证明 ，再求出 的长，再根据
即可；
（3）连接 过点 作 于点 ，先证明 是等边三角形，再根据
当 最小时，即当点 与点 重合时， 有最小值．
【详解】（1）证明：∵ ,
∴ ，
∵
∴ ， ，
∴ ．
即 ，
在 和 中，，
∴ ；
（2）解：过D作 于H连接 ，如图：
∵半圆O中，直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 过点 作 于点 ，
，
是等边三角形，
∵点M是 的中点，，
在 中，
当 最小时， 有最小值，
即当点 与点 重合时， ，
，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握全等三角形的定，圆的性质及圆中的相关计算是解题的关键．
【变式1-5】（2022九年级上·全国·专题练习）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点
所组成的图形．
(1)已知：如图1， ，请利用圆规画出过 三点的圆．若 ，则
______．
(2)已知，如图2， 中， ．点 为 边的中点，将 沿 方
向平移2个单位长度，点 的对应点分别为点 ，求四边形 的面积和 的大小．
(3)如图3，将 边沿 方向平移 个单位至 ，是否存在这样的 ，使得直线 上有一点 ，满足
且此时四边形 的面积最大？若存在，求出四边形 面积的最大值及平移距离 ，若不
存在，说明理由．【答案】(1)
(2)四边形 的面积为 ， 的大小为
(3)四边形 的最大面积为 ，平移2个单位
【分析】（1）利用圆的定义知 三点共圆，再利用圆周角定理求解即可；
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而
解；
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出 点能够向右移动的最大距
离，求出四边形的最大面积．
【详解】（1）解：以 为圆心， 为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：连接 ，如图，
， 中， ，
，
为 斜边 中点，
，
线段 平移到 之后， ，四边形 为菱形，
，
，
，且 ，
四边形 为直角梯形，
；
（3）解：如图所示，
当 边沿 方向平移2个单位至 时，
满足 且此时四边形 的面积最大，
此时直角梯形 的最大面积为，
．
【点睛】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求
解．
题型二：定弦定角构造辅助圆
定弦定角构造辅助圆的几种常见类型
类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角
图示
特点 在△ABC中,已知AB的长,点 在△ABC中,已知AB的长,点C 在△ABC中,已知AB的长,点C
C为动点,且保持∠ACB=90° 为动点,且保持∠ACB=a(a为锐
为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角)
角)动点
运动
轨迹
结论 点 C 在以点 0 为圆心，AB 点C在以点0为圆心,圆心角为 点 C 在以点 0 为圆心,圆心角为
长为直径的圆上运动 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C (360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点
在AB 同侧) 0,C在 AB 异侧)
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点
B，点C、D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则
当 最大时， 的值为 ．
【答案】
【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，说明点H
在以 为直径的圆上运动，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点 在 上运动，
说明当 与 相切时 最大，得出 ，根据 ，利用
，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，
∴点B为定点， 的长度为定值，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的圆上运动，
如图，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，
则点 在 上运动，
∴当 与 相切时 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三
角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
【典例2-2】（2024·河南·中考真题）如图，在 中， ， ，线段 绕点C
在平面内旋转，过点B作 的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为 ，最小
值为 .【答案】 / /
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以 为直径的圆上，根据
，得出当 最大时， 最大， 最小时， 最小，根据当 与
相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，当 与 相切于点D，且点D在
外部时， 最大， 最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵线段 绕点C在平面内旋转， ，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
在 中， ，
∵ 为定值，
∴当 最大时， 最大， 最小时， 最小，
∴当 与 相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，连接 ， ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为 ；
当 与 相切于点D，且点D在 外部时， 最大， 最小，连接 ， ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出 取最大值和最小值
时，点D的位置．【典例2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在 中， ， 为 边上的高，若
，求 面积的最小值；
（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出
一部分来培育新品种郁金香．如图2， 是这片鲜花培育基地的平面示意图， ，点 是
边上一点，连接 ， ，且 ，点 为 上一点， ，为了更有
效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地 的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金
香培育基地 面积的最小值．
【答案】（1） ；（2） 平方米
【分析】（1）作 的外接圆 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，根据等腰三角
形的性质得出 ，设 ，则 ， ，根据
，得 ，求出 ， ，然后求出结果即可；
（2）过点 作 于点 ， 于点 ，根据角平分线的性质得出 ，证明
，得出 ， ， ，求出
，在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出
，根据 ，得出要使四边形 的面积最
小，只需 的面积最小，求出 ， 的外接圆圆心为 ，连接 ， ， ，作于点 ，根据 ，得出 ，求出 ，
得出 ，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）如图，作 的外接圆 ，连接 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 ，得 ，
即 ，
，
，
面积的最小值为 ；
（2）如图，过点 作 于点 ， 于点 ，，
平分 ，
，
又 ，
，
， ， ，
， 均为等腰直角三角形，
且 ，
，
如图，在 上截取 ，连接 ，
， ， ，
，
，
，
要使四边形 的面积最小，只需 的面积最小，
，
，
，
，
.
如图， 的外接圆圆心为 ，连接 ， ， ，作 于点 ，
，，
，
，
由题意得 ，即 ，
，
，
，
，
新品种郁金香培育基地 面积的最小值为 平方米.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计
算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定
和性质．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 为 直径， 且过半径 的中点H，过点A
的切线交 的延长线于G，且 ，点E为 上一动点， 于点F，当点E从点B出发逆时
针运动到点C时，点F经过的路径长是（ ）
A． π B． π C． π D． π【答案】B
【分析】连接 ， ，由 ，利用垂径定理得到H为 的中点，证明 ，可求圆的
半径，在直角三角形 中，由 与 的长，利用勾股定理求出 的长，进而确定出 的长，由
求出 的长，在直角三角形 中，利用勾股定理求出 的长，由 垂直于 ，得到三角
形 始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以 为直径的圆上，当E位于点B时， ，此时F
与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经
过的路径长 的长，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义求出 的度数，进而确定出
所对圆心角的度数，再由 的长求出半径，利用弧长公式即可求出 的长，即可求出点F所经过的路
径长．
【详解】解：连接 ， ，
∵ ，
∴H为 的中点，即 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴
即 ，
∴ ，∴ 或 （不符合题意，舍去）
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以 为直径的圆上，
当E位于点B时， ，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长 的长，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 所对圆心角的度数为 ，
∵直径 ，
∴ 的长 ，
则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长 的长为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长
公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长
为 的长是解本题的关键．
【变式2-2】（2023·陕西西安·模拟预测）（1）问题提出：如图①， 为等腰三角形， ，
，D是 上一点，且 平分 的面积，则线段 的长度为______．
（2）问题探究：如图②， 中， ， ，试分析和判断 的面积是否存在最大值，
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在
会场旁规划一个四边形花圃 ，满足 米， 米， ， ，主办方打算过 的中点M点（入口）修建一条径直的通道 （宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形
边上一点，通道 把四边形 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以
供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道 ？若存在，请求出点A距出口的距离 的长；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）存在，最大值为 ；（3）存在通道 把四边形 分成面积相等并且尽
可能大的两部分， 的长为 米
【分析】（1）根据 平分 的面积，得到 ，利用三角形内角和及等腰三角形的性质求出
，即可根据30度角的性质求出线段 的长度；
（2）作 的外接圆，圆心为O，作 并延长交 于点D，连接 ，证明
，得到 ，利用正切值求出 ，由 ，即点C在劣弧 上，
得到当 的高最大时， 的面积最大，即点C与点D重合时， 的高的最大值为 ，根据
面积公式计算即可；
（3）连接 ，证得 ，由 ， 的面积是定值，得到要使四边形 的面积
最大，只要 的面积最大即可，求出四边形 的面积的最大值，连接 ，求出 的面积，
得到点E在 上，过点M作 于点H，连接 ，根据三角函数求出 ，再利用 的面
积求出 即可．
【详解】解：（1）∵ 平分 的面积，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．（2）作 的外接圆，圆心为O，作 并延长交 于点D，
连接 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即点C在劣弧 上，
∴当 的高最大时， 的面积最大，
即点C与点D重合时， 的高的最大值为 ，
∴存在 面积的最大值，最大值为 ；
（3）连接 ，则 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， 的面积是定值，
∴要使四边形 的面积最大，只要 的面积最大即可，
∵ 为定值， 为定值，
∴当 是等边三角形时，即 的面积最大，
∴四边形 的面积的最大值为 ，
连接 ，
∵ ，
∴ ,
∵ ， ，
∴点E在 上，
过点M作 于点H，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴存在通道 把四边形 分成面积相等并且尽可能大的两部分， 的长为 米．【点睛】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，
等腰三角的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
【变式2-3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知： 和 外一点 ．
(1)如图甲， 和 是 的两条切线， 、 分别为切点，求证： ；
(2)尺规作图：在图乙中，过 点作 的两条切线 、 、 、 为切点（要求：保留作图痕迹，不写
作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ， ， ，首先证 （ ），可得结论；
（2）以 为直径作 ，两圆相交于 ， ，直线 ， 即为所求．
【详解】（1）如图，连接 ， ， ．
， 是切线，
， ，
．
在 和 中，
，
，
．
（2）以 为直径作 ，两圆交于点 、 ，直线 、 即为所求；
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，
构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键．
【变式2-4】（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究
(1)如图①，已知 中， ， ，则 周长的最大值为__________；
(2)如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形 的“探秘湿地”综合实
践活动区，其中 ，点 为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿 、 、 修建三条
笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足 米， ．为达成最好的综合活动体
验，需要 、 、 三条步道的长度和尽可能大，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，
请求出步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；最大为： 米
【分析】（1）延长 至点 使得 ，以 为边在 上方做等边三角形 ，找出点 的运动轨
迹之后即可得到 的最大值，再利用三角形周长运算方式运算即可；
（2）将 顺时针绕点 旋转 得到 ，延长 和 交于点 ，以 为底作 角的等腰
三角形 ，连接 ，过 作 于点 ，找出点 的运动轨迹之后即可得到 的最大值，证
出 后即可求解．
【详解】（1）解：延长 至点 使得 ，以 为边在 上方做等边三角形 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心半径为 的圆 上运动，则 为圆 直径时最大，此时 ，
∴ 周长最大值 ；
（2）解：存在三条步道长度和的最大值，最大值为 米，理由如下：
∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
将 顺时针绕点 旋转 得到 ，延长 和 交于点 ，以 为底作 角的等腰三角形
，连接 ，过 作 于点 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 在以 为圆心半径为 的圆 上运动，则 为圆 直径时最大，此时 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴存在三条步道长度和的最大值，最大值为 米．
【点睛】本题为几何综合题，考查了圆周角与圆心角的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全
等三角形的性质等知识点，合理作出图象寻找运动轨迹是解题的关键．
题型三：主从联动构造辅助圆
主从联动构造辅助圆的几种常见类型
类型 位似型 旋转型
图示条件 线段AP中,点P为0上的动点，点A 点A为定点,点P为主动点,点Q为从动点,
为定点,点Q为AP的中点 且∠PAQ 为定值(AP:AQ=k)
结论 1.点P,Q的运动轨迹都是圆,且两结论 1.点P,Q的运动轨迹都是圆;
圆的半径之比为2:1;
2.若AP=A0,即k=1时,则△AOP≌△AMQ,
2.△APO∽△AOM,相似比为 2:1 两 圆 半 径 相 等 ; 若 AP≠ AQ, 则
△AOP∽△AMQ,两圆半径之比为k
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，正方形 中， ， 是 边的中点，
点 是正方形内一动点， ，连接 ，过点 在 的右侧作 ，且 ，连接 、
．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长；
(3)如图2，若 三点共线，求点 到直线 的距离；
(4)直接写出线段 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正方形性质得到边以及角之间的关系，再由两个三角形全等的判定定理即可得到答案；
（2）连接 ，如图所示，利用勾股定理得到 、 长度，再由（1）中三角形全等的性质即可得到答
案；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示，根据已知条件得到相关线段长，由三角形相似的判定与性质，由比例式代值求解即可得到答案；
（4）连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则由题意可知点 在以点 为圆心、
长为半径的圆上运动，连接 ，如图所示，利用动点最值问题-点圆模型的解法，结合勾股定理求解
即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ， 是 边的中点，
∴ ，
在 中，则 ，
在 中， ，则 ，
由（1）中 可知 ；
（3）解：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴点F到直线 的距离为 ；
（4）解：线段 的最小值为 ，
连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则由题意可知点 在以点 为圆心、
长为半径的圆上运动，连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ，
∵点 在以点 为圆心、 长为半径的圆上运动，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为 ．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形相似的
判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、
三角形相似的判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值的解法是解决问题的关键．
【典例3-2】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图
①， 的半径为2，点A是 外的一个定点， ，点P是 上的一个动点，连接 ，作
且 ．当点P在 上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，连接 ，过点A
作 ，且 ，通过证明 ，可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，2为
半径的圆．下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：1°当点P在直线 外时，
如图，过点A作 ，且 ，
证明过程缺失
2°当点P在直线 上时， ．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．【问题延伸】如图③，点A为 外一定点， 是直角三角形， ， ，当点P在
半径为2的 运动一周时，点Q的运动路径长是______．
【能力提升】如图④，在扇形 中， ， ，点C是弧 上的动点，连接 ，以BC
为边作正方形 ，当点C从点A移动至点B时，点D的运动路径长为______．
【答案】[问题解决]见解析；[问题延伸] ；[能力提升]
【分析】[问题解决] 1°当点P在直线 外时连接OA，过点A作 ，且 ，通过证明
，得出 ；2°当点P在直线 上时， ．可以确定点Q的运动路
径为点M为圆心，2为半径的圆；
[问题延伸] 1°当点P在直线 外时连接OA，过点A作 ，且 ，通过证明
，得出 ；2°当点P在直线 上时， ．可以确定点Q的运动
路径为点M为圆心，1为半径的圆；
[能力提升] 补全 所在的 ，延长 交 于F，连接 ， ，取 的中点G，连接 ， ，
判断 ，则点D在以G为圆心， 为半径的弧上运动，当 和B重合时，D和B重合，当
C和G重合时，D和H重合，连接 ，证明 是等边三角形，得出 ，利用圆周角定理得
出 ，判断 ，求出 ，利用正弦求出 ，最后根
据弧长公式求解即可．
【详解】解：[问题解决]证明：1°当点P在直线 外时，
如图，过点A作 ，且 ，
，
，
，
， ，
，
，
2°当点P在直线 上时， ．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．
[能力提升]
1°当点P在直线 外时，
如图，过点A作 ，且 ，
，
，
，
， ，，
，
2°当点P在直线 上时， ．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，1为半径的圆．
故点Q的运动路径长为 ，
故答案为： ；
[能力提升]
如图，补全 所在的 ，延长 交 于F，连接 ， ，取 的中点G，连接 ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ 是直径，即 过圆心，
∴ ，
∴ ，
∴点D在以G为圆心， 为半径的弧上运动，
当 和B重合时，D和B重合，当C和G重合时，D和H重合，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴∵G为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的运动路径长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解直角三角形等
知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形以及辅助圆是解题的关键．
【典例3-3】（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径
为2，点 是 外的一个定点， ．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．
当点 在 上运动一周时，试探究点 的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使
，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点，
点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点
的对称点 ，连接 ．（1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________．
（2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则
________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1） ；（2）
【分析】问题解决：延长 至点 ，使 ，连接 ．当点 在直线 外时，证明
得出 ；当点 在直线 上时，则 ，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆，由此计
算即可得出答案：
（2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径
为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ，此时 的长度最小；当点 与点 重合时，此时：
点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接 交圆 于 ，此时 的长度最大；分
别求出 的值即可得解．
【详解】问题解决：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
2°当点 在直线 上时，则 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆；
结论应用：
（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆，
∴点 的运动路径长为 ；
（2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ，
此时 的长度最小，
，
由题意得： ， ， ， ，
∴由勾股定理得： ，
∴线段 长度的最小值为 ；
如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接
交圆 于 ，此时 的长度最大，，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 、 、 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的最大值为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图 ，
已知 半径是 ，点 是 上的一个动点，点 是平面内一点， ，求证：线段 的最
大值为 ．
【问题解决】经过分析，如图 ，小明将 延长交 于点 ，并猜想此时 最大，为了验证这个
猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合)， 连结 、 ，
证明过程缺失
则 ，
则此时， 最大， 最大值为 ．
【问题延申】如图 ， 在 中， ， ， ， 点 是边 上的一个动点，连结DB， 过点 作 于点 ， 连结CF， 则线段CF 的最小值是 ．
【拓展提升】如图 ，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知
米， ， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据
设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿CF 修建
仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊CF 的长度尽可能短，若不考虑其
他因素，则仿古长廊CF 最短为 米．(结果保留根号)
【答案】[问题解决]见解析；[问题延申] ；[拓展提升]
【分析】[问题解决]根据两点直接线段最短，可得 ，进而即可求解；
[问题延申] 根据 可得点F在以 为直径的半圆上，设 的中点为E，连接 ，与点F的运动
轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值；
[拓展提升]连接 ， ，取 中点为M， 中点为N，连接 ， ， ，证明
，推出点F在以 为直径的左侧半圆上，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，
则 的长度即为 的最小值．
【详解】[问题解决]证明：∴ ，即
∴线段 的最大值为 ．
[问题解决]证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合)， 连结 、 ，
∵ 半径是 ，点 是 上的一个动点，
∴ ,
∵
则 ，
则此时， 最大， 最大值为 ．
[问题延申] ，，
点F在以 为直径的半圆上，
如图，设 的中点为E，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值．
，中点为E，
，
又 ， ，
，
，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
（3） ， ， ，
，
，
．
如图，连接 ， ，取 中点为M， 中点为N，连接 ， ， ，
点E在以 为直径的半圆上，
，
中点为M， 中点为F， 中点为N，
为 的中位线， 为 的中位线， 为 的中位线，， ， ， ，
， ，
，
，
点F在以 为直径的左侧半圆上，
取 中点为O，作 于点K，得矩形 ，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，则 的
长度即为 的最小值．
， 中点为O， ， 中点为N，
， ，
， ，
，
在 中， ，
，
又 ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性
质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图
①， 的半径为6，点 在 上，点 为 外一定点，点 为 的中点．当点 在 上运动一周
时，试探究点 的运动的路径．【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结 ，取 的中点 ，连接 由三角
形的中位线性质可以推出点 的运动路径是以点 为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结 ，取 的中点 ，连接 ．
，当点 在直线 外时，
当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点 为 的三等分点，且 ，如图③，若点 在
上运动一周，则点 的运动路径长为 ；【拓展提升】在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 的坐标为(2,0)，将线段 绕着点 逆时针旋
转 ，得到线段 ，点 ．点 为 的中点，点 ，则 的最小值为 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）在 上取点Q，使 ，连接 ，当点 在直线 外时，利用相似三角形的性质
得到 ，当点 在线段 上和当点P在 延长线上时，利用线段的和差关系得到 ，
进而得到点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）首先得到 ，点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，然后得到 ，点Q
在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，得到 ，当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线
段 上时， 有最小值，即 的值，然后利用勾股定理求出 ，进而
求解即可．【详解】（1）如图所示，在 上取点Q，使 ，连接 ．
，当点 在直线 外时，
∵ ，
∴
∴ ，即
∴
当点 在线段 上时，
∵
∴ ，
∵
∴
∴
当点P在 延长线上时，同理可得， ，
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．
∴点 的运动路径长为 ．
（2）如图所示，
∵点 的坐标为(2,0)，
∴
∵将线段 绕着点 逆时针旋转 ，
∴
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接 ，取中点Q
∵点N是 的中点
∴ 是三角形 的中位线
∴
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段 上时， 有最小值，即 的值
∵O(0,0)， ，点Q是 的中点
∴
∵
∴∴
∴ 的最小值为 ．
【点睛】此题考查了坐标与图形，相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，求圆外一点
到圆上一点的最值，解题的关键是判断出动点的轨迹．
【变式3-3】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 是
的半径， ．点P在 上，将点P沿 的方向平移到点Q，使 ．当点P在 上运动一周时，
试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段 上截取
，连结 、 ，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：在线段 上截取 ，连接 、 ．
1°当点P在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点P在直线 上时，
易知 ．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段 的中点，如图②．若点P在 上运动一周，则点M的运动路径长为 ．
【拓展提升】如图③，在矩形 中， ， ．点P是平面内一点， ，将点P沿 的
方向平移到点Q，使 ．点M是线段 上的任意一点，连结 ．设线段 长度的最大值为a，最
小值为b，则 ．
【答案】问题解决：见解析；结论应用： ；拓展提升：
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的
性质等等：
（1）根据平移的性质得到 ，则可证明四边形 是平行四边形，得到 ，则点Q的
运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
（2）在 上截取 ，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再
根据圆周长公式求解即可；
（3）如图所示，在 上截取 ，连接 ，同理可证明 ，则点M的运动轨迹是以点
N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当 最小时，且当点M运动到 上时， 有最小值，
同理在整个运动过程中当 最大时，且当点M运动到 延长线上时， 有最大值，在 中利
用勾股定理求出 的最大值和最小值即可得到答案．
【详解】问题解决：证明：在线段 上截取 ，连接 、 ．
当点P在直线 外时，
由平移的性质可得 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
结论应用：如图所示，在 上截取 ，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3
为半径的圆，
∴点P在 上运动一周，则点M的运动路径长为 ；
拓展提升：如图所示，在 上截取 ，连接 ，
同理可证明 ，
∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，
∵ ，
∴当点N固定时，当点M运动到 上时， 有最小值，最小值为 ，
∴在整个运动过程中当 最小时，且当点M运动到 上时， 有最小值，
同理在整个运动过程中当 最大时，且当点M运动到 延长线上时， 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．题型四：定角定高构造辅助圆
定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:
图示
在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值
作法
作△ABC的外接圆
结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在 中， ， 为 上一点， ．则 面积的最大值是_______．
（2）如图2，在 中， ， 为 边上的高， 为 的外接圆，若 ，试判断
是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地 ， ， ，现在他想利用这块地
建一个四边形鱼塘 ，且满足点 在 上， ，点 在 上，且 ，点 在 上，
点 在 上， ，这个四边形 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；
若不存在，请说明理由．
【答案】问题探究：（1）24；（2）存在， 的最小值为 ；问题解决：存在，144
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接 ， ， ，作
于 ．设 ．求出 的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接 ，延长 交 的延长
线于 ，将 顺时针旋转得到 ，作 的外接圆 ．由（2）可知，当 的外接圆
的圆心 在线段 上时， 的面积最小，此时四边形 的面积最大．
【详解】解：（1）当 时， 面积的最大，
则 面积的最大值是 ，故答案为：24；
（2）如图中，连接 ， ， ，作 于 ．设 ，
∵ ， ， ，∴ ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为1，∵ ，∴ 的最小值为 ；
（3）如图中，连接 ， ，延长 交 的延长线于 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
将 顺时针旋转得到 ，作 的外接 交 于 ，连接 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∵ ， ，∴ ，∴ ，
由（2）可知，当 的外接圆的圆心 在线段 上时， 的面积最小，此时四边形 的面
积最大，设 ，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴四边形 的面积的最大值 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学
会用转化的思想思考问题．
【典例4-2】（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段 ，以 为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在 中， ， 为 边上的高，若 ，试判断 是否存在最小值，若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形 中， ，
， ，点 、 分别为 、 上的点，若保持 ，那么四边形
的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)存在，144
【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可．
（2）如图2中，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，作 于 ．设 ．求
出 的最小值即可解决问题．
（3）如图③中，连接 ，延长 交 的延长线于 ，将 顺时针旋转得到 ，作 的
外接圆 ．由（2）可知，当 的外接圆的圆心 在线段 上时， 的面积最小，此时四边形
的面积最大．
【详解】（1）解：如图①中， 即为所求．
（2）存在，理由如下，
如图②中，作 的外接圆 ，连接 ， ， ，作 于 ．设 ．
， ， ，
， ，， ，
，
，
，
的最小值为 ，
，
的最小值为 ．
（3）存在，理由如下，
如图③中，连接 ，延长 交 的延长线于 ，将 顺时针旋转得到 ，作 的外接
圆 ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当 的外接圆的圆心 在线段 上时， 的面积最小，此时四边形 的面
积最大，设 ，则 ，
，
，
，
四边形 的面积的最大值 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键
是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，
点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【答案】
【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明
M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分
线的性质可知：AH＝AK＝2 ，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝
60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为 x≥2 ，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4
．
【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2 ，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝ x，OF＝ x，∴ON+OA＝OF+ON＝ x，
∵OA+ON≥AK，∴ x≥2 ，∴x≥2，
∴S ＝ =2 x≥4 ，∴△AEF面积的最小值是4 ．
AEF
△
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形
全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题
的关键．
【变式4-2】（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图， ，边 、 上分别有两个动点
C、D，连接 ，以 为直角边作等腰 ，且 ，当 长保持不变且等于 时，则
长的最大值为 cm．
【答案】【分析】利用直角三角形性质求解即可．
【详解】解：在 右侧以 为斜边作等腰 ，则O、C、D在以点F为圆心， 为半径的圆上，
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查直角三角形性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式4-3】（2020·陕西·陕西师大附中校考二模）问题探究，(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P
为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形ABCD中，P
为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；
问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监
控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB
＝200 米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的
度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 结论：∠APB＞∠ADB ，理由见解析；(2) 当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解
析；(3) 当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，理由见解析
【分析】（1）作PH⊥AB于H，通过正方形和矩形的性质可得∠APB＝90°，再根据∠ADB＜90°，即可证
明∠APB＞∠ADB；（2）假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于
点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，根据∠AFB是△EFB的外角，可得∠AFB＞∠AEB，再根据∠AFB＝∠APB，从而可得∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点
时，∠APB最大；（3）作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，根据等边
三角形的性质可得AH＝HB＝100 (m)，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AT＝200 m，故AT＝
2AH，可得∠ATH＝30°，即∠ATB＝2∠ATH＝60°，根据圆周角定理可得∠APB＝ ∠ATB＝30°，再根据含
30°角的直角三角形的性质求出OQ和PQ的长度，再根据OP＝OQ﹣PQ求解OP的长度即可．
【详解】解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB．
理由：作PH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB，∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°，∴四边形ADPH是矩形，
∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC，∴DA＝DP，∴四边形ADPH是正方形，
∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°，∴∠APB＝90°，∵∠ADB＜90°，∴∠APB＞∠ADB．
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大．
（3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，
作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，∵TA＝TB，TH⊥AB，∴AH＝HB＝100 (m)，
∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100 )(m)，
∴QH＝ OH＝(400 +300)(m)，∠OQH＝30°，∴TQ＝2PT＝2r，
∵TH＝ ＝ ，∴2r+ ＝400 +300，
整理得：3r2﹣(1600 +1200)r+60000+240000 ＝0，
∴(r﹣200 )(r﹣1000 ﹣1200)＝0，∴r＝200 或1000 +1200(舍弃)，
∴AT＝200 m，∴AT＝2AH，∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，∴∠APB＝ ∠ATB＝30°，
∴ ，
∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200 ﹣600＝(200+200 )(m)．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握正方形和矩形的性质、切线的性质以及判定定理、含30°角的直
角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
