文档内容
难点 17 几何综合模型（5 大热考模型）
题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
题型二：两垂一圆构造直角三角形模型
题型三：胡不归模型
题型四：阿氏圆模型
题型五：瓜豆原理模型
题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
分类讨论:
若AB=AC,则点C在以点A 为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点
MN以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也
是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【典例1-2】（2020•武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【典例1-3】（2022•开州区模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为AC边上任意
一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．
（1）如图1，若AB＝6，AE＝ ，求ED的长；
（2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝ BF；
（3）如图3，若AB＝4 ，连接CF，当CF+ BF取得最小值时．请直接写出S△CEF 的值．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等
腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式1-2】已知直线y＝﹣ x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣（x﹣ ）2+4上，能
使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A．8个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-3】如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一
分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
题型二：两垂一圆构造直角三角形模型
平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是 的直径，点 是 外一点， 与 相切于
点 ，点 为 上的一点．连接 、 、 ，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)延长 与AB的延长线交于点D，求证： ；
(3)若 ，求阴影部分的面积．【典例2-2】（2023·福建泉州·二模）如图， 是半圆 的直径， 与半圆 相切于点 ，连
接 并延长，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为 ，求 的长．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，6），点C在坐标轴上，
若△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式2-2】（2022·浙江宁波·二模）如图1，四边形 是 的内接四边形，其中 ，对角线
相交于点 ，在 上取一点 ，使得 ，过点 作 交 于点 ．
(1)证明： ；
(2)如图 2，若 ，且 恰好经过圆心 ，求 的值；
(3)若 ，设 的长为 ．
①如图3，用含有 的代数式表示 的周长；
②如图4， 恰好经过圆心 ，求 内切圆半径与外接圆半径的比值．【变式2-3】（2021·浙江杭州·一模）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连
接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设 ＝α．
（1）求∠EAG的度数．
（2）当α＝ 时，求tan∠AEG．
（3）用α的代数式表示 ，并说明理由．【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图1， 内接于 中， 为直径，点 在弧 上，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，如图3，点 在线段 上，连接 交 于点 ，若 ，
， ，求线段 的长．题型三：胡不归模型
一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，
AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．【典例3-2】（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x，y轴交
于点A，B，抛物线 恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是 ，将 绕着点C逆时针旋转90°得到 ，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 取最小值时，点P的坐标．【典例3-3】（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下
探究．
【尝试初探】
（1）如图①，在四边形 中，若 ， ， ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图②，在四边形 中，若 ， ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，在四边形 中，若 ， ， ，延长
相交于点 ， ， 是线段 上一动点，连接 ，求 的最小值．【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图， 中， ， ， 于点
E，D是线段 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
【变式3-2】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 与轴交于 ， 两点，若 ，函数 的最小值为 ，且 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果将该抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形 ．当函数
的图象与图形 的公共点的个数大于 时，求 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当 取最大值时，函数 的图象与图形 的对称轴交于点 ，若过 作
平行于 轴的直线交图形 于点 ，过点 作 轴的平行线交函数 的图象于点 ， 为线段
上的一点，动点 从点 出发，沿 运动到点 停止，已知点 在 上运动的速度为 单位
长度每秒，在 上运动的速度为 单位长度每秒．求当点 运动的时间最短时，对应的点 的坐标．
【变式3-4】（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于 两点，与y
轴交于点 ．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点 是抛物线的顶点，点 是线段 上的一个动点（与点 、 不重合），过点E作 轴于
点 ，交抛物线于点 ．
①求四边形 的面积；②求 的边CE上的高的最大值；
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得 的值最小？若存在，请求出这个最小值；
若不存在，请说明理由．
【变式3-5】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线 （ 为常数，且 ）与
轴从左至右依次交于 ， 两点，与 轴交于点 ，经过点 的直线 与抛物线的另一交点为
．
(1)若点 的横坐标为 ，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以
每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到 后停止．当点 的坐标是多
少时，点 在整个运动过程中用时最少?【变式3-6】（2023·广西柳州·二模）已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴
交于点 ， ，
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存
在，请说明理由．【变式3-7】（2022·四川成都·模拟预测）抛物线 分别交x轴于点 ， ，交y
轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．题型四：阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且
k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为
阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
P
A B O
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即 ），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即 ），∵ ，∴ ，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴ ，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中
P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2020·广西·中考真题）如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，
点P是扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
【典例4-2】（2023·浙江衢州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，点 是第
一象限的动点且 ，线段 绕点 在第一象限转动；（1）在转动过程中，求点 到 的最近距离 ；
（2）试求 的最小值 ．
【典例4-3】（2023·重庆万州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形 中， ，过点 作
交过点 的直线于点 ， ，直线 交 于 ．
(1)如图 ，若 ，求 的长；
(2)如图 ，过点 作 交 于点 ，交 的延长线于 ，取线段 的中点 ，连接 ，求证：
．
(3)在（2）的条件下，过点 作 交 于点 ，若点 是线段 上任一点，连接 ，将
沿 折叠，折叠后的三角形记为 ，当 取得最小时，直接写出 的值．【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（22-23九年级下·江苏徐州·阶段练习）在 中， ， ， ，以点
为圆心，2为半径作圆 ，分别交 ， 于 、 两点，点 是圆 上一个动点，则 的最小
值是 ．
【变式4-2】（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ，点P在第一象限，且 ，则 的最小值为 ．
【变式4-3】（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6
为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
【变式4-4】（2022·广东广州·一模）已知，AB是⊙O的直径，AB＝ ，AC＝BC．
(1)求弦BC的长；
(2)若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若
M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
(3)如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段
CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q
的运动时间t的最小值．【变式4-5】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
，其中点 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是直线 下方的抛物线上一个动点，是否存在点 使四边形 的面积为16，若存在，求出
点 的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点 作 交抛物线的对称轴于点 ，以点 为圆心，2为半径作 ，点 为 上的
一个动点，求 的最小值．
【变式4-6】（2021·重庆九龙坡·二模）在 中， ， ．若点 为 上一点，连接
，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，交 于点 ．(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，点 为 的中点，连接 交 于点 ．若 ，猜想线段 与线段 的数量关
系，并写出证明过程；
(3)如图3，若 ， 为 的中点，将 绕点 旋转得 ，连接 ， ，当
最小时，求 ．题型五：瓜豆原理模型
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直
线．
条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨
迹？
结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，
比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定：
** 错误的表达式 **观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连
接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；** 错误的表达式 **当某动点到某条直线的距离不变时，
该动点的轨迹为直线；** 错误的表达式 **当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函
数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线
段求值。【中考母题学方法】
【典例5-1】（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上
运动（含B、C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转60°到 ，连接 ，则线段
的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【典例5-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，
将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点 ，连接 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【典例5-3】（2023·北京海淀·三模）在平面直角坐标系 中，给定图形 和点 ，若图形 上存在两个
点 ， 满足 且 ，则称点 是图形 的关联点．已知点 ， ．
(1)在点 ， ， 中，______是线段 的关联点；(2) 是以点 为圆心，r为半径的圆．
①当 时，若线段 上任一点均为 的关联点，求r的取值范围；
②记线段 与线段 组成折线 ，若存在 ，使折线G的关联点都是 的关联点，直接写出r的最
小值．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·安徽六安·三模）如图，在等边 中，以A为直角顶点作等腰直角 ，
分别交 、 于点E、F，N为线段 上一动点，M为线段 上一动点，且 ，以
下4个结论：① ；② ；③ ；④当 的值最小时，
．正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式5-2】（2024·山东德州·二模）如图，在矩形 中， 点P在线段 上运动
（含B、C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转60°到 ，连接 ，则线段 的
最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．1
【变式5-3】（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC
△
绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．【变式5-4】（2022·广东河源·二模）如图，已知 ，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，
若 且 ，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
【变式5-5】（2022九年级·全国·专题练习）若 ，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动
点，连接 ．
(1)如图1，取点B，使 为等腰直角三角形， ，将点P绕点A顺时针旋转 得到 ．
①点 的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
② 的最小值是 ；
(2)如图2，以 为边作等边 （点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求 的
最大值．
(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转 ，得到点M，连接 ，则 的最小值为 ．【变式5-6】（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将 ABD绕点D
顺时针旋转，记旋转后的三角形为 A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． △
△
(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若 DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
△
