25上数学学科-理论精讲-高中基础知识2-高峰_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_初中_初中数学-通关资科包_2025年FB学科-数学

微信公众号：文采学社 2 0 2 5 年 全 国 教 师 资 格 理论精讲—高中基础知识2 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 主讲老师 高峰 粉笔教师教育 粉笔教师 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P8 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 和式与差式 𝑎 𝑚 = 𝑀，𝑎 𝑛 = 𝑁， 𝑙𝑜𝑔 𝑀 = 𝑚，𝑙𝑜𝑔 𝑁 = 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚+𝑛 = 𝑀𝑁，𝑙𝑜𝑔 𝑀 𝑁 = 𝑚 + 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑀 + 𝑙𝑜𝑔 𝑁 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚 𝑎 𝑀 𝑀 𝑎 𝑚−𝑛 = = ，𝑙𝑜𝑔 = 𝑚 − 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑀 − 𝑙𝑜𝑔 𝑁 社 𝑎 𝑎 𝑎 学 𝑎𝑛 𝑁 𝑁 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 指系 ①𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥，𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛，𝑎 𝑛𝑥 = 𝑏 𝑛，𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑛𝑥 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 𝑎 1 ②𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥， 𝑎 𝑚 𝑥 = 𝑏， 𝑎 𝑥 𝑚 = 𝑏，𝑎 𝑥 = 𝑚 𝑏 = 𝑏 𝑚 𝑚 𝑎 社 学 采 道 1 1 1 渠 ： 文 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥， 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔新 𝑏 𝑎 𝑚 𝑎 𝑎 𝑚 更 𝑎 号 𝑚 𝑚一 众 公 唯 信 𝑛 微 ③𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏。 𝑚 𝑎 𝑎 𝑚 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 换底 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑚，𝑏 = 𝑐 𝑛，𝑎 = 𝑏，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = = 𝑐 = 𝑐 = 𝑐 𝑚 𝑎 𝑚 𝑚 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑚 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑐 𝑐 𝑐 还原 社 令log 𝑥 = 𝑁，则𝑎 𝑁 = 𝑥，𝑎 log 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑁 = 𝑥；log 𝑎 𝑥 学= 𝑥 log 𝑎 = 𝑥 𝑎 𝑎 采 𝑎 道 文 渠 ： 新 倒数 更 号 众 一 公 唯 信 微 log 𝑏 log 𝑎 1 log 𝑏 log 𝑏 = 𝑐 ，log 𝑎 = 𝑐 ， = 𝑐 = log 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 log 𝑎 log 𝑏 log 𝑎 log 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑐 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P9 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P10 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P10 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P10 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P10 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P11 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 𝑥 , 𝑦 与 𝑥 , −𝑦 关于𝑥轴对称 0 0 0 0 𝑥 , 𝑦 与 −𝑥 , 𝑦 关于𝑦轴对称 0 0 0 0 𝑥 , 𝑦 与 𝑦 , 𝑥 关于直线𝑦 = 𝑥对称 0 0 0 0 社 学 采 𝑥 , 𝑦 与 −𝑦 , −𝑥 关于直线𝑦 = −𝑥对称道 文 渠 0 0 0 0 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 𝑥 , 𝑦 与 𝑦 , 𝑥 关于直线𝑦 = 𝑥对称 0 0 0 0 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 𝑥 , 𝑦 与 −𝑦 , −𝑥 关于直线𝑦 = −𝑥对称 0 0 0 0 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P11 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P11 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P12 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P12 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P12 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P12 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P12 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 log 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 新 ： 号 更 2 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P13 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 2 log 𝑥 − 2𝑥 − 3 补充 2 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 根据分段函数的单调性求参数范围 1、每一段函数在各自的“定义域”内都具有同样的单调性，分别求参数满足的条件； 2、整个函数在总的定义域内是单调的，即在两段函数的分界点处也要满足单调性，上面的 函数值要≥下面的函数值（或上面的函数值要≤下面的函数值）； 社 学 3、取上面几个参数的范围的交集，即整个函数在定义域内单调时参数的取值范围。 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 增函数+增函数 =增函数 减函数+减函数 =减函数 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 增函数−唯 减公函数 =增函数 信 微 减函数−增函数 =减函数 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P14 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P14 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P15 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 𝑔 𝑥 为奇函数，𝑓 𝑔 𝑥 为奇函数 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 𝑔 𝑥 为奇函数，𝑓 𝑔 𝑥 为偶函数 唯 信 微 𝑔 𝑥 为偶函数，𝑓 𝑔 𝑥 为奇函数 𝑔 𝑥 为偶函数，𝑓 𝑔 𝑥 为偶函数 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P15 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 𝜋 微 𝑠𝑖𝑛 + 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑠 + 𝛼 20225FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 𝜋 微 𝑠𝑖𝑛 − 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 20225FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式1 如图，角𝐴的终边与单位圆的交点坐标为𝑃 𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐴 ，角𝐵的终边与单位圆的交点坐标为 𝑄 𝑐𝑜𝑠𝐵, 𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 根 据 向 量 数 量 积 可 知 ， 𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 社 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，因为 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 1，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 学𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式1 采 道 文 渠 ： 新 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐更𝑜𝑠𝐴号𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式2 因为𝐴 + 𝐵 = 𝐴 − −𝐵 ，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 ，利用公式1可得𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式2 社 学 采 道 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠渠𝐴𝑐𝑜文𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式3 𝜋 𝜋 𝜋 由诱导公式可得𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 ，则𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 2 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 − 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴，得到公式3 2 2 2 社 学 采 道 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴渠𝑐𝑜𝑠文𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式4 因为𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 ，所以𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 ，利用公式3可得𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式4 社 学 采 道 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛渠𝐴𝑐𝑜文𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式5 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = = ，分子分母同时除以𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵得， 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式5 社 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 学 采 道 文 渠 ： 新 𝑡𝑎𝑛𝐴 +号𝑡𝑎𝑛𝐵 更 众 𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = 一 公 唯 1 −信𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 公式6 𝑠𝑖𝑛 𝐴−𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = = ，分子分母同时除以𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵得， 𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式6 社 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 学 采 道 文 渠 ： 新 𝑡𝑎𝑛𝐴 − 𝑡号𝑎𝑛𝐵 更 众 𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = 一 公 唯 1 +信𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 补充 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 社 学 采 道 文 渠 ： 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 2025FENBI P16 微信公众号：文采学社微信公众号：文采学社 在 粉 笔 ， 社 学 采 道 文 渠 遇 见 不 一 样 的 自 己 ：! 新 号 更 众 一 公 唯 信 微 粉笔教师教育 粉笔教师 微信公众号：文采学社